Free fermion models with an operator entanglement growing as $O(\sqrt{t})$

技術要約：演算子エンタングルメントが $O(\sqrt{t})$ で増大する自由フェルミオンモデル

問題設定
演算子空間エンタングルメント・エントロピー（OSEE）は、ヒルベルト空間に作用する演算子の複雑さを定量化する指標であり、行列積演算子（MPO）を用いて演算子を近似するために必要なボンド次元を特徴付けるものである。OSEEは、可積分系（クリーンな自由フェルミオン鎖など）においては、局所的な演算子のエントロピーが最大でも対数的に増大（$O(\log t)$）すると広く信じられている一方で、カオス系においては線形に増大（$O(t)$）するとされている。

本論文は、ランダムな自由フェルミオンモデルにおけるOSEEの挙動を調査している。著者らは、ランダム性（空間、時間、またはその両方）の導入が、「可積分」な対数スケーリングを維持するのか、あるいはカオス的な線形スケーリングを誘発するのかという問いを投げかけている。具体的には、以下の点に焦点を当てている：

1. ジョルダン・ウィグナー（JW）ストリングを含む局所スピン演算子（例：XX鎖における $X_j, Y_j$）。これらは非局所的なフェルミオン演算子へと写像される。
2. 時間発展演算子 $U(t)$ 自体。

手法
著者らは、2つの異なるランダム自由フェルミオンモデルを分析している：

1. 連続時間モデル： 空間および時間に依存するノイズを含むホッピングを持つ、ブラウン運動ハミルトニアンである量子対称単純排他過程（QSSEP）。
2. 離散時間モデル： $U(2)$ 上のハール測度から抽出されたランダムなガウスゲート（マッチゲート）からなるブリックウォール量子回路。

研究では、以下の3種類の無秩序（ディスオーダー）を検討している：

• クエンチ無秩序（Quenched disorder）： 時間に対してランダム性が静的（空間的に凍結）であるもの。
• 純粋な時間的無秩序（Purely temporal disorder）： 各タイムステップごとにランダム性が再描画されるが、空間的な並進対称性は維持されるもの（例：$\nu=2$ サイト）。
• 完全ランダム無秩序（Fully random disorder）： 空間と時間の両方において独立なランダム性を持つもの。

技術的枠組み
本研究の核心的な技術的貢献は、ベクトル化された演算子を自由フェルミオン的なガウス状態へと写像することにある。

• ベクトル化： 演算子 $O$ は、二重化されたヒルベルト空間における状態 $|O\rangle\rangle$ へと写像される。ガウスユニタリ $U$ およびジョルダン・ウィグナー・ストリング $JW$ に対して、これらのベクトル化された状態はガウス型となる。
• 相関行列： OSEEは、減少した相関行列 $G_{BB}$（部分系 $B$ に制限されたもの）のスペクトル $\{\tau_k\}$ のみを用いて完全に記述される。
  • 時間発展演算子 $U(t)$ の場合、OSEEは $S_\alpha(U) = 2 \sum_k f_\alpha(\tau_k)$ となる。
  • 共役されたJWストリング $U^\dagger JW U$ の場合、OSEEは $S_\alpha(JW) = 2 \sum_k h_\alpha(\tau_k)$ となる。
• 解析的導出（完全ランダム無秩序の場合）： 完全ランダム無秩序における平均OSEEを計算するために、著者らは量子力学的なダイナミクスを古典的な**対称単純排他過程（SSEP）**へと写像している。
  • 彼らは、部分系における粒子数の**全計数統計（FCS）**を利用している。
  • FCSが**自己平均的（self-averaging）**であると仮定し（数値的に支持されている）、相関行列のモーメントをSSEP電流の大きな偏差関数に関連付けている。
  • これにより、$\sqrt{t}$ の増大係数に関する閉形式の積分表現を導出することが可能となった。

主な結果

1. 完全ランダム無秩序（空間および時間）：

   • ジョルダン・ウィグナー・ストリング（およびそれを含む局所スピン演算子）のOSEE、および発展演算子のOSEEは、ともに $O(\sqrt{t})$ で増大する。
   • この増大は、すべてのレニー指数 $\alpha$ に対して成立する。
   • 著者らは、JWストリングに対する $2s_\alpha$ および発展演算子に対する $c_\alpha$ という解析的な前因子を導出した。これらは、ブラウン運動ハミルトニアンおよびマッチゲート回路の両方において、数値シミュレーションと一致している。
   • 対照： これは、クリーンな可積分系における $O(\log t)$ の増大や、一般的なカオス系における $O(t)$ の増大とは明確に異なる。

2. 純粋な時間的無秩序：

   • 数値結果は、両方の演算子のOSEEが $O(\sqrt{t})$ で増大することを示している。
   • このレジームではシステムが自己平均的ではないため、完全ランダム無秩序で使用されたSSEPへの写像による単純な解析的導出は困難である。

3. クエンチ無秩序（時間に対して静的）：

   • マッチゲート回路： OSEEは一定の値（$O(1)$）に飽和する。これはアンダーソン局在と一致する。
   • 無秩序ハミルトニアン： OSEEは $O(\log \log t)$ で増大する。著者らは、これをハミルトニアンのカイラル対称性（オンサイト項を持たない）に帰しており、このシステムがランダム横磁場イジング模型と同様に、無限ランダムネス臨界点にあることを示唆している。

意義と主張
本論文は、$O(\sqrt{t})$ の増大の発見が、OSEEは対数的（可積分）か線形的（カオス的）かの二項対立に従うという説に異を唱えるものであると主張している。

• 調査されたランダム自由フェルミオンモデルは、（非相互作用であるため）「可積分」である。しかし、それらは可積分なダイナミクスで期待される対数スケーリングよりも厳密に速い増大率（$O(\sqrt{t})$）を示す。
• これは、ハイゼンベルク描像における局所演算子のOSEEが、ダイナミカルな複雑さや可積分性を定量化する完璧な指標ではない可能性を示唆している。なぜなら、これら特定のランダム自由フェルミオンモデルと、真のカオス系（$O(t)$ でスケールする）を区別する能力が、想定されていたほど鋭くないからである。
• 本研究は、ランダム自由フェルミオンの演算子エンタングルメントと、古典的な対称単純排他過程の拡散との間の具体的な結びつきを確立している。

限界と今後の方向性
著者らは、解析的導出がFCSの自己平均性という仮定に依存しており、それは数値的には支持されているものの、厳密には証明されていないことを指摘している。また、古典的な基礎モデルが存在せず、自己平均性も欠いているため、純粋な時間的無秩序のケースは解析的扱いのための未解決問題であるとしている。今後の課題として、$U(1)$ 粒子数保存則を持たないモデルの探索や、この拡散挙動に対する弱い相互作用の影響の調査が挙げられている。