On "discrete" solutions of the Euler system of gas dynamics

あなたは天気を予測しようとしていると想像してください。空には、動き、渦巻き、互いに衝突し合う、巨大で目に見えない流体――空気――が満たされています。科学者たちは、この流体がどのように振る舞うべきかを記述する「オイラー系」と呼ばれる一連のルールを持っています。これらのルールは、摩擦のない完璧なダンスのための究極のインストラクション・マニュアルのようなものです。このダンスにおいて、空気には粘性（ねばりけ）がなく、熱損失もありません。それは純粋で理想化された流れです。長い間、数学者たちは、もしすべての空気分子の初期位置を知っていれば、これらのルールが次に何が起こるかを永遠に正確に教えてくれると信じてきました。それは、ボールを落としたとき、物理学がそれが特定の予測可能な方法で跳ね返ることを保証していると信じるようなものでした。

しかし、落とし穴があります。現実の世界では、流体は乱れることがあります。彼らは突然の激しい衝撃（ソニックブームのようなもの）を形成したり、混沌へと渦巻いたりします。事態がこれほど荒々しくなると、この「完璧な」ルールは時として崩壊します。ここで「弱解（weak solutions）」という概念が登場します。すべての分子に対して完璧で滑らかなダンスを要求する代わりに、弱解は、全体のエネルギーと質量がバランスさえ取れていれば、多少の粗さを許容します。しかし、ここにひねりがあります。最近の発見によれば、ある種の初期条件においては、数学は単に曖昧になるだけでなく、非常に特殊な方法で「混沌」とするのです。膨大な数の出発点において、ルールは単に一つの結果を許容するだけでなく、無限に異なる結果を許容することが判明しました。それはまるで、ボールを落としたとき、物理法則が「それは左に跳ねることも、右に、上へ、下へと跳ねることも、あるいは蝶に変身することもできる。そしてそのすべてが等しく妥当である」と言うかのようです。

この論文は、その混沌とした遊び場を深く掘り下げています。著者であるアンナ・アバティエッロとエドゥアルド・フェイレールは、オイラー系の特別な「荒れた」解を調査しています。彼らは単に複数の解が存在することを示しているのではなく、「離散的（discrete）」と呼ぶ、非常に特殊で、まるでレゴブロックのようなタイプの解を構築しています。流体を川のように滑らかに流れるものではなく、有限個の明確で凍結した状態の間をジャンプする、ピクセル化されたビデオゲームのキャラクターのように想像してみてください。彼らは、密な集合（つまり、どこにでもそれを見つけることができる状態）において、これらの「離散的」な解を生成できることを証明しています。さらに奇妙なことに、これらの解は、意図的に、あるいは時間の経過とともに特定の、あらかじめ選ばれた無秩序なパターンに落ち着くように強制することもできます。著者たちは、オイラー系が物理学に対して厳格であろうとしても「不良設定（ill-posed）」であることを示しています。つまり、このシステムは、これらの奇妙で、非一意的で、高度に制御可能な結果を許容してしまうのです。

「ピクセル化された」流体の物語

著者が実際に発見したことを分解してみましょう。彼らは、摩擦も熱損失もないガス（空気のようなもの）の数学的モデルであるオイラー系を扱っています。通常、私たちは、密度の分布（ガスの詰まり具合）、運動量（速度と方向）、そしてエントロピー（無秩序さや熱の尺度）を最初に知っていれば、未来は決定されると期待します。しかし、著者たちは、膨大な数の出発点において、これは真実ではないことを示しています。

彼らは、「離散的」な解を構築する方法を発見しました。現実の世界では、流体は連続的であり、滑らかに変化します。しかし、これらの解はデジタル画像で作られたピクセルのようです。ガスは滑らかに流れるのではなく、代わりに有限個の一定の状態として存在します。部屋にガスが満たされている場面を想像してください。通常のシナリオでは、ガスは穏やかに渦巻いているかもしれません。しかし、これらの「離散的」な解では、部屋の一角のガスは突然「状態A」（特定の密度と速度）になり、次の角では「状態B」になります。それは混ざり合うのではなく、ただ「それ」であるのです。著者たちは、密な出発条件の集合に対して、これら無限のピクセル化されたシナリオを作成できることを証明しました。

ここからが本当に驚くべき部分です。これらの解は単にランダムなのではありません。著者たちはこれらを制御できるのです。彼らは、エントロピー（無秩序さ）が増大し続ける一族の解を作成できることを示しました。それは、あるバージョンの映画ではキャラクターが少しずつ乱雑になり、次のバージョンではさらに乱雑になり、といった具合に、物理法則に厳密に従いながら、無限の異なるバージョンを生成できるマシンを持っているようなものです。

さらに、彼らはこれらの解を特定の「終端（terminal）」状態に強制できることも示しました。例えば、時計が特定の時刻に達したときに、ガスが非常に特定の無秩序なパターンに落ち着いてほしいとするとしましょう。著者たちは、その最終的なパターンがいかに複雑であっても（それが「リーマン積分可能」、つまり測定可能なパターンである限り）、まさにその通りにする解を構築できることを証明しました。

なぜこれが重要なのか（そしてなぜ奇妙なのか）

著者たちは、本質的にオイラー系が「不良設定（ill-posed）」であることを述べています。数学用語で「適正設定（well-posed）」とは、初期データに対して一意の解があり、それが適切に依存していることを意味します。「不良設定」とは、ルールが壊れていることを意味します。論文は、たとえ「エントロピーが増加しなければならない」というルール（物事が時間の経過とともに乱れていくという熱力学第二法則）を加えたとしても、システムは依然として無限の異なる未来を許容することを証明しています。

これは、流体の振る舞いに関する私たちの理解に挑戦する大きな出来事です。もし数学が無限の可能性を許容するなら、どの解が「本物」であると私たちは知ることができるのでしょうか？ 著者たちは、これらの「離散的」な解はおそらく現実の世界で起こるものではないと指摘しています。それらは「病理的（pathological）」、つまり数学的な怪物です。彼らは奇妙な性質を持っており、例えば、ガスの密度はずっと同じままなのに速度だけが飛び跳ねたり、ガスが不自然に感じられるような方法で突然停止したりします。

また、論文は「許容可能性（admissibility）」の概念にも触れています。科学者たちは、無限にある偽の解の中から「本物の」解を選び出すためのルールを作ろうとしてきました。例えば、ディペルナとダフェモススは、真の解は「最も速く、最大の」エントロピーを生み出すものであるべきだと示唆しました。著者たちは、これらの「離散的」な解がこのテストに失敗することを示しています。より多くのエントロピーを生み出す別の解を、常に探し出すことができるからです。これは、これらの離散的解が確かに非物理的であることを示唆していますが、同時に、それらをフィルタリングするために私たちが使っている現在のルールは、一意の答えを保証するには不十分であることを証明しています。

まとめ

では、結論は何でしょうか？ 著者たちは、ガスの流れの方程式に対して、無限の、ピクセル化された、非一意な解を生成できる数学的なマシンを構築しました。これらの解は、より多くの無秩序を生み出すように調整したり、特定の最終パターンに落ち着くように調整したりすることができます。これらの解は、おそらく自然界で見られるものではありません（あまりにも硬直的で奇妙すぎるため）。しかし、その存在は、オイラー系が根本的に「壊れている」ことを証明しています。つまり、たとえ私たちが物理法則に対して非常に厳格になろうとしても、一意の答えを持たないということです。これは、数学の世界では、時にはルールが可能性の宇宙を許容することもあり、その中で「本物」を見つけるには、単なる運動やエネルギーの基本法則以上のものが必要であることを思い出させてくれます。この論文は、私たちが天気を予測できないと言っているわけではありません。ただ、もしオイラー方程式だけに頼るならば、数学自体がこう言っているのだ、と。 「風がどちらに吹くのか私には分かりません。なぜなら、私はそれが百万通りの異なる方向に吹くように作り出すことができるからです。そして、そのすべてが正しく見えるのです。」