Logarithmic singularity in a dynamical quantum phase transition for free fermions

क्वांटम भौतिकी की सूक्ष्म दुनिया में, कण हमेशा दैनिक जीवन में दिखने वाली ठोस वस्तुओं की तरह व्यवहार नहीं करते हैं। इसके बजाय, वे प्रायिकता (probability) की एक अवस्था में मौजूद होते हैं, जिसे एक तरंग द्वारा वर्णित किया जाता है जो फैल सकती है, ओवरलैप हो सकती है और स्वयं के साथ हस्तक्षेप कर सकती है। जब इन कणों के एक बड़े समूह को अचानक विक्षोभ दिया जाता है—एक ऐसी प्रक्रिया जिसे भौतिक विज्ञानी "क्वेंच" (quench) कहते हैं—तो वे जटिल तरीकों से विकसित होने लगते हैं, एक नई अवस्था में बसने की कोशिश करते हैं। वैज्ञानिक इस बात में गहरी रुचि रखते हैं कि ये प्रणालियाँ अपने अतीत को कितनी याद रखती हैं। यदि आप एक क्वांटम प्रणाली के विकास को देखते हैं और फिर पूछते हैं, "यह अभी भी अपने शुरुआती रूप जैसा कितना दिखता है?", तो आप 'लोशमिट इको' (Loschmidt echo) नामक कुछ माप रहे होते हैं। यह मान आपको मूल विन्यास (configuration) में लौटने की संभावना बताता है। लंबे समय तक, शोधकर्ताओं का मानना था कि जैसे-जैसे कणों की संख्या बढ़ती है, यह वापसी की प्रायिकता बस सहजता से कम होती जाएगी, जैसे किसी शांत कमरे में ध्वनि तरंग धीरे-धीरे लुप्त हो जाती है। हालांकि, हाल के कार्यों से पता चलता है कि कुछ विशेष परिस्थितियों में, यह क्षय बिल्कुल भी सहज नहीं होता है। इसके बजाय, प्रणाली अपने व्यवहार में एक अचानक, तीव्र परिवर्तन से गुजरती है, एक ऐसा क्षण जहाँ इसके विकास के नियम नाटकीय रूप से बदल जाते हैं। यह घटना, जिसे 'डायनामिकल क्वांटम फेज ट्रांजिशन' (dynamical quantum phase transition) कहा जाता है, इस बारे में नहीं है कि प्रणाली एक नए तापमान या व्यवस्था में बस रही है, बल्कि यह कणों के पूरे संग्रह के समय के माध्यम से चलने के तरीके में एक मौलिक परिवर्तन के बारे में है।

शोधकर्ताओं की एक टीम ने अब ठीक से मानचित्रित किया है कि यह एक 'नॉन-इंटरैक्टिंग फर्मियन्स' (non-interacting fermions) के तंत्र में कैसे होता है, जो कि एक प्रकार के कण हैं जो एक ही समय में एक ही स्थान पर नहीं रह सकते। उन्होंने एक विशिष्ट सेटअप का अध्ययन किया जहाँ इन कणों का एक ब्लॉक, जो शुरू में एक रेखा में कसकर पैक किया गया था, एक अनंत ग्रिड में फैलने के लिए मुक्त किया गया। सिस्टम के विकास को ट्रैक करते हुए, उन्होंने पाया कि वापसी की प्रायिकता केवल घटती नहीं है; यह एक महत्वपूर्ण क्षण पर पहुँचती है जहाँ सिस्टम के पथ का गणितीय विवरण एक 'टोपोलॉजिकल' (topological) परिवर्तन से गुजरता है। इसे समझने के लिए, कणों को एक अंधेरे मैदान में चलते हुए लोगों की भीड़ के रूप में कल्पना करें। शुरुआत में, भीड़ एक विशिष्ट पथ के साथ एक एकल, एकजुट समूह के रूप में चलती है। जैसे-जैसे समय बीतता है, यह पथ विकृत और खिंचता जाता है। शोधकर्ताओं ने पाया कि एक सटीक क्षण पर, यह एकल पथ दो अलग-अलग, असंबद्ध लूप्स (loops) में विभाजित हो जाता है। यह कोई क्रमिक विलय या धीमी गति से होने वाला बदलाव नहीं है; यह पथ के आकार का एक अचानक टूटना है, एक जुड़े हुए रूप से दो अलग रूपों में संक्रमण। यह घटना डायनामिकल क्वांटम फेज ट्रांजिशन को चिह्नित करती है।

अध्ययन से पता चलता है कि यह संक्रमण एक "इंस्टेंटन" (instanton) विन्यास में परिवर्तन से प्रेरित है, जो संभावनाओं के जटिल परिदृश्य में सिस्टम द्वारा लिए जाने वाले सबसे संभावित पथ का वर्णन करने का एक फैंसी तरीका है। विकास के शुरुआती चरणों में, प्रभावी पथ कणों के संवेग (momenta) के गणितीय स्थान में एक एकल, हृदय के आकार का लूप बनाता है। जैसे-जैसे समय बीतता है, यह हृदय का आकार विकृत होता जाता है जब तक कि एक महत्वपूर्ण क्षण पर, यह टूट न जाए। एकल लूप टूटकर दो अलग-अलग, सममित लूप्स में विभाजित हो जाता है, जो एक टूटे हुए दिल जैसा दिखता है। यह विभाजन ही इस संक्रमण की कुंजी है। शोधकर्ताओं ने दिखाया कि यह घटना एक विशिष्ट प्रकार की गणितीय विलक्षणता (singularity) पैदा करती है, एक ऐसा बिंदु जहाँ सिस्टम के व्यवहार के परिवर्तन की दर एक मानक द्वितीय-क्रम (second-order) संक्रमण की तुलना में थोड़ी अधिक गंभीर लेकिन तृतीय-क्रम (third-order) से कम गंभीर रूप से तीव्र होती है। वे इसे "दो प्लस शून्य" (two plus zero) क्रम का संक्रमण कहते हैं, जो इस विशिष्ट प्रकार की क्वांटम घटना का एक अनूठा हस्ताक्षर है।

यह खोज विशेष रूप से इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह एक सामान्य धारणा को चुनौती देती है: कि वास्तविक-समय के विकास को केवल काल्पनिक-समय (imaginary-time) के विकास को देखकर और घड़ी को घुमाकर समझा जा सकता है। कई क्वांटम समस्याओं में, भौतिक विज्ञानी वास्तविक समय और काल्पनिक समय के बीच स्विच करने के लिए 'विक रोटेशन' (Wick rotation) नामक एक गणितीय ट्रिक का उपयोग करते हैं, जिससे वे दोनों को एक ही सिक्के के दो पहलुओं के रूप में देखते हैं। हालांकि, यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि इस विशिष्ट प्रणाली के लिए, दोनों मौलिक रूप से भिन्न हैं। काल्पनिक समय में, संक्रमण एक एकल लूप के भीतर एक अंतराल (gap) खुलने से संबंधित है, जिससे समग्र आकार जुड़ा हुआ रहता है लेकिन उसमें एक छेद होता है। वास्तविक समय में, यह संक्रमण बहुत अधिक नाटकीय है: लूप वास्तव में दो टुकड़ों में टूट जाता है। यह टोपोलॉजिकल अंतर इस अर्थ में महत्वपूर्ण है कि वास्तविक समय में सिस्टम के व्यवहार की भविष्यवाणी केवल काल्पनिक-समय समाधान को घुमाकर नहीं की जा सकती है। शोधकर्ताओं को एक नया दृष्टिकोण विकसित करना पड़ा, जिसमें समस्या को एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करने वाले आवेशित कणों के मॉडल में मैप किया गया, ताकि दो अलग-अलग चरणों और उनके बदलने के क्षण को सही ढंग से पहचाना जा सके।

टीम ने यह भी पता लगाया कि क्या होता है यदि सिस्टम का अवलोकन एक अधिक सामान्य सेटिंग में किया जाता है, जहाँ समय को वास्तविक और काल्पनिक दोनों भागों के साथ एक जटिल संख्या (complex number) के रूप में माना जाता है। यह विस्तार केवल एक गणितीय अभ्यास नहीं है; यह एक भौतिक परिदृश्य से मेल खाता है जिसे 'पोस्ट-सिलेक्शन' (post-selection) कहा जाता है, जहाँ शोधकर्ता प्रयोग के परिणामों को फ़िल्टर करते हैं ताकि विशिष्ट परिणामों पर ध्यान केंद्रित किया जा सके। इस जटिल समय परिदृश्य में, शोधकर्ताओं ने पाया कि सिस्टम दो अलग-अलग संक्रमणों से गुजर सकता है। पहले, एकल हृदय के आकार का पथ दो में विभाजित हो जाता है, ठीक वैसे ही जैसे वास्तविक-समय के मामले में होता है। लेकिन जैसे-जैसे अवलोकन जारी रहता है, इनमें से एक पथ अंततः सिकुड़ जाता है और गायब हो जाता है, जिससे एक एकल पथ फिर से बन जाता है, हालांकि यह मूल पथ से भिन्न है। यह दूसरा इवेंट, "कट का डेथ" (death of a cut), एक अन्य डायनामिकल फेज ट्रांजिशन है, जो उसी तीव्र, लघुगणकीय (logarithmic) विलक्षणता द्वारा चिह्नित है। इसका मतलब है कि अवलोकन के तरीके को सावधानीपूर्वक ट्यून करके, कोई सिस्टम को टोपोलॉजिकल परिवर्तनों के एक क्रम के माध्यम से ले जा सकता है, और सिस्टम के प्रमुख पथ को टूटते और फिर एक नए आकार में बनते हुए देख सकता है।

निष्कर्षों का समर्थन विश्लेषणात्मक गणनाओं और संख्यात्मक सिमुलेशन (numerical simulations) दोनों द्वारा किया गया है। शोधकर्ताओं ने कणों की एक बड़ी संख्या के लिए व्यवहार की गणना की और पुष्टि की कि संक्रमण एक विशिष्ट पुन: स्केल किए गए समय पर होता है, जो कणों की संख्या का लगभग 0.331 गुना है। उन्होंने सीमित संख्या में कणों के साथ सिस्टम का अनुकरण करके अपने सैद्धांतिक अनुमानों को सत्यापित किया और 'ऑर्डर पैरामीटर' (order parameter) का अवलोकन किया, जो पथ के आकार को ट्रैक करता है, जबकि वह एकल-लूप चरण से दो-लूप चरण और वापस जाने के दौरान गति कर रहा था। डेटा ने अनुमानित महत्वपूर्ण बिंदु की ओर स्पष्ट अभिसरण (convergence) दिखाया, जिससे पुष्टि हुई कि यह संक्रमण सिस्टम की एक सुदृढ़ विशेषता है। अध्ययन ने संक्रमण बिंदु पर विलक्षणता की प्रकृति को भी स्पष्ट किया। जबकि सिस्टम की मुक्त ऊर्जा (free energy) के प्रथम और द्वितीय डेरिवेटिव निरंतर रहते हैं, तीसरा डेरिवेटिव विचलित (diverge) हो जाता है, जिससे एक लघुगणकीय स्पाइक (logarithmic spike) उत्पन्न होता है। यह विशिष्ट व्यवहार इसे अन्य ज्ञात चरण संक्रमणों से अलग करता है और मुक्त फर्मियॉन प्रणालियों में इस प्रकार के डायनामिकल क्वांटम फेज ट्रांजिशन की अनूठी प्रकृति को उजागर करता है।

अंततः, यह कार्य एक स्पष्ट और विस्तृत चित्र प्रदान करता है कि कैसे एक क्वांटम प्रणाली अपने विकास में अचानक, संरचनात्मक परिवर्तन से गुजर सकती है। यह दिखाता है कि एक क्वांटम प्रणाली जो पथ लेती है वह हमेशा एक चिकना, निरंतर वक्र नहीं होता है, बल्कि समय के बीतने के जवाब में अचानक टोपोलॉजिकल बदलावों से गुजर सकता है, टूट सकता है और फिर से बन सकता है। इन बदलावों के सटीक क्षण और प्रकृति की पहचान करके, शोधकर्ताओं ने कई-शरी (many-body) क्वांटम प्रणालियों के जटिल गतिकी को समझने के लिए एक नया द्वार खोल दिया है। इन संक्रमणों को अनुमानित और लक्षणित करने की क्षमता, विशेष रूप से पोस्ट-सिलेक्शन माप के संदर्भ में, क्वांटम विकास को नियंत्रित करने वाले मौलिक नियमों के बारे में गहरी अंतर्दृष्टि प्रदान करती है। अध्ययन पुष्टि करता है कि एक सरल गैर-परस्पर क्रिया वाले कणों (non-interacting particles) के तंत्र में भी, सामूहिक व्यवहार समृद्ध और आश्चर्यजनक घटनाओं को जन्म दे सकता है, जहाँ सिस्टम के इतिहास का वास्तविक आकार अचानक और नाटकीय तरीके से बदल जाता है।