On "discrete" solutions of the Euler system of gas dynamics

Immagina di cercare di prevedere il tempo. Hai un enorme fluido invisibile che riempie il cielo — l'aria — che si muove, vortica e si scontra con se stesso. Gli scienziati hanno un insieme di regole, chiamato sistema di Euler, che descrivono come questo fluido dovrebbe comportarsi. Pensa a queste regole come al manuale di istruzioni definitivo per una danza perfetta e priva di attrito. In questa danza, l'aria non ha viscosità (non è "appiccicosa") e non perde calore; è un flusso puro e idealizzato. Per molto tempo, i matematici hanno creduto che, se avessi conosciuto la posizione iniziale di ogni molecola d'aria, queste regole avrebbero determinato esattamente cosa accade dopo, per sempre. Era come credere che, se lasci cadere una palla, la fisica garantisca che rimbalzerà in un modo specifico e prevedibile.

Tuttavia, c'è un problema. Nel mondo reale, i fluidi possono diventare disordinati. Possono generare improvvisi e violenti shock (come un boom sonico) o avvignarsi nel caos. Quando le cose diventano così selvagge, le regole "perfette" a volte si rompono, e la matematica diventa sfocata. È qui che entra in gioco il concetto di "soluzioni deboli". Invece di esigere una danza perfetta e fluida per ogni singola molecola, le soluzioni deboli permettono un po' di ruvidità, purché il bilancio complessivo di energia e massa sia rispettato. Ma ecco il colpo di scena: scoperte recenti hanno dimostrato che, per alcune condizioni iniziali, la matematica non diventa solo sfocata; diventa caotica in un modo molto specifico. Si scopre che, per un numero enorme di punti di partenza, le regole non permettono solo un risultato, ma permettono infiniti risultati diversi, tutti i quali sembrano seguire le leggi della fisica. È come se avessi lasciato cadere quella palla e le leggi della fisica dicessero: "Potrebbe rimbalzare a sinistra, a destra, su, giù, o trasformarsi in una farfalla, e tutte queste opzioni sono ugualmente valide".

Questo articolo si immerge profondamente in quel parco giochi caotico. Gli autori, Anna Abbatiello ed Eduard Feireisl, investigano un tipo speciale di soluzione "selvaggia" del sistema di Euler. Non si limitano a dimostrare che esistono soluzioni multiple; stanno costruendo un tipo di soluzione molto specifico, quasi simile ai Lego, che chiamano "discreta". Immagina un fluido che non scorre fluidamente come l'acqua in un fiume, ma che invece salta tra un numero finito di stati distinti e congelati, come un personaggio di un videogioco pixelato che si teletrasporta tra alcuni punti fissi. Il documento prova che, per un insieme denso di condizioni iniziali (il che significa che puoi trovare queste condizioni quasi ovunque tu guardi), puoi creare una famiglia infinita di queste soluzioni "discrete". Ancora più strano, queste soluzioni possono essere fatte produrre sempre più entropia (disordine) a piacimento, oppure possono essere costrette a stabilizzarsi in un particolare schema di disordine predefinito col passare del tempo. Gli autori dimostrano che il sistema di Euler è "mal posto" anche quando cerchiamo di essere rigorosi riguardo alla fisica; permette questi risultati bizzarri, non unici e altamente controllabili.

La storia del fluido "pixelato"

Analizziamo ciò che gli autori hanno effettivamente scoperto. Stanno lavorando con il sistema di Euler, che è il modello matematico per un gas (come l'aria) che non ha attrito né perdita di calore. Di solito, ci aspettiamo che, se conosciamo la densità (quanto è compatto il gas), la quantità di moto (quanto velocemente e in che direzione si muove) e l'entropia (una misura del disordine o del calore) all'inizio, il futuro sia determinato. Ma gli autori mostrano che, per una vasta collezione di punti di partenza, questo non è vero.

Hanno scoperto un modo per costruire soluzioni che siano "discrete". Nel mondo reale, i fluidi sono continui; cambiano in modo fluido. Ma queste soluzioni sono come un'immagine digitale fatta di pixel. Il gas non scorre fluidamente; invece, esiste in un numero finito di stati costanti. Immagina una stanza piena di gas. In uno scenario normale, il gas potrebbe vorticare dolcemente. In queste soluzioni "discrete", il gas in un angolo è improvvisamente nello Stato A (una specifica densità e velocità), e nell'angolo successivo, è nello Stato B. Non si mescola; è semplicemente una cosa o l'altra. Gli autori hanno dimostrato che, per un insieme denso di condizioni iniziali, puoi creare un numero infinito di questi scenari pixelati.

Ecco la parte davvero incredibile: queste soluzioni non sono solo casuali. Gli autori possono controllarle. Hanno dimostrato che puoi creare una famiglia di queste soluzioni dove la quantità di disordine (entropia) continua ad aumentare. È come avere una macchina che può generare infinite versioni diverse di un film, dove in una versione i personaggi diventano leggermente più disordinati, nella successiva diventano ancora più disordinati, e così via, pur rispettando rigorosamente le leggi della fisica.

Inoltre, hanno dimostrato che puoi forzare queste soluzioni a terminare in uno stato "finale" specifico. Immagina di voler far sì che il gas si stabilizzi in un particolare schema di disordine entro un certo momento. Gli autori hanno dimostrato che puoi costruire una soluzione che faccia esattamente questo, indipendentemente da quanto complesso sia il pattern finale (purché sia una funzione "Riemann integrabile", che è un modo elegante per dire che è un pattern che si può misurare).

Perché questo è importante (e perché è strano)

Gli autori stanno essenzialmente dicendo che il sistema di Euler è "mal posto". In termini matematici, "ben posto" significa che hai una soluzione unica che dipende bene dai dati iniziali. "Mal posto" significa che le regole sono rotte. Il documento prova che anche se aggiungi la regola che "l'entropia deve aumentare" (che è la Seconda Legge della Termodinamica, la regola che dice che le cose diventano più disordinate nel tempo), il sistema permette comunque infiniti futuri diversi.

Questo è un grande passo avanti perché mette in discussione la nostra comprensione di come si comportano i fluidi. Se la matematica permette infinite possibilità, come facciamo a sapere quale sia quella "reale"? Gli autori sottolineano che queste soluzioni "discrete" sono probabilmente ciò che non accade nel mondo reale. Sono "patologiche", ovvero sono mostri matematici. Hanno proprietà strane, come la densità del gas che rimane esattamente la stessa per sempre mentre la velocità salta intorno, o il gas che improvvisamente si ferma e riparte in un modo che sembra innaturale.

Il documento tocca anche l'idea di "ammissibilità". Gli scienziati hanno cercato di creare regole per scegliere la soluzione "reale" tra le infinite soluzioni false. Ad esempio, DiPerna e Dafermos hanno suggerito che la soluzione "reale" dovrebbe essere quella che produce l'entropia maggiore il più velocemente possibile. Gli autori mostrano che le loro soluzioni "discrete" falliscono questo test. Puoi sempre trovare un'altra soluzione che produce ancora più entropia. Ciò suggerisce che queste soluzioni discrete sono effettivamente non fisiche, ma la loro esistenza dimostra che le regole attuali che usiamo per filtrarle non sono abbastanza forti da garantire una risposta unica.

Il punto fondamentale

Quindi, qual è il succo del discorso? Gli autori hanno costruito una macchina matematica capace di generare infinite soluzioni pixelate e non univoche alle equazioni del flusso di gas. Queste soluzioni possono essere regolate per produrre sempre più disordine o per stabilizzarsi in un particolare schema finale. Sebbene queste soluzioni non siano probabilmente ciò che vediamo in natura (sono troppo rigide e strane), la loro esistenza dimostra che il sistema di Euler è fondamentalmente rotto nel senso che non ha una risposta univoca, anche quando cerchiamo di essere molto rigorosi riguardo alle leggi della fisica. È un promemoria del fatto che, nel mondo della matematica, a volte le regole permettono un universo di possibilità, e trovare quello "reale" richiede molto più delle semplici leggi del moto e dell'energia. L'articolo non dice che non possiamo prevedere il tempo; dice che se ci affidiamo solo alle equazioni di Euler, la matematica stessa dice: "Non so in che direzione soffierà il vento, perché posso farla soffiare in un milione di modi diversi, e tutti sembrano corretti".