On "discrete" solutions of the Euler system of gas dynamics

कल्पना कीजिए कि आप मौसम की भविष्यवाणी करने की कोशिश कर रहे हैं। आपके पास आकाश में भरा एक विशाल, अदृश्य तरल है—हवा—जो चलती है, घूमती है और आपस में टकराती है। वैज्ञानिकों के पास नियमों का एक सेट है, जिसे यूलर सिस्टम (Euler system) कहा जाता है, जो यह वर्णन करता है कि इस तरल को कैसे व्यवहार करना चाहिए। इन नियमों को एक आदर्श, घर्षणहीन नृत्य के लिए परम निर्देश नियमावली की तरह समझें। इस नृत्य में, हवा में कोई चिपचिपाहट (श्यानता/viscosity) नहीं है और न ही कोई ऊष्मा हानि; यह एक शुद्ध, आदर्श प्रवाह है। लंबे समय तक, गणितज्ञों का मानना था कि यदि आप हवा के प्रत्येक अणु की प्रारंभिक स्थिति जानते हैं, तो ये नियम आपको ठीक से बताएंगे कि आगे क्या होगा, हमेशा के लिए। यह ऐसा ही था जैसे यह विश्वास करना कि यदि आप एक गेंद गिराते हैं, तो भौतिकी गारंटी देती है कि वह एक विशिष्ट, अनुमानित तरीके से उछलेगी।

हालाँकि, इसमें एक पेंच है। वास्तविक दुनिया में, तरल पदार्थ अव्यवस्थित हो सकते हैं। वे अचानक, हिंसक झटके (जैसे कि सोनिक बूम) पैदा कर सकते हैं या अराजकता में घूम सकते हैं। जब चीजें इतनी जंगली हो जाती हैं, तो "परफेक्ट" नियम कभी-कभी टूट जाते हैं, और गणित धुंधला हो जाता है। यहीं पर "वीक सॉल्यूशंस" (weak solutions) की अवधारणा आती है। हर एक अणु के लिए एक पूर्ण, सुचारू नृत्य की मांग करने के बजाय, वीक सॉल्यूशंस थोड़ी खुरदरापन की अनुमति देते हैं, जब तक कि कुल ऊर्जा और द्रव्यमान का संतुलन बना रहे। लेकिन यहाँ एक मोड़ है: हाल की खोजों ने दिखाया है कि कुछ शुरुआती स्थितियों के लिए, गणित केवल धुंधला नहीं होता; यह एक बहुत ही विशिष्ट तरीके से अराजक हो जाता है। यह पाया गया है कि शुरुआती बिंदुओं की एक विशाल संख्या के लिए, नियम केवल एक परिणाम की अनुमति नहीं देते—वे अनंत रूप से विभिन्न परिणामों की अनुमति देते हैं, जो सभी भौतिकी के नियमों का पालन करते प्रतीत होते हैं। यह ऐसा है जैसे आपने वह गेंद गिराई, और भौतिकी के नियमों ने कहा, "यह बाएं, दाएं, ऊपर, नीचे उछल सकती है, या एक तितली में बदल सकती है, और वे सभी समान रूप से वैध हैं।"

यह शोध पत्र उस अराजक खेल के मैदान की गहराई में उतरता है। लेखक, अन्ना अबातिएलो और एडुआर्ड फेइरेइस्ल, यूलर सिस्टम के एक विशेष प्रकार के "जंगली" समाधान की जांच कर रहे हैं। वे केवल यह नहीं दिखा रहे हैं कि कई समाधान मौजूद हैं; वे एक बहुत ही विशिष्ट, लगभग लेगो (Lego) की तरह दिखने वाले समाधान का निर्माण कर रहे हैं जिसे वे "डिस्क्रीट" (discrete) कहते हैं। कल्पना कीजिए कि एक तरल जो नदी की तरह सुचारू रूप से नहीं बहता, बल्कि कुछ अलग, स्थिर अवस्थाओं के बीच कूदता है, जैसे कि एक पिक्सेलेटेड वीडियो गेम कैरेक्टर कुछ निश्चित स्थानों के बीच टेलीपोर्ट करता है। यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि शुरुआती स्थितियों के एक सघन सेट (मतलब, आप इन स्थितियों को लगभग कहीं भी पा सकते हैं) के लिए, आप इन "डिस्क्रीट" समाधानों का एक अनंत परिवार बना सकते हैं। और भी अजीब बात यह है कि इन समाधानों को अपनी इच्छानुसार अधिक से अधिक एंट्रॉपी (विकार/disorder) उत्पन्न करने के लिए बनाया जा सकता है, या उन्हें समय के साथ विकार के एक विशिष्ट, पूर्व-निर्धारित पैटर्न में स्थिर होने के लिए मजबूर किया जा सकता है। लेखक दिखाते हैं कि यूलर सिस्टम "इल-पोस्ड" (ill-posed) है, भले ही हम भौतिकी के प्रति सख्त होने की कोशिश करें; यह इन विचित्र, गैर-अद्वितीय और अत्यधिक नियंत्रणीय परिणामों की अनुमति देता है।

"पिक्सेलेटेड" तरल की कहानी

आइए समझते हैं कि लेखक वास्तव में क्या खोजे हैं। वे यूलर सिस्टम के साथ काम कर रहे हैं, जो एक गैस (जैसे हवा) का गणितीय मॉडल है जिसमें कोई घर्षण और कोई ऊष्मा हानि नहीं है। आमतौर पर, हम उम्मीद करते हैं कि यदि हम शुरुआत में घनत्व (गैस कितनी भरी हुई है), संवेग (यह कितनी तेजी से और किस दिशा में चल रही है), और एंट्रॉपी (विकार या ऊष्मा का माप) जानते हैं, तो भविष्य निर्धारित होता है। लेकिन लेखक दिखाते हैं कि बहुत सारे शुरुआती बिंदुओं के लिए, यह सच नहीं है।

उन्होंने "डिस्क्रीट" समाधान बनाने का एक तरीका खोजा है। वास्तविक दुनिया में, तरल पदार्थ निरंतर (continuous) होते हैं; वे सुचारू रूप से बदलते हैं। लेकिन ये समाधान एक डिजिटल छवि की तरह हैं जो पिक्सेल से बनी है। गैस सुचारू रूप से नहीं बहती; इसके बजाय, यह सीमित संख्या में स्थिर अवस्थाओं में मौजूद होती है। कल्पना कीजिए कि गैस से भरा एक कमरा है। एक सामान्य परिदृश्य में, गैस धीरे-धीरे घूम सकती है। इन "डिस्क्रीट" समाधानों में, गैस एक कोने में अचानक अवस्था A (एक विशिष्ट घनत्व और गति) में होती है, और अगले कोने में, वह अवस्था B में होती है। यह आपस में नहीं मिलती; यह बस एक चीज़ या दूसरी चीज़ होती है। लेखक ने सिद्ध किया कि शुरुआती स्थितियों के एक सघन सेट के लिए, आप इन पिक्सेलेटेड परिदृश्यों की अनंत संख्या बना सकते हैं।

यहाँ वास्तव में दिमाग घुमा देने वाला हिस्सा है: ये समाधान केवल यादृच्छिक (random) नहीं हैं। लेखक इन्हें नियंत्रित कर सकते हैं। उन्होंने दिखाया कि आप ऐसे समाधानों का एक परिवार बना सकते हैं जहाँ विकार (एंट्रॉपी) की मात्रा लगातार बढ़ती रहती है। यह एक ऐसी मशीन रखने जैसा है जो अनंत अलग-अलग फिल्मों के संस्करण उत्पन्न कर सकती है, जहाँ एक संस्करण में पात्र थोड़े अधिक अव्यवस्थित हो जाते हैं, अगले में वे और भी अधिक अव्यवस्थित हो जाते हैं, और इसी तरह, जबकि वे सख्ती से भौतिकी के नियमों का पालन करते हैं।

इसके अलावा, उन्होंने दिखाया कि आप इन समाधानों को एक विशिष्ट "टर्मिनल" (अंतिम) अवस्था में समाप्त होने के लिए मजबूर कर सकते हैं। कल्पना कीजिए कि आप चाहते हैं कि घड़ी के एक निश्चित समय तक गैस एक विशिष्ट विकार के पैटर्न में स्थिर हो जाए। लेखक ने सिद्ध किया कि आप एक ऐसा समाधान बना सकते हैं जो बिल्कुल वैसा ही करता है, चाहे वह पैटर्न कितना भी जटिल क्यों न हो (जब तक कि वह एक "रीमैन इंटीग्रेबल" फलन है, जो गणित का एक फैंसी तरीका है यह कहने का कि वह एक पैटर्न है जिसे आप माप सकते हैं)।

यह क्यों मायने रखता है (और यह अजीब क्यों है)

लेखक अनिवार्य रूप से कह रहे हैं कि यूलर सिस्टम "इल-पोस्ड" (ill-posed) है। गणित की भाषा में, "वेल-पोस्ड" का अर्थ है कि आपके पास एक अद्वितीय समाधान है जो शुरुआती डेटा पर अच्छी तरह निर्भर करता है। "इल-पोस्ड" का अर्थ है कि नियम टूट गए हैं। यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि भले ही आप यह नियम जोड़ दें कि "एंट्रॉपी बढ़नी चाहिए" (जो कि ऊष्मप्रवैगिकी का दूसरा नियम है, वह नियम जो कहता है कि चीजें समय के साथ अधिक अव्यवस्थित होती हैं), फिर भी सिस्टम अनंत रूप से भिन्न भविष्यों की अनुमति देता है।

यह एक बड़ी बात है क्योंकि यह हमारी इस समझ को चुनौती देता है कि तरल पदार्थ कैसे व्यवहार करते हैं। यदि गणित अनंत संभावनाओं की अनुमति देता है, तो हमें कैसे पता चलेगा कि "असली" वाला कौन सा है? लेखक बताते हैं कि ये "डिस्क्रीट" समाधान वास्तविक दुनिया में क्या होता है, इसकी संभावना नहीं रखते। वे "पैथोलॉजिकल" (pathological) हैं, जिसका अर्थ है कि वे गणितीय राक्षस हैं। उनके पास अजीब गुण हैं, जैसे कि गैस का घनत्व हमेशा एक जैसा रहता है जबकि गति उछलती रहती है, या गैस अचानक रुक जाती है और शुरू हो जाती है जो अप्राकृतिक लगता है।

शोध पत्र "स्वीकार्यता" (admissibility) के विचार को भी छूता है। वैज्ञानिकों ने अनंत नकली समाधानों में से "असली" समाधान को चुनने के लिए नियम बनाने की कोशिश की है। उदाहरण के लिए, डिपरना और डेफ़रमोस ने सुझाव दिया था कि "असली" समाधान वह होना चाहिए जो सबसे अधिक एंट्रॉपी को जितनी जल्दी हो सके उत्पन्न करता है। लेखक दिखाते हैं कि उनके "डिस्क्रीट" समाधान इस परीक्षण में विफल रहते हैं। आप हमेशा एक और समाधान पा सकते हैं जो और भी अधिक एंट्रॉपी उत्पन्न करता है। यह सुझाव देता है कि ये डिस्क्रीट समाधान वास्तव में अभौतिक (unphysical) हैं, लेकिन उनका अस्तित्व यह सिद्ध करता है कि उन्हें बाहर करने के लिए उपयोग किए जाने वाले वर्तमान नियम एक अद्वितीय उत्तर सुनिश्चित करने के लिए पर्याप्त मजबूत नहीं हैं।

निष्कर्ष

तो, मुख्य बात क्या है? लेखकों ने गैस प्रवाह समीकरणों के लिए अनंत, पिक्सेलेटेड, गैर-अद्वितीय समाधानों को उत्पन्न करने वाली एक गणितीय मशीन बनाई है। इन समाधानों को अधिक से अधिक विकार उत्पन्न करने या एक विशिष्ट अंतिम पैटर्न में स्थिर होने के लिए ट्यून किया जा सकता है। हालांकि ये समाधान प्रकृति में जो हम देखते हैं वैसा होने की संभावना नहीं रखते (वे बहुत कठोर और अजीब हैं), उनका अस्तित्व यह सिद्ध करता है कि यूलर सिस्टम मौलिक रूप से टूटा हुआ है, इस अर्थ में कि इसमें एक अद्वितीय उत्तर नहीं है, भले ही हम भौतिकी के नियमों के प्रति बहुत सख्त होने की कोशिश करें। यह एक याद दिलाने वाला है कि गणित की दुनिया में, कभी-कभी नियम संभावनाओं का एक ब्रह्मांड प्रदान करते हैं, और "असली" वाले को खोजने के लिए गति और ऊर्जा के बुनियादी नियमों से कहीं अधिक की आवश्यकता होती है। यह शोध पत्र यह नहीं कहता कि हम मौसम की भविष्यवाणी नहीं कर सकते; यह कहता है कि यदि हम केवल यूलर समीकरणों पर भरोसा करते हैं, तो गणित स्वयं कहता है, "मुझे नहीं पता कि हवा किस दिशा में चलेगी, क्योंकि मैं इसे लाखों अलग-अलग तरीकों से चल सकता हूँ, और वे सभी सही दिखते हैं।"