Random quantum circuits, chaos and quantum thermalization

भौतिकी के विशाल परिदृश्य में, उन प्रणालियों जो पूर्वानुमान लगाने में आसान हैं और उन प्रणालियों के बीच जो अत्यंत जटिल हैं, एक मौलिक विभाजन है। हम सरल गैसों या आदर्श चुंबकों के व्यवहार को समझते हैं क्योंकि उनके पास बड़ी संख्या में छिपे हुए नियम, या संरक्षित मात्राएँ (conserved quantities) होती हैं, जो उनके हिस्सों को नियंत्रण में रखती हैं। हालाँकि, अधिकांश वास्तविक दुनिया की क्वांटम प्रणालियाँ ऐसे सख्त नियमों का पालन नहीं करती हैं। वे जेनेरिक (generic) हैं, परस्पर क्रिया करने वाले कणों के संग्रह हैं जहाँ कोई सरल संरक्षण नियम लागू नहीं होता, और जहाँ कण स्वतंत्र तरंगों की तरह लंबे समय तक जीवित नहीं रहते। इसके बजाय, ये प्रणालियाँ अराजक (chaotic) हैं, जिसका अर्थ है कि उनकी आंतरिक गतिशीलता सूचना को इतनी अच्छी तरह से बिखेर देती है कि वे संतुलन (equilibrium) की स्थिति में पहुँचते हुए प्रतीत होते हैं, भले ही भौतिकी के अंतर्निहित नियम पूरी तरह से प्रतिवर्ती (reversible) हों। भौतिकविदों के लिए केंद्रीय रहस्य यह समझना है कि अनगिनत परस्पर क्रिया करने वाले हिस्सों की अराजकता से यह स्पष्ट व्यवस्था कैसे उभरती है, और सूचना एक प्रणाली के माध्यम से कैसे फैलती है जब तक कि वह प्रेक्षक के लिए लुप्त न हो जाए। इसे हल करने के लिए, शोधकर्ताओं ने एक सरलीकृत मॉडल की ओर रुख किया है जो वास्तविक सामग्रियों के जटिल विवरणों को हटा देता है, और इसके बजाय इस बात पर ध्यान केंद्रित करता है कि क्वांटम सूचना कैसे चलती है और मिश्रित होती है।

यहाँ प्रस्तुत कार्य इन जेनेरिक क्वांटम प्रणालियों का अध्ययन करने के लिए 'रैंडम क्वांटम सर्किट्स' (random quantum-circuits) नामक विधि का परिचय देता है। एक ग्रिड के जाल की कल्पना करें, जैसे कि बक्सों की एक श्रृंखला, जहाँ प्रत्येक बॉक्स में क्वांटम सूचना का एक छोटा सा हिस्सा होता है। शोधकर्ता किसी विशिष्ट, वास्तविक दुनिया की सामग्री के व्यवहार की गणना करने का प्रयास नहीं करते हैं। इसके बजाय, वे एक ऐसा मॉडल बनाते हैं जहाँ इन बक्सों के बीच के संबंध 'गेट्स' (gates) द्वारा नियंत्रित होते हैं जो पूरी तरह से यादृच्छिक (random) रूप से चुने जाते हैं। ये गेट पड़ोसी साइटों के बीच सूचना को इधर-उधर करने वाले छोटे, अप्रत्याशित स्विचों की तरह कार्य करते हैं। केवल एक सेटअप के बजाय, इन रैंडम सेटअपों के एक विशाल संग्रह का अध्ययन करके, शोधकर्ता उन पैटर्न को खोज सकते हैं जो सार्वभौमिक (universal) हैं—ऐसी विशेषताएँ जो प्रणाली के विशिष्ट विवरणों के बावजूद प्रकट होती हैं। यह दृष्टिकोण उन्हें यह गणना करने की अनुमति देता है कि क्वांटम प्रणालियाँ समय के साथ कैसे विकसित होती हैं, जिससे यह पता चलता है कि वे एक सरल, व्यवस्थित शुरुआत से एक जटिल, बिखरे हुए राज्य की ओर कैसे संक्रमण करती हैं जो थर्मल इक्विलिब्रियम जैसा दिखता है।

पहला प्रमुख निष्कर्ष यह है कि सूचना का एक साधारण टुकड़ा प्रणाली के माध्यम से कैसे फैलता है। यदि आप एक बिंदु पर एक स्थानीय विक्षोभ (disturbance) के साथ शुरू करते हैं, तो शोधकर्ताओं ने पाया कि जैसे-जैसे समय बीतता है, यह विक्षोभ केवल एक स्थान पर नहीं रहता या एक सीधी रेखा में नहीं चलता। इसके बजाय, यह परस्पर क्रियाओं के एक जटिल जाल में बदल जाता है जो अधिक से अधिक साइटों को छूता है। यह प्रक्रिया, जिसे 'ऑपरेटर स्प्रेडिंग' (operator spreading) कहा जाता है, एक रैंडम वॉक की तरह व्यवहार करती है जो आगे बढ़ने के लिए थोड़ा पक्षपाती (biased) है। शोधकर्ताओं ने गणना की कि इस फैलती सूचना का किनारा एक स्थिर गति से चलता है, जिससे एक "लाइट कोन" (light cone) बनता है जो समय के साथ रैखिक रूप से फैलता है। इस विस्तारित क्षेत्र के भीतर, सूचना तेजी से जटिल होती जाती है, जिससे एक सरल स्थानीय क्रिया कई अलग-अलग संभावनाओं के सुपरपोजिशन (superposition) में बदल जाती है। यह विकास बताता है कि प्रणाली अपनी प्रारंभिक स्मृति क्यों खो देती है: सूचना गायब नहीं हुई है, बल्कि इसे पूरी प्रणाली में इतनी अच्छी तरह से फैला दिया गया है कि इसे केवल एक छोटे से हिस्से को देखकर पहचाना नहीं जा सकता।

इस प्रसार को मापने के लिए, शोधकर्ताओं ने एक विशिष्ट मात्रा देखी जिसे 'आउट-ऑफ-टाइम-ऑर्डर कोरिलेटर' (out-of-time-order correlator) कहा जाता है। एक सामान्य, व्यवस्थित प्रणाली में, यदि आप दो दूर स्थित बिंदुओं की जाँच करते हैं, तो वे तुरंत एक-दूसरे को प्रभावित नहीं करते हैं। लेकिन इन अराजक सर्किटों में, जैसे-जैसे समय बीतता है, एक बिंदु का प्रभाव दूसरे तक पहुँच जाता है, और वे हस्तक्षेप (interfere) करने लगते हैं। शोधकर्ताओं ने दिखाया कि यह हस्तक्षेप एक अनुमानित तरीके से बढ़ता है, जो उस क्षेत्र के बीच की सीमा को चिह्नित करता है जहाँ सूचना पहुँच चुकी है और उस क्षेत्र के बीच जहाँ वह नहीं पहुँची है। यह सूचना के प्रसार की गति को देखने का एक ठोस तरीका प्रदान करता है, यह पुष्टि करता है कि यादृच्छिक अंतःक्रियाओं की दुनिया में भी, सूचना के प्रसार की एक निश्चित सीमा होती है।

अध्ययन का दूसरा प्रमुख केंद्र 'एंटैंगलमेंट' (entanglement) है, जो यह बताता है कि एक प्रणाली के विभिन्न हिस्से कितने गहराई से जुड़े होते हैं। जब प्रणाली एक सरल अवस्था से शुरू होती है जहाँ प्रत्येक हिस्सा स्वतंत्र होता है, तो रैंडम गेट्स हिस्सों को आपस में बुनना शुरू कर देते हैं। शोधकर्ताओं ने पाया कि प्रणाली के दो हिस्सों के बीच जुड़ाव की मात्रा समय के साथ लगातार बढ़ती है। उन्होंने इस विकास को एक 'एंटैंगलमेंट मेम्ब्रेन' (entanglement membrane) की अवधारणा का उपयोग करके दृश्य रूप में प्रस्तुत किया, जो दोनों हिस्सों को अलग करने वाली एक लचीली सतह के रूप में कार्य करती है। इस मेम्ब्रेन में एक तनाव (tension) होता है, और प्रणाली स्वाभाविक रूप से प्रतिरोध के न्यूनतम पथ की तलाश करती है। शुरुआती समय में, जुड़ाव बढ़ने के लिए सबसे कुशल पथ समय के आयाम (dimension) के माध्यम से सीधा नीचे की ओर जाना है, जिससे एंटैंगलमेंट रैखिक रूप से बढ़ता है। हालाँकि, एक बार जब जुड़ाव प्रणाली के किनारों तक पहुँच जाता है, तो पथ बदल जाता है, और विकास धीमा हो जाता है जब तक कि यह एक स्थिर अधिकतम स्तर तक नहीं पहुँच जाता। यह व्यवहार वास्तविक थर्मल प्रणालियों में जो होता है उसका प्रतिबिंब है, जहाँ प्रणाली अंततः अधिकतम विकार (disorder), या इक्विलिब्रियम की स्थिति में settles हो जाती है, जिसमें एंटैंगलमेंट की एक निश्चित मात्रा होती है।

अंत में, शोधकर्ताओं ने प्रणाली के 'स्पेक्ट्रम' (spectrum) की जांच की, जो ऊर्जा स्तरों या आवृत्तियों का वह सेट है जिसे प्रणाली रख सकती है। अराजक प्रणालियों में, ये स्तर यादृच्छिक नहीं होते; वे एक विशिष्ट तरीके से एक-दूसरे को प्रतिकर्षित (repel) करते हैं जो क्वांटम अराजकता की एक पहचान है। शोधकर्ताओं ने 'स्पेक्ट्रल फॉर्म फैक्टर' (spectral form factor) नामक एक मात्रा की गणना की, जो यह मापता है कि ये स्तर समय के साथ एक-दूसरे के साथ कैसे सह-संबंधित (correlate) होते हैं। उन्होंने पाया कि एक लंबे समय के लिए, प्रणाली स्वतंत्र हिस्सों के संग्रह की तरह व्यवहार करती है, जिसमें सह-संबंध बहुत तेजी से बढ़ते हैं। लेकिन एक विशिष्ट समय के बाद, जिसे 'थौलेस टाइम' (Thouless time) कहा जाता है, प्रणाली अचानक एक एकल, एकीकृत अराजक इकाई के रूप में व्यवहार करने लगती है। यह संक्रमण "डोमेन वॉल्स" (domain walls) के दमन द्वारा संचालित होता है, जो विभिन्न तरीकों से प्रणाली के पथों के जुड़ने के बीच की सीमाएँ हैं। शोधकर्ताओं ने दिखाया कि यह क्रॉसओवर समय प्रणाली के आकार पर निर्भर करता है, और जैसे-जैसे प्रणाली बड़ी होती है, यह लॉगरिदमिक रूप से बढ़ता है। यह परिणाम छोटे, अलग-थलग प्रणालियों और बड़े, जटिल क्वांटम प्रणालियों में देखे जाने वाले सार्वभौमिक सांख्यिकी के बीच के अंतर को पाटता है।

इन तीन दृष्टिकोणों—ऑपरेटर कैसे फैलते हैं, एंटैंगलमेंट कैसे बढ़ता है, और स्पेक्ट्रल सह-संबंध कैसे विकसित होते हैं—को जोड़कर, यह अध्ययन क्वांटम थर्मलइज़ेशन (thermalization) की एक एकीकृत तस्वीर प्रदान करता है। यह प्रदर्शित करता है कि भले ही एक ऐसी प्रणाली बनाई गई हो जो पूरी तरह से यादृच्छिक, स्थानीय अंतःक्रियाओं से बनी हो, फिर भी सार्वभौमिक नियम उभरते हैं जो सूचना के प्रवाह और संतुलन की ओर बढ़ने को नियंत्रित करते हैं। शोधकर्ताओं ने विशिष्ट सामग्रियों के जटिल सिमुलेशन पर भरोसा नहीं किया, बल्कि सूचना के प्रवाह और इक्विलिब्रियम की ओर बढ़ने को प्रकट करने के लिए कई रैंडम वास्तविकताओं (realizations) पर औसत निकालने की शक्ति का उपयोग किया। उनका कार्य इस बात की पुष्टि करता है कि व्यवस्था से अराजकता की ओर संक्रमण किसी विशिष्ट विवरण का रहस्य नहीं है, बल्कि एक मजबूत विशेषता है जो जेनेरिक क्वांटम डायनेमिक्स द्वारा शासित होती है, और जो सरल सांख्यिकीय नियमों द्वारा नियंत्रित होती है जो भौतिक प्रणालियों की एक विस्तृत श्रृंखला पर लागू होते हैं।