क्वांटम कंप्यूटिंग की दुनिया में, किसी भी गणना का मौलिक निर्माण खंड एक 'यूनिटरी ऑपरेशन' (unitary operation) नामक रूपांतरण है। इसे एक नियम के रूप में सोचें जो एक क्वांटम सिस्टम को यह बताता है कि वह बिना कोई जानकारी खोए अपनी अवस्था कैसे बदल सकता है, ठीक वैसे ही जैसे ताश की गड्डी का एक आदर्श शफल (shuffle) कार्डों को पुनर्व्यवस्थित करता है लेकिन कार्डों की कुल संख्या को समान रखता है। वैज्ञानिक लंबे समय से जानते हैं कि कई कणों वाले सिस्टम के लिए, इन विशिष्ट नियमों को बनाना अविश्वसनीय रूप से कठिन है। ऐसे नियम को बनाने का मानक तरीका छोटे-छोटे चरणों का एक लंबा अनुक्रम शामिल करता है, जहाँ चरणों की संख्या इतनी तेजी से बढ़ती है कि मध्यम जटिल प्रणालियों के लिए भी, इस प्रक्रिया को पूरा करने में ब्रह्मांड की आयु से भी अधिक समय लग जाएगा। इसने इस व्यापक विश्वास को जन्म दिया कि कुछ क्वांटम कार्य इतने जटिल हैं कि उन्हें जल्दी से नहीं किया जा सकता, चाहे आप कितने भी अतिरिक्त संसाधनों या "सहायक" (helper) कणों का उपयोग करने के लिए तैयार क्यों न हों। वह प्रश्न, जो वर्षों से इस क्षेत्र में छाया हुआ था, यह था कि क्या यह सुस्ती भौतिकी का एक अटूट नियम है या अब तक आजमाए गए तरीकों की एक सीमा है।

कोलंबिया विश्वविद्यालय के शोधकर्ताओं की एक टीम ने अब यह दिखाया है कि यह सुस्ती प्रकृति का नियम नहीं, बल्कि डिजाइन का एक चुनाव है। उन्होंने प्रदर्शित किया है कि प्रत्येक संभव नियम, जो एक क्वांटम सिस्टम को बदलने के लिए है, आश्चर्यजनक रूप से कम समय में किया जा सकता है, बशर्ते आप बड़ी संख्या में सहायक कणों का उपयोग करने के लिए तैयार हों। उनका कार्य सिद्ध करता है कि एक जटिल क्वांटम गणना को चलाने के लिए लगने वाले समय को 'स्थान' (space) के साथ बदला जा सकता है। चरणों के एक लंबे अनुक्रम को एक के बाद एक चलाने के बजाय, शोधकर्ताओं ने सभी आवश्यक चरणों को एक साथ चलाने का एक तरीका खोजा। सूचना को समानांतर (parallel) रूप में रखने के लिए बड़ी संख्या में अतिरिक्त कणों का उपयोग करके, उन्होंने जटिल रूपांतरणों को करने के लिए आवश्यक समय को एक असंभव अवधि से घटाकर एक प्रबंधनीय अवधि में बदल दिया। वास्तव में, उन्होंने दिखाया कि यदि कंप्यूटर को एक विशेष प्रकार के शक्तिशाली कनेक्शन की अनुमति दी जाए जो सूचना को तुरंत कई स्थानों पर कॉपी कर सके, तो पूरी प्रक्रिया को एक ही निरंतर क्षण (constant moment) में पूरा किया जा सकता है, चाहे सिस्टम कितना भी जटिल क्यों न हो।

इस खोज का मार्ग समस्या को देखने के एक अलग तरीके से शुरू हुआ। नियम को चरण-दर-चरण बनाने के बजाय, शोधकर्ताओं ने नियम को एक गणितीय आकृति में कूटबद्ध (encoded) एक छिपे हुए संदेश के रूप में माना। उन्होंने महसूस किया कि यदि वे इस आकृति के बारे में सही प्रश्न पूछ सकें, तो वे पूरे नियम को पुनर्गठित कर सकते हैं। यह विचार इस बात के समान है कि कैसे कोई व्यक्ति किसी छिपी हुई वस्तु के आकार का पता लगाने के लिए उस पर कुछ अलग कोणों से प्रकाश डाल सकता है। शोधकर्ताओं ने उस नियम के बारे में जानकारी रखने वाले एक विशेष सहायक (helper) से केवल तीन विशिष्ट प्रश्न पूछने की विधि विकसित की। ये प्रश्न गणितीय आकृति की जांच इस तरह से करने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं जिससे नियम की संरचना प्रकट हो सके। मुख्य अंतर्दृष्टि एक ऐसे प्रकार के सहायक का उपयोग करना था जो सूचना को निरंतर, चिकनी तरंग-जैसी (wave-like) अवस्था में संग्रहीत करता है, न कि मानक कंप्यूटरों के उपयोग किए जाने वाले विविक्त (discrete), ऑन-ऑफ बिट्स में। इसने उन्हें अत्यधिक दक्षता के साथ आवश्यक जानकारी निकालने की अनुमति दी।

हालाँकि, वास्तविक क्वांटम कंप्यूटर पूरी तरह से चिकनी, निरंतर तरंगों को नहीं संभाल सकते; वे विविक्त चरणों (discrete steps) के साथ काम करते हैं। अपने विचार को एक वास्तविक मशीन पर काम करने योग्य बनाने के लिए, शोधकर्ताओं को अपने चिकने गणितीय समाधान को बिंदुओं के एक सीमित ग्रिड (finite grid) वाले संस्करण में अनुवादित करना पड़ा। उन्होंने दिखाया कि एक पर्याप्त सूक्ष्म ग्रिड चुनकर, वे अविश्वसनीय सटीकता के साथ चिकने समाधान का अनुमान लगा सकते हैं। इस सन्निकटन (approximation) से उत्पन्न त्रुटि इतनी कम है कि इसे केवल ग्रिड में कुछ और बिंदु जोड़कर किसी भी वांछित सीमा से छोटा बनाया जा सकता है। यह विवक्तीकरण (discretization) प्रक्रिया उनके सुरुचिपूर्ण गणितीय सिद्धांत और एक व्यावहारिक क्वांटम सर्किट के बीच का सेतु है। परिणाम एक ऐसे क्वांटम कंप्यूटर का नुस्खा है जो किसी भी रूपांतरण को एक ऐसे समय में कर सकता है जो सिस्टम के आकार के साथ बहुत धीरे-धीरे बढ़ता है, न कि घातीय (exponentially) रूप से।

पहेली का अंतिम हिस्सा यह दिखाना था कि वास्तव में इस नुस्खे को क्वांटम कंप्यूटर पर उपलब्ध भौतिक गेट्स का उपयोग करके कैसे बनाया जाए। शोधकर्ताओं ने अपने एल्गोरिदम को तीन मुख्य भागों में विभाजित किया: प्रारंभिक अवस्था (initial state) तैयार करना, सहायक पर तीन प्रश्न लागू करना, और फिर परिणाम को पढ़ना। उन्होंने प्रदर्शित किया कि इन में से प्रत्येक भाग को कणों के बीच केवल सरल, मानक कनेक्शनों का उपयोग करके बनाया जा सकता है। महत्वपूर्ण रूप से, उन्होंने दिखाया कि इन कनेक्शनों को इस तरह व्यवस्थित किया जा सकता है कि वे एक साथ हो सकें। यदि कंप्यूटर के पास एक विशेष क्षमता है जो सूचना के एक टुकड़े को एक साथ कई अन्य स्थानों पर कॉपी कर सकती है, तो पूरी प्रक्रिया को एक 'कॉन्स्टेंट डेप्थ' (constant depth) वाले सर्किट में संकुचित किया जा सकता है। इसका अर्थ है कि जैसे-जैसे सिस्टम बड़ा होता जाता है, इसे करने में लगने वाला समय बिल्कुल नहीं बढ़ता है। इस विशेष क्षमता के बिना भी, आवश्यक समय केवल लघुगणकीय (logarithmically) रूप से बढ़ता है, जो कि पहले से ही अपरिहार्य माने जाने वाले घातीय विकास की तुलना में बहुत धीमी वृद्धि है।

यह निष्कर्ष इस धारणा को चुनौती देता है कि जटिल क्वांटम सिस्टमों को धीरे-धीरे विकसित होना चाहिए। भौतिकी में, एक सामान्य विश्वास है कि किसी सिस्टम के समय विकास (time evolution) का अनुकरण करने के लिए उन चरणों की आवश्यकता होती है जो सिम्युलेट किए जा रहे समय के समानुपाती हों। शोधकर्ता स्वीकार करते हैं कि यह अंतर्ज्ञान बहुत कम सहायक कणों वाले सिस्टम के लिए सत्य है, लेकिन उनका कार्य दिखाता है कि जब आपको विशाल मात्रा में अतिरिक्त स्थान (space) का उपयोग करने की अनुमति दी जाती है, तो नियम बदल जाते हैं। समय के विकास को 'स्पेस' को एक संसाधन के रूप में उपयोग करके "फास्ट-फॉरवर्ड" किया जा सकता है। यह भौतिकी के नियमों का उल्लंघन नहीं करता है; बल्कि, यह समय और स्थान के बीच एक नए व्यापार-संबंध (trade-off) को प्रकट करता है जो पहले छिपा हुआ था। शोधकर्ता सावधानीपूर्वक नोट करते हैं कि हालांकि उनकी विधि यह सिद्ध करती है कि ऐसा फास्ट-फॉरवर्डिंग सैद्धांतिक रूप से संभव है, लेकिन आवश्यक सहायक कणों की संख्या बहुत अधिक है, जो सिस्टम के आकार के साथ घातीय रूप से बढ़ती है। यह इस विधि को बड़े पैमाने पर अनुप्रयोगों के लिए वर्तमान में अव्यावहारिक बनाता है, लेकिन यह क्वांटम कंप्यूटिंग के बारे में हमारी समझ को मौलिक रूप से बदल देता है।

यह शोध क्वांटम जटिलता और क्लासिकल जटिलता के बीच के संबंध को भी संबोधित करता है। वर्षों से, यह स्पष्ट नहीं था कि क्वांटम नियमों को बनाने की कठिनाई क्लासिकल समस्याओं को हल करने की कठिनाई से जुड़ी है या नहीं। शोधकर्ताओं की विधि क्वांटम संश्लेषण और सूचना को निजी रूप से प्राप्त करने तथा संदेशों को स्थानीय रूप से डिकोड करने की क्लासिकल तकनीकों के बीच एक गहरे संबंध पर निर्भर करती है। इन क्षेत्रों को आपस में जोड़कर, वे क्रिप्टोग्राफी और कोडिंग थ्योरी से शक्तिशाली उपकरणों को उधार लेने में सक्षम हुए ताकि क्वांटम यांत्रिकी की समस्या को हल किया जा सके। विचारों के इस क्रॉस-पॉलिनेशन (cross-pollination) ने उन्हें समस्या को एक नए दृष्टिकोण से देखने की अनुमति दी, जिससे यह प्रकट हुआ कि क्वांटम नियमों की जटिलता एक अलग रहस्य नहीं है, बल्कि सूचना की संरचना के साथ गहराई से जुड़ी हुई है।

अंत में, यह कार्य इस सिद्धांत के प्रमाण के रूप में खड़ा है कि सामान्य क्वांटम ऑपरेशंस के लिए आवश्यक घातीय गहराई (exponential depth) एक मौलिक बाधा नहीं है। यह दिखाता है कि पर्याप्त संसाधनों के साथ, किसी भी क्वांटम रूपांतरण को एक 'शैलो सर्किट' (shallow circuit) में समानांतर किया जा सकता है। शोधकर्ताओं ने एक विशिष्ट एल्गोरिदम का निर्माण करके इसे हासिल किया जो एक 'क्वाड्रेटिक फेज ऑरेकल' (quadratic phase oracle) का उपयोग करता है—एक गणितीय उपकरण जो नियम को तरंग-जैसी अवस्था (wave-like phase) में कूटबद्ध करता है—और फिर फूरियर ट्रांसफॉर्म (Fourier transforms) की एक श्रृंखला का उपयोग करके इसे डिकोड करता है। उन्होंने सिद्ध किया कि इस प्रक्रिया को निरंतर सेटिंग में सटीक बनाया जा सकता है और फिर नगण्य त्रुटि के साथ एक सीमित ग्रिड पर विवक्त (discretize) किया जा सकता है। संपूर्ण निर्माण कठोर और गणितीय रूप से सुदृढ़ है, जो कॉन्स्टेंट-डेप्थ क्वांटम सर्किट के लिए एक ठोस मार्ग प्रदान करता है। हालांकि आवश्यक कणों की विशाल संख्या इस विधि को बड़े पैमाने पर व्यावहारिक बनाने के लिए अभी भी चुनौतीपूर्ण बनाती है, लेकिन यह क्वांटम जटिलता के बारे में हमारी समझ में एक नया अध्याय खोलती है, यह दिखाते हुए कि क्वांटम गणना की सीमाएं हमारी अपेक्षा से कहीं अधिक लचीली हैं।