On "discrete" solutions of the Euler system of gas dynamics

당신이 날씨를 예측하려고 노력하고 있다고 상상해 보십시오. 당신은 하늘을 채우고 있는 거대하고 보이지 않는 유체인 공기를 가지고 있으며, 이 공기는 움직이고, 소용돌이치며, 서로 충돌합니다. 과학자들은 이 유체가 어떻게 행동해야 하는지를 설명하는 '오일러 체계(Euler system)'라는 일련의 규칙을 가지고 있습니다. 이 규칙들은 마치 마찰이 없는 완벽한 춤을 위한 궁극적인 지침서와 같습니다. 이 춤에서 공기는 끈적임(점성)도 없고 열 손실도 없습니다. 그것은 순수하고 이상적인 흐름입니다. 오랫동안 수학자들은 만약 모든 공기 분자의 초기 위치를 알 수 있다면, 이 규칙들이 다음에 일어날 일을 영원히 정확하게 알려줄 것이라고 믿었습니다. 그것은 마치 공을 떨어뜨리면 물리학이 공이 반드시 특정한 방식으로 튀어 오를 것임을 보장한다고 믿는 것과 같았습니다.

하지만 함정이 있습니다. 현실 세계에서 유체는 엉망이 될 수 있습니다. 유체는 갑작스럽고 격렬한 충격(소닉 붐과 같은)을 형성하거나 혼돈 속으로 휘몰아칠 수 있습니다. 상황이 이렇게 거칠어지면, 때때로 "완벽한" 규칙들이 무너지고 수학이 모호해집니다. 여기서 "약한 해(weak solutions)"라는 개념이 등장합니다. 모든 개별 분자에 대해 완벽하고 매끄러운 춤을 요구하는 대신, 약한 해는 전체적인 에너지와 질량 균형이 맞는 한 약간의 거칠음을 허용합니다. 하지만 반전은 여기에 있습니다. 최근의 발견들에 따르면, 어떤 초기 조건들에 대해서는 수학이 단순히 모호해지는 것을 넘어, 매우 특정한 방식으로 '혼돈'스러워진다는 것입니다. 어떤 시작점들에서는 규칙이 단 하나의 결과만을 허용하는 것이 아니라, 물리 법칙을 따르는 것처럼 보이는 무수히 많은 서로 다른 결과들을 허용한다는 사실이 밝혀졌습니다. 그것은 마치 공을 떨어뜨렸더니 물리학 법칙이 "그 공은 왼쪽, 오른쪽, 위, 아래로 튈 수도 있고, 나비로 변할 수도 있어. 그리고 그 모든 것이 똑같이 유효해"라고 말하는 것과 같습니다.

이 논문은 그 혼돈스러운 놀이터를 깊이 파고듭니다. 저자인 안나 아바티엘로(Anna Abbatiello)와 에두아르드 페이레쉬(Eduard Feireisl)는 오일러 체계의 특별한 종류의 "거친(wild)" 해를 조사합니다. 그들은 단순히 다수의 해가 존재함을 보여주는 것이 아니라, 그들이 "이산적(discrete)"이라고 부르는 매우 특정한, 마치 레고 블록 같은 종류의 해를 구성합니다. 마치 물처럼 부드럽게 흐르는 것이 아니라, 유한한 수의 뚜렷하고 얼어붙은 상태 사이를 점프하는 픽셀화된 비디오 게임 캐릭터처럼 움직이는 유체를 상상해 보십시오. 이 논문은 조밀한 집합(dense set)의 시작 조건들에 대해(즉, 거의 모든 곳에서 이러한 조건을 찾을 수 있다는 의미), 이 "이산적" 해들의 무한한 가족을 생성할 수 있음을 증명합니다. 더욱 이상하게도, 이 해들은 의도적으로 점점 더 많은 엔트로피(무질서)를 만들어내거나, 시간이 지남에 따라 특정한 사전 선택된 무질서 패턴으로 정착하도록 강제될 수 있습니다. 저자들은 오일러 체계가 우리가 물리 법칙에 대해 매우 엄격해지려고 할 때조차 "부적정(ill-posed)"하다는 것을 보여줍니다. 즉, 이 체계는 이러한 기이하고, 비유일하며, 고도로 제어 가능한 결과들을 허용합니다.

"픽셀화된" 유체의 이야기

저자들이 실제로 발견한 내용을 나누어 보겠습니다. 그들은 마찰도 열 손실도 없는 가스(공기와 같은)의 수학적 모델인 오일러 체계를 다루고 있습니다. 보통 우리는 가스의 밀도(얼마나 빽빽한지), 운동량(얼마나 빠르고 어느 방향으로 움직이는지), 그리고 엔트로피(무질서나 열의 척도)를 초기에 알면 미래는 결정된다고 기대합니다. 하지만 저자들은 방대한 양의 시작점들에 대해 이것이 사실이 아니라는 것을 보여줍니다.

그들은 "이산적"인 해를 구축하는 방법을 발견했습니다. 현실 세계에서 유체는 연속적이며 부드럽게 변화합니다. 하지만 이 해들은 디지털 이미지의 픽셀과 같습니다. 가스는 부드럽게 흐르는 것이 아니라, 유한한 수의 일정한 상태로 존재합니다. 방 안에 가스가 가득 차 있다고 상상해 보십시오. 일반적인 시나리오에서 가스는 부드럽게 소용돌이칠 수 있습니다. 하지만 이 "이산적" 해에서 가스는 한쪽 구석에서는 상태 A(특정 밀도와 속도)에 있고, 다음 구석에서는 상태 B에 있습니다. 그것은 섞이지 않고, 그냥 그것이거나 저것입니다. 저자들은 조밀한 집합의 시작 조건들에 대해 이러한 픽셀화된 시나리오를 무수히 많이 만들 수 있음을 증명했습니다.

정말 놀라운 부분은 이것입니다. 이 해들은 단순히 무작위적인 것이 아닙니다. 저자들은 이들을 제어할 수 있습니다. 그들은 엔트로피(무질서)가 계속 증가하는 해의 가족을 만들 수 있음을 보여주었습니다. 그것은 마치 어떤 버전의 영화에서는 캐릭터들이 조금 더 지저분해지고, 다음 버전에서는 훨씬 더 지저분해지는 식으로, 물리 법칙을 엄격히 준수하면서도 무한히 다른 버전의 영화를 생성할 수 있는 기계를 가진 것과 같습니다.

나아가, 그들은 이 해들이 특정 "종단(terminal)" 상태로 끝나도록 강제할 수 있음을 보여주었습니다. 가스가 특정 시간까지 도달했을 때 아주 특정한 무질서 패턴으로 정착하기를 원한다고 가정해 보십시오. 저자들은 그 최종 패턴이 아무리 복잡하더라도(측정 가능한 패턴이라는 뜻인 "리만 적분 가능" 함수인 한), 정확히 그 동작을 수행하는 해를 구성할 수 있음을 증명했습니다.

이것이 왜 중요한가 (그리고 왜 이상한가)

저자들은 본질적으로 오일러 체계가 "부적정(ill-posed)"하다고 말하고 있습니다. 수학적 용어로 "적정(well-posed)"하다는 것은 유일한 해가 존재하며 초기 데이터에 따라 잘 결정된다는 것을 의미합니다. "부적정"하다는 것은 규칙이 깨졌음을 의미합니다. 이 논문은 "엔트로피는 증가해야 한다"는 규칙(사물이 시간이 지남에 따라 점점 더 무질서해진다는 열역학 제2법칙)을 추가하더라도, 이 체계가 여전히 무수히 많은 서로 다른 미래를 허용한다는 것을 증명합니다.

이것은 우리가 유체의 행동을 이해하는 방식에 도전하는 큰 사건입니다. 만약 수학이 무한한 가능성을 허용한다면, 우리는 어떻게 어떤 것이 "실제"인지 알 수 있을까요? 저자들은 이러한 "이산적" 해들이 실제 세상에서 일어나는 현상이 아닐 가능성이 높다고 지적합니다. 그것들은 "병리적(pathological)"입니다. 즉, 수학적인 괴물들입니다. 그들은 가스의 밀도가 영원히 똑같이 유지되는 동안 속도만 급격히 변하거나, 가스가 갑자기 멈췄다 시작하는 등 부자연스럽게 느껴지는 기이한 특성들을 가지고 있습니다.

또한 이 논문은 "적응성(admissibility)"이라는 개념을 다룹니다. 과학자들은 무수히 많은 가짜 해들 중에서 "진짜" 해를 골라내기 위한 규칙을 만들기 위해 노력해 왔습니다. 예를 들어, 디피르나(DiPerna)와 다페르모스(Dafermos)는 "진짜" 해라면 최대한 빠르게 가장 많은 엔트로피를 생성하는 것이어야 한다고 제안했습니다. 저자들은 자신들의 "이산적" 해들이 이 테스트를 통과하지 못한다는 것을 보여줍니다. 당신은 항상 더 많은 엔트로피를 생성하는 또 다른 해를 찾아낼 수 있습니다. 이는 이러한 이산적 해들이 실제로 비물리적임을 시사하지만, 동시에 이러한 해들을 걸러내기 위해 사용하는 현재의 규칙들이 단 하나의 유일한 답을 보장하기에는 충분히 강력하지 않다는 것을 입증합니다.

요약

결론은 무엇일까요? 저자들은 가스 흐름 방정식에 대한 무한하고 픽셀화된, 비유일한 해를 생성할 수 있는 수학적 기계를 만들어냈습니다. 이 해들은 점점 더 많은 무질서를 생성하거나 특정 최종 패턴으로 정착하도록 조정될 수 있습니다. 이러한 해들이 자연에서 보는 모습은 아닐지라도(너무 경직되고 이상하기 때문에), 그 존재는 오일러 체계가 심지어 우리가 물리 법칙에 매우 엄격해지려고 할 때조차 근본적으로 유일한 답을 갖지 못한다는 것을 증명합니다. 이것은 우리가 오직 오일러 방정식에만 의존한다면, 수학 자체가 "바람이 어느 방향으로 불지 모르겠다. 왜냐하면 나는 그것이 백만 가지 다른 방식으로 불 수 있게 만들 수 있고, 그 모든 방식이 옳아 보이기 때문이다"라고 말한다는 것을 상기시켜 줍니다. 이 논문은 우리가 날씨를 예측할 수 없다고 말하는 것이 아닙니다. 다만 오직 오일러 방정식에만 의존한다면, 수학 자체가 그렇게 말하고 있다는 것입니다.