Logarithmic singularity in a dynamical quantum phase transition for free fermions

In de microscopische wereld van de kwantumfysica gedragen deeltjes zich niet altijd als de solide objecten die we in het dagelijs leven zien. In plaats daarvan bestaan ze in een staat van waarschijnlijkheid, beschreven door een golf die kan uitspreiden, overlappen en met zichzelf kan interfereren. Wanneer een grote groep van deze deeltjes plotseling wordt verstoord — een proces dat natuurkundigen een "quench" noemen — beginnen ze op complexe manieren te evolueren, in een poging om tot een nieuwe staat te komen. Wetenschappers zijn diep geïnteresseerd in hoe deze systemen hun verleden onthouden. Als je de evolutie van een kwantumsysteem observeert en vervolgens vraagt: "Hoeveel lijkt het nog op de manier waarop het begon?", meet je iets dat de Loschmidt-echo wordt genoemd. Deze waarde vertelt je de waarschijnlijkheid dat het systeem terugkeert naar zijn oorspronkelijke configuratie. Lange tijd geloofden onderzoekers dat naarmate het aantal deeltjes groter werd, deze terugkeerkans simpelweg geleidelijk zou wegsterven, zoals een geluidsgolf die uitsterft in een stille kamer. Echter, recent werk suggereert dat onder bepaalde omstandigheden dit verval helemaal niet vloeiend verloopt. In plaats daarvan ondergaat het systeem een plotselinge, scherpe verandering in zijn gedrag, een moment waarop de regels van zijn evolutie dramatisch verschuiven. Dit fenomeen, bekend als een dynamische kwantumfaseovergang, gaat niet over het systeem dat zich instelt op een nieuwe temperatuur of ordening, maar over een fundamentele verandering in de manier waarop de gehele verzameling deeltjes door de tijd beweegt.

Een team van onderzoekers heeft nu nauwkeurig in kaart gebracht hoe dit gebeurt in een systeem van niet-interagerende fermionen, een type deeltje dat niet dezelfde ruimte op hetzelfde moment kan innemen. Ze bestudeerden een specifieke opstelling waarbij een blok van deze deeltjes, die aanvankelijk dicht op elkaar gepakt waren in een lijn, werd vrijgelaten om zich over een oneindig rooster te verspreiden. Door het systeem tijdens zijn evolutie te volgen, ontdekten ze dat de terugkeerkans niet alleen afneemt; het bereikt een kritiek moment waarop de wiskundige beschrijving van het pad van het systeem een topologische verandering ondergaat. Om dit te begrijpen, kun je de deeltjes voorstellen als een menigte mensen die door een donker veld beweegt. In het begin beweegt de menigte als één enkele, samenhangende groep langs een specifiek pad. Naarmate de tijd verstrijkt, vervormt en rekt dit pad uit. De onderzoekers ontdekten dat op een precies moment dit enkele pad splitst in twee aparte, niet-verbonden lussen. Dit is geen geleidelijke versmelting of een langzame drift; het is een plotseling breken van de vorm van het pad, een transitie van één verbonden vorm naar twee afzonderlijke vormen. Dit evenement markeert de dynamische kwantumfaseovergang.

De studie onthult dat deze transitie wordt gedreven door een verandering in de "instanton"-configuratie, een chique manier om de meest waarschijnlijke weg te beschrijven die het systeem aflegt door het complexe landschap van mogelijkheden. In de vroege stadia van de evolutie vormt het dominante pad een enkele, hartvormige lus in de wiskundige ruimte waar de impulsen van de deeltjes zich bevinden. Naarmate de tijd vordert, vervormt deze hartvorm totdat deze, op een kritiek moment, knapt. De enkele lus breekt uiteen in twee aparte, symmetrische lussen, die lijken op een gebroken hart. Deze splitsing is de sleutel tot de transitie. De onderzoekers toonden aan dat dit evenement een specifiek soort wiskundige singulariteit veroorzaakt, een punt waar de veranderingssnelheid in het gedrag van het systeem oneindig scherp wordt op een manier die iets heviger is dan een standaard tweede-orde transitie, maar minder heftig dan een derde-orde transitie. Ze noemen dit een transitie van orde "twee plus nul", een unieke handtekening van dit specifieke type kwantumevenement.

Wat deze ontdekking bijzonder significant maakt, is dat het een algemeen aanvaarde aanname in de natuurkunde uitdaagt: dat real-time evolutie simpelweg begrepen kan worden door te kijken naar imaginaire-tijd evolutie en de klok te roteren. In veel kwantumproblemen gebruiken natuurkundigen een wiskundige truc genaamd een Wick-rotatie om te schakelen tussen reële tijd en imaginaire tijd, waarbij ze ze als twee kanten van dezelfde munt behandelen. Echter, dit artikel demonstreert dat voor dit specifieke systeem de twee fundamenteel verschillend zijn. In imaginaire tijd houdt de transitie een gat in stand binnen een enkele lus, waardoor de algehele vorm verbonden blijft maar met een gat. In reële tijd is de transitie veel dramatischer: de lus breekt daadwerkelijk in twee stukken. Dit topologische verschil betekent dat het gedrag van het systeem in reële tijd niet voorspeld kan worden door simpelweg de imaginaire-tijd oplossing te roteren. De onderzoekers moesten een nieuwe aanpak ontwikkelen, waarbij ze het probleem mappen naar een model van geladen deeltjes die elkaar afstoten, om de twee verschillende fasen en het moment waarop ze wisselen correct te identificeren.

Het team verkende ook wat er gebeurt als het systeem in een algemenere setting wordt geobserveerd, waarbij tijd wordt behandeld als een complex getal met zowel reële als imaginaire delen. Deze uitbreiding is niet slechts een wiskundige oefening; het komt overeen met een fysiek scenario genaamd post-selectie, waarbij onderzoekers de resultaten van een experiment filteren om ons te richten op specifieke uitkomsten. In dit complexe tijdslandschap ontdekten de onderzoekers dat het systeem twee afzonderlijke transities kan ondergaan. Eerst splitst het enkele hartvormige pad zich in tweeën, net als in het geval van de reële tijd. Maar naarmate de observatie voortduurt, krimpt een van deze twee paden uiteindelijk en verdwijnt, waardoor er weer een enkel pad overblijft, hoewel dit keer een ander dan het originele. Dit tweede evenement, de "dood" van een snede (cut), is een andere dynamische faseovergang, eveneens gekenmerkt door dezelfde scherpe, logaritmische singulariteit. Dit betekent dat men, door de observatie van het systeem zorgvuldig af te stemmen, het systeem door een sequentie van topologische veranderingen kan leiden, waarbij men ziet hoe het dominante pad van het systeem breekt en weer een nieuwe vorm aanneemt.

De bevindingen worden ondersteund door zowel analytische berekeningen als numerieke simulaties. De onderzoekers berekenden het gedrag voor een groot aantal deeltjes en bevestigden dat de transitie plaatsvindt op een specifieke geschaalde tijd, ongeveer 0,331 keer het aantal deeltjes. Ze verifieerden hun theoretische voorspellingen door het systeem met een eindig aantal deeltjes te simuleren en de ordeparameter te observeren — een waarde die de vorm van het pad volgt — terwijl deze bewoog van de enkele-lusfase naar de twee-lussenfase en weer terug. De gegevens vertoonden een duidelijke convergentie naar het voorspelde kritieke punt, wat bevestigt dat de transitie een robuust kenmerk van het systeem is. De studie verduidelijkte ook de aard van de singulariteit bij het transitiepunt. Terwijl de eerste en tweede afgeleide van de vrije energie continu blijven, divergeert de derde afgeleide, wat een logaritmische piek creëert. Dit specifieke gedrag onderscheidt het van andere bekende faseovergangen en benadrukt de unieke aard van deze dynamische kwantumfaseovergangen in vrije fermionen-systemen.

Uiteindelijk biedt dit werk een helder, gedetailleerd beeld van hoe een kwantumsysteem een plotselinge, structurele verandering in zijn evolutie kan ondergaan. Het laat zien dat het pad dat een kwantumsysteem aflegt niet altijd een gladde, continue curve is, maar dat het abrupte topologische verschuivingen kan ondergaan, waarbij het breekt en opnieuw vormt als reactie op het verstrijken van de tijd. Door het exacte moment en de aard van deze verschuivingen te identificeren, hebben de onderzoekers een nieuw venster geopend naar het begrip van de complexe dynamica van many-body kwantumsystemen. Het vermogen om deze transities te voorspellen en te karakteriseren, vooral in de context van post-selectie metingen, biedt een dieper inzicht in de fundamentele wetten die de kwantumevolutie beheersen. De studie bevestigt dat zelfs in een eenvoudig systeem van niet-interagerende deeltjes, het collectieve gedrag rijke en verrassende verschijnselen kan voortbrengen, waarbij de vorm van de geschiedenis van het systeem zelf op een plotselinge, dramatische manier verandert.