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Free fermion models with an operator entanglement growing as $O(\sqrt{t})$

यह शोधपत्र प्रदर्शित करता है कि स्थान- और समय-निर्भर यादृच्छिकता (randomness) के अधीन एक-आयामी संख्या-संरक्षणकारी मुक्त फर्मिऑन प्रणालियों में, स्थानीय स्पिन ऑपरेटरों और विकास ऑपरेटर (evolution operator) की ऑपरेटर स्पेस एंटैंगलमेंट एंट्रॉपी $\mathcal{O}(\sqrt{t})$ के रूप में बढ़ती है, जो एक ऐसा व्यवहार है जिसे क्वांटम मॉडलों को सिमेट्रिक सिंपल एक्सक्लूजन प्रोसेस में मैप करके विश्लेषणात्मक रूप से स्थापित किया गया है और यह गैर-यादृच्छिक या भिन्न विकार (disorder) परिदृश्यों में देखे जाने वाले लघुगणकीय (logarithmic) या रैखिक विकास के विपरीत है।

मूल लेखक: Federico Tonetto, Jérôme Dubail

प्रकाशित 2026-10-06

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Federico Tonetto, Jérôme Dubail

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

क्वांटम दुनिया में, सूचना कैसे फैलती है इसके नियम हमारे रोजमर्रा के अनुभवों से मौलिक रूप से भिन्न हैं। जब भौतिक विज्ञानी कणों की एक श्रृंखला का अध्ययन करते हैं, जैसे कि इलेक्ट्रॉन या परमाणु, तो वे 'एंटैंगलमेंट एंट्रॉपी' नामक एक मात्रा को देखते हैं। यह इस बात को मापता है कि दो भागों के बीच संबंध कितना गहरा है, जिससे पता चलता है कि एक भाग की स्थिति को जानने से दूसरे के बारे में तुरंत कुछ पता चल जाता है। दशकों तक, एक स्पष्ट पैटर्न उभरता रहा: उन प्रणालियों में जो "इंटीग्रेबल" (integrable) हैं—अर्थात सरल, पूर्वानुमेय और अधिकांश वास्तविक सामग्रियों की तरह अराजक अव्यवस्था से रहित—एंटैंगलमेंट बहुत धीरे बढ़ता है, केवल समय के लघुगणक (logarithm) के रूप में बढ़ता है। यह एक मंद, सुस्त वृद्धि है जो बताती है कि प्रणाली व्यवस्थित और वर्णन करने में आसान बनी रहती है। इसके विपरीत, उन अराजक प्रणालियों में जहाँ कण बेतहाशा परस्पर क्रिया करते हैं, यह एंटैंगलमेंट रैखिक रूप से विस्फोट करता है, जो घड़ी की हर टिक के साथ अपनी वृद्धि दर को दोगुना कर देता है। यह अंतर लंबे समय से सरल, पूर्वानुमेय क्वांटम गति और वास्तविक अराजकता के जटिल, अव्यवस्थित व्यवहार के बीच अंतर करने के लिए एक मानक परीक्षण के रूप में उपयोग किया जाता रहा है।

हालाँकि, फेडेरिको टोनेटो और जेरोम ड्यूबेल का एक नया अध्ययन इस स्पष्ट विभाजन को चुनौती देता है। उन्होंने एक विशिष्ट प्रकार की क्वांटम प्रणाली की जांच की: मुक्त फर्मियन्स (free fermions) की एक एक-आयामी श्रृंखला, जो ऐसे कण हैं जो आपस में परस्पर क्रिया नहीं करते हैं लेकिन फिर भी एंटैंगल हो सकते हैं। इन "स्वच्छ" (clean) प्रणालियों के पिछले अध्ययनों में, स्थानीय ऑपरेटरों (local operators)—जो कणों की स्थिति का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले गणितीय उपकरण हैं—का एंटैंगलमेंट ज्ञात था कि लघुगणकीय रूप से बढ़ता है, जो धीमी, व्यवस्थित पैटर्न में फिट बैठता है। लेकिन शोधकर्ताओं ने एक अलग प्रश्न पूछा: यदि आप सिस्टम में यादृच्छिकता (randomness) पेश करते हैं तो क्या होगा? उन्होंने केवल स्थिर विकार (static disorder) नहीं जोड़ा, जैसे कि एक जमी हुई अशुद्धि, बल्कि पर्यावरण को स्थान और समय दोनों में यादृच्छिक रूप से उतार-चढ़ाव देने की अनुमति दी, जो एक शोर भरे, अप्रत्याशित संसार की नकल करता है। उन्होंने दो विशिष्ट चीजों पर ध्यान केंद्रित किया: एक स्थानीय स्पिन ऑपरेटर का विकास (जिसमें एक गणितीय "स्ट्रिंग" शामिल है जो इसे श्रृंखला के बाकी हिस्सों से जोड़ती है) और विकास ऑपरेटर (evolution operator) स्वयं, जो पूरे सिस्टम के परिवर्तन का वर्णन करता है।

परिणाम आश्चर्यजनक थे और एक ऐसी श्रेणी में आए जिसकी भविष्यवाणी नहीं की गई थी। जब शोधकर्ताओं ने इन प्रणालियों का पूर्ण यादृच्छिकता के साथ अनुकरण (simulate) किया, तो उन्होंने पाया कि एंटैंगलमेंट लघुगणकीय रूप से धीरे नहीं बढ़ा, न ही यह अराजक प्रणाली की तरह रैखिक रूप से विस्फोट हुआ। इसके बजाय, यह समय के वर्गमूल (square root) के समान दर से बढ़ा। यह एक मध्य मार्ग है: स्वच्छ प्रणालियों की धीमी, व्यवस्थित वृद्धि से तेज़, लेकिन परस्पर क्रिया करने वाली अराजक प्रणालियों की तीव्र वृद्धि से बहुत धीमा। शोधकर्ताओं ने दो अलग-अलग मॉडलों का उपयोग करके इस व्यवहार की पुष्टि की: एक जो एक शोर वाले हैमिल्टोनियन (Hamiltonian) की तरह निरंतर विकसित होता है, और दूसरा जो एक रैंडम क्वांटम सर्किट की तरह असतत चरणों (discrete steps) में विकसित होता है। दोनों मामलों में, विकास उसी वर्गमूल पैटर्न का अनुसरण करता है, जो यह सुझाव देता है कि यह यादृच्छिक, गैर-परस्पर क्रिया करने वाली क्वांटम प्रणालियों की एक मजबूत विशेषता है।

अध्ययन ने यह भी पता लगाया कि जब यादृच्छिकता अलग होती है तो क्या होता है। जब विकार "क्वेंच्ड" (quenched) था, जिसका अर्थ है कि वह एक स्थान पर जम गया था और समय के साथ नहीं बदला था, तो व्यवहार मॉडल के आधार पर विभाजित हो गया। असतत सर्किट मॉडल में, एंटैंगलमेंट पूरी तरह से बढ़ना बंद हो गया और एक निश्चित मान पर स्थिर हो गया, जो लोकलाइजेशन (localization) का संकेत है जहाँ कण फंस जाते हैं। हालाँकि, निरंतर हैमिल्टोनियन मॉडल में, एंटैंगलमेंट अविश्वसनीय रूप से धीरे बढ़ा, एक डबल-लॉगैरिद्मिक (double-logarithmic) पैटर्न का पालन करते हुए, जो मानक लघुगणकीय वृद्धि से भी धीमा है। यह अंतर रेखांकित करता है कि यादृच्छिकता की प्रकृति अत्यंत महत्वपूर्ण है। लेकिन जब यादृच्छिकता स्थान और समय दोनों में सक्रिय थी, तो वर्गमूल वृद्धि लगातार दिखाई दी, चाहे वह एक निरंतर श्रृंखला हो या एक असतत सर्किट।

यह समझने के लिए कि यह क्यों होता है, लेखकों ने अपनी जटिल क्वांटम समस्या को 'सिमेट्रिक सिंपल एक्सक्लूजन प्रोसेस' (symmetric simple exclusion process) नामक एक सरल, शास्त्रीय मॉडल पर मैप किया। कल्पना कीजिए कि कणों की एक रेखा है जो पड़ोसी स्थानों पर कूद सकती है लेकिन एक ही समय में एक ही स्थान पर कब्जा नहीं कर सकती; यह प्रसार (diffusion) के एक शास्त्रीय मॉडल की तरह है। शोधकर्ताओं ने दिखाया कि उनके सिस्टम में क्वांटम एंटैंगलमेंट, औसतन, इस शास्त्रीय मॉडल में कणों के प्रवाह की तरह व्यवहार करता है। यह मानते हुए कि क्वांटम उतार-चढ़ाव एक अनुमानित तरीके से औसत हो जाते हैं—एक गुण जिसे उन्होंने व्यापक कंप्यूटर सिमुलेशन के साथ सत्यापित किया है—वे वृद्धि दर के सटीक सूत्र प्राप्त करने में सक्षम हुए। ये सूत्र उनके संख्यात्मक डेटा से पूरी तरह मेल खाते थे, जिससे पुष्टि हुई कि वर्गमूल वृद्धि एक वास्तविक भौतिक घटना है जो यादृच्छिकता और गैर-परस्पर क्रिया करने वाले कणों की प्रकृति के बीच के तालमेल से प्रेरित है।

यह खोज हमारी क्वांटम जटिलता की समझ को नया आकार देती है। लंबे समय से, यह माना जाता था कि यदि कोई सिस्टम "इंटीग्रेबल" या गैर-परस्पर क्रिया वाला है, तो उसकी जटिलता हमेशा कम रहेगी, जो केवल लघुगणकीय रूप से बढ़ेगी। वर्गमूल वृद्धि की खोज यह बताती है कि भले ही सिस्टम में प्रत्यक्ष कण अंतःक्रियाएं न हों, यादृच्छिकता का परिचय क्वांटम अवस्था की जटिलता को काफी बढ़ा सकता है, जिससे इसे शास्त्रीय कंप्यूटर पर सिम्युलेट करना पहले की तुलना में अधिक कठिन बना देता है। फिर भी, यह पूरी तरह से अराजक प्रणाली जितना कठिन नहीं है। यह कार्य शोर वाले वातावरण में क्वांटम सूचना कैसे फैलती है, इसका एक नया, सटीक बेंचमार्क प्रदान करता है, जो दिखाता है कि ब्रह्मांड की क्वांटम गतिशीलता में पूर्ण व्यवस्था और पूर्ण अराजकता के बीच एक समृद्ध स्पेक्ट्रम मौजूद है। शोधकर्ताओं का निष्कर्ष है कि वर्गमूल वृद्धि इन यादृच्छिक फ्री-फर्मियन मॉडलों के लिए सामान्य व्यवहार है, जो एक ऐसा परिणाम है जो यादृच्छिकता के विभिन्न प्रकारों और समय के विभिन्न मॉडलों में भी सत्य रहता है।

तकनीकी सारांश: मुक्त फर्मियन मॉडल जिनमें ऑपरेटर एंटैंगलमेंट $O(\sqrt{t})$ की दर से बढ़ता है

समस्या विवरण
ऑपरेटर स्पेस एंटैंगलमेंट एंट्रॉपी (OSEE) एक द्वि-आयामी क्वांटम सिस्टम के हिल्बर्ट स्पेस पर कार्य करने वाले ऑपरेटरों की जटिलता के परिमाणांक (quantifier) के रूप में कार्य करती है, जो विशेष रूप से मैट्रिक्स प्रोडक्ट ऑपरेटर्स (MPOs) के माध्यम से ऑपरेटरों को अनुमानित करने के लिए आवश्यक बॉन्ड डायमेंशन (bond dimension) को लक्षणित करती है। यह व्यापक रूप से माना जाता है कि इंटीग्रेबल सिस्टम्स (जैसे कि क्लीन फ्री फर्मियन चेन्स) में, OSEE की स्थानीय ऑपरेटरों के लिए वृद्धि अधिकतम लॉगरिदमिक ( $O(\log t)$ ) होती है, जबकि अराजक (chaotic) सिस्टम्स में, यह रैखिक ( $O(t)$ ) होती है।

यह शोध पत्र रैंडम फ्री फर्मियन मॉडल्स में OSEE के व्यवहार की जांच करता है। लेखक यह जांचते हैं कि क्या यादृच्छिकता (randomness) का परिचय (स्थान, समय, या दोनों में) "इंटेग्रेबल" लॉगरिदमिक स्केलिंग को संरक्षित रखता है या अराजक रैखिक स्केलिंग को प्रेरित करता है। विशेष रूप से, वे निम्नलिखित पर ध्यान केंद्रित करते हैं:

जॉर्डन-वाइनरिंग (JW) स्ट्रिंग वाले स्थानीय स्पिन ऑपरेटर (जैसे, XX चेन्स में $X_j, Y_j$ ), जो गैर-स्थानीय (non-local) फर्मियोनिक ऑपरेटरों में मैप होते हैं।
स्वयं टाइम-इवोल्यूशन ऑपरेटर $U(t)$ ।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक दो अलग-अलग रैंडम फ्री फर्मियन मॉडल्स का विश्लेषण करते हैं:

सतत-समय (Continuous-time): एक ब्राउनियन हैमिल्टनियन जिसे क्वांटम सिमेट्रिक सिंपल एक्सक्लूजन प्रोसेस (QSSEP) के रूप में जाना जाता है, जिसमें स्थान- और समय-निर्भर शोर वाली होपिंग (hopping) होती है।
विच्छिन्न-समय (Discrete-time): एक ब्रिक-वॉल क्वांटम सर्किट जो $U(2)$ पर हेयर मीज़र (Haar measure) से लिए गए रैंडम गॉसियन गेट्स (matchgates) से बना है।

अध्ययन तीन प्रकार के डिसऑर्डर (disorder) पर विचार करता है:

क्वेन्च्ड डिसऑर्डर (Quenched disorder): स्थान में स्थिर यादृच्छिकता (समय में स्थिर)।
शुद्ध रूप से टेम्पोरल डिसऑर्डर (Purely temporal disorder): प्रत्येक टाइम स्टेप पर फिर से खींची गई यादृच्छिकता, लेकिन स्थानिक ट्रांसलेशन इनवेरिएंस (spatial translation invariance) बनाए रखती है (जैसे, $\nu=2$ साइट्स)।
पूर्णतः रैंडम डिसऑर्डर (Fully random disorder): स्थान और समय दोनों में स्वतंत्र यादृच्छिकता।

तकनीकी ढांचा (Technical Framework)
मुख्य तकनीकी योगदान वेक्टराइज्ड ऑपरेटर्स को फ्री-फर्मियोनिक गॉसियन स्टेट्स में मैप करने में निहित है।

वेक्टराइजेशन (Vectorization): ऑपरेटर $O$ को एक दोहरे हिल्बर्ट स्पेस में एक स्टेट $|O\rangle\rangle$ में मैप किया जाता है। गॉसियन यूनिटरीज $U$ और जॉर्डन-वाइनरिंग स्ट्रिंग $JW$ के लिए, वेक्टराइज्ड स्टेट्स गॉसियन होते हैं।
कोरिलेशन मैट्रिसेस (Correlation Matrices): OSEE को पूरी तरह से एक रिड्यूस्ड कोरिलेशन मैट्रिक्स $G_{BB}$ $G_{B B}$ (सबसिस्टम $B$ $B$ पर प्रतिबंधित) के स्पेक्ट्रम $\{\tau_k\}$ ${τ_{k}}$ के पदों में व्यक्त किया जाता है।
- इवोल्यूशन ऑपरेटर $U(t)$ के लिए, OSEE $S_\alpha(U) = 2 \sum_k f_\alpha(\tau_k)$ है।
- कंजुगेटेड JW स्ट्रिंग $U^\dagger JW U$ के लिए, OSEE $S_\alpha(JW) = 2 \sum_k h_\alpha(\tau_k)$ है।
विश्लेषणात्मक व्युत्पत्ति (Fully Random Case के लिए): पूर्णतः रैंडम डिसऑर्डर के लिए औसत OSEE की गणना करने के लिए, लेखक क्वांटम डायनेमिक्स को शास्त्रीय सिमेट्रिक सिंपल एक्सक्लूजन प्रोसेस (SSEP) में मैप करते हैं।
- वे सबसिस्टम में कण संख्या के फुल काउंटिंग स्टैटिस्टिक्स (FCS) का उपयोग करते हैं।
- यह मानते हुए कि FCS सेल्फ-एवरेजिंग (संख्यात्मक रूप से समर्थित) है, वे कोरिलेशन मैट्रिक्स के मोमेंट्स को SSEP करंट के लार्ज डेविएशन फंक्शन से जोड़ते हैं।
- यह $\sqrt{t}$ ग्रोथ के गुणांकों के लिए क्लोज्ड-फॉर्म इंटीग्रल एक्सप्रेशंस निकालने की अनुमति देता है।

प्रमुख परिणाम

पूर्णतः रैंडम डिसऑर्डर (स्थान और समय):
- जॉर्डन-वाइनरिंग स्ट्रिंग (और इस प्रकार स्ट्रिंग वाले स्थानीय स्पिन ऑपरेटरों) का OSEE और इवोल्यूशन ऑपरेटर का OSEE दोनों $O(\sqrt{t})$ के रूप में बढ़ता है।
- यह विकास सभी रेनी इंडेक्स $\alpha$ के लिए मान्य है।
- लेखक JW स्ट्रिंग के लिए $2s_\alpha$ और इवोल्यूशन ऑपरेटर के लिए $c_\alpha$ के विश्लेषणात्मक प्रीफैक्टर्स (prefactors) निकालते हैं, जो ब्राउनियन हैमिल्टनियन और मैचगेट सर्किट दोनों के लिए संख्यात्मक सिमुलेशन से मेल खाते हैं।
- तुलना: यह क्लीन इंटीग्रेबल सिस्टम्स में $O(\log t)$ विकास और जेनेरिक अराजक (chaotic) सिस्टम्स में $O(t)$ विकास से भिन्न है।
शुद्ध रूप से टेम्पोरल डिसऑर्डर:
- संख्यात्मक परिणाम दिखाते हैं कि दोनों ऑपरेटरों के लिए OSEE भी $O(\sqrt{t})$ के रूप में बढ़ता है।
- यह सिस्टम सेल्फ-एवरेजिंग नहीं है, जो पूर्णतः रैंडम केस के लिए उपयोग किए गए SSEP मैपिंग के माध्यम से सरल विश्लेषणात्मक व्युत्पत्ति को रोकता है।
क्वेन्च्ड डिसऑर्डर (समय में स्थिर):
- मैचगेट सर्किट्स: OSEE एक स्थिर मान ( $O(1)$ ) तक संतृप्त हो जाता है, जो एंडरसन लोकलाइजेशन (Anderson localization) के अनुरूप है।
- डिसऑर्डर्ड हैमिल्टनियन: OSEE $O(\log \log t)$ के रूप में बढ़ता है। लेखक इसे हैमिल्टनियन की कायरल सिमेट्री (chiral symmetry) के कारण बताते हैं (जिसमें ऑन-साइट टर्म्स का अभाव है), जो सिस्टम को एक इन्फिनिट-रैंडमनेस क्रिटिकल पॉइंट पर रखता है, जैसा कि रैंडम ट्रांसवर्स-फील्ड आइसिंग चेन में होता है।

महत्व और दावे
पेपर का दावा है कि $O(\sqrt{t})$ ग्रोथ की खोज इस द्वैत (dichotomy) को चुनौती देती है कि OSEE या तो लॉगरिदमिक (इंटेग्रेबल) होना चाहिए या रैखिक (अराजक)।

जांचे गए रैंडम फ्री फर्मियन मॉडल "इंटेग्रेबल" अर्थों में हैं (क्योंकि वे नॉन-इंटरेक्टिंग हैं), फिर भी वे एक ऐसी विकास दर ( $O(\sqrt{t})$ ) प्रदर्शित करते हैं जो इंटीग्रेबल डायनेमिक्स के लिए अपेक्षित लॉगरिदमिक स्केलिंग से काफी अधिक है।
यह सुझाव देता है कि हाइजेनबर्ग पिक्चर में स्थानीय ऑपरेटरों का OSEE डायनेमिकल कॉम्प्लेक्सिटी या इंटीग्रैबिलिटी का एक पूर्ण परिमाणांक नहीं हो सकता है, क्योंकि यह इन विशिष्ट रैंडम फ्री फर्मियन मॉडल्स और वास्तव में अराजक सिस्टम्स (जो $O(t)$ स्केल करते हैं) के बीच उतना स्पष्ट अंतर नहीं कर पाता जितना कि पहले सोचा गया था।
यह कार्य रैंडम फ्री फर्मियन्स के ऑपरेटर एंटैंगलमेंट और SSEP की शास्त्रीय डिफ्यूजन के बीच एक ठोस संबंध स्थापित करता है।

सीमाएं और भविष्य की दिशाएं
लेखक नोट करते हैं कि विश्लेषणात्मक व्युत्पत्ति FCS के लिए सेल्फ-एवरेजिंग की धारणा पर निर्भर करती है, जो संख्यात्मक रूप से समर्थित है लेकिन कठोरता से सिद्ध नहीं की गई है। वे शुद्ध रूप से टेम्पोरल डिसऑर्डर मामले को विश्लेषणात्मक उपचार के लिए एक ओपन प्रॉब्लम के रूप में पहचानते हैं क्योंकि इसमें शास्त्रीय अंडरलाइंग मॉडल का अभाव है और सेल्फ-एवरेजिंग अनुपस्थित है। भविष्य के कार्य में उन मॉडल्स की खोज करने का सुझाव दिया गया है जिनमें $U(1)$ पार्टिकल नंबर कंजर्वेशन नहीं है और इस डिफ्यूजन व्यवहार पर कमजोर इंटरैक्शन के प्रभावों का अध्ययन करना है।

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