Free fermion models with an operator entanglement growing as $O(\sqrt{t})$

技术摘要：算符纠缠随 $O(\sqrt{t})$ 增长的自由费米子模型

问题陈述
算符空间纠缠熵（Operator Space Entanglement Entropy, OSEE）是衡量作用于一维量子系统希尔伯特空间上的算符复杂度的量化指标，具体表征了通过矩阵乘积算符（MPO）近似算符所需的键维数（bond dimension）。人们普遍认为，在可积系统（如洁净的自由费米子链）中，局部算符的 OSEE 随时间呈对数增长（$O(\log t)$），而在混沌系统中，则呈线性增长（$O(t)$）。

本文研究了随机自由费米子模型中的 OSEE 行为。作者探讨了引入随机性（在空间、时间或两者中）是否会保持“可积”的对数标度，还是会诱导混沌的线性标度。具体而言，他们关注了：

1. 涉及 Jordan-Wigner (JW) 链的局部自旋算符（例如 XX 链中的 $X_j, Y_j$），这些算符映射为非局域费米子算符。
2. 时间演化算符 $U(t)$ 本身。

研究方法
作者分析了两种截然不同的随机自由费米子模型：

1. 连续时间模型： 一种被称为量子对称简单排斥过程（QSSEP）的布朗哈密顿量，其特征是具有空间和时间相关的噪声跳跃。
2. 离散时间模型： 由从 $U(2)$ Haar 测度中抽取的随机高斯门（matchgates）组成的砖墙量子电路。

研究考虑了三种类型的无序：

• 淬火无序（Quenched disorder）： 随机性在时间上是静态的（在空间中冻结）。
• 纯时间无序（Purely temporal disorder）： 随机性在每个时间步都会重新抽取，但保持空间平移不变性（例如 $\nu=2$ 个位点）。
• 全随机无序（Fully random disorder）： 在空间和时间上均具有独立的随机性。

技术框架
其核心技术贡献在于将向量化的算符映射为自由费米子高斯态。

• 向量化： 算符 $O$ 被映射到双希尔伯特空间中的一个态 $|O\rangle\rangle$。对于高斯幺正算符 $U$ 和 Jordan-Wigner 链 $JW$，这些向量化态是高斯的。
• 相关矩阵： OSEE 完全由限制在子系统 $B$ 上的简化相关矩阵 $G_{BB}$ 的谱 $\{\tau_k\}$ 来表示。
  • 对于演化算符 $U(t)$，OSEE 为 $S_\alpha(U) = 2 \sum_k f_\alpha(\tau_k)$。
  • 对于共轭 JW 链 $U^\dagger JW U$，OSEE 为 $S_\alpha(JW) = 2 \sum_k h_\alpha(\tau_k)$。
• 解析推导（全随机无序情况）： 为了计算全随机无序下的平均 OSEE，作者将量子动力学映射到经典对称简单排斥过程（SSEP）。
  • 他们利用了子系统中粒子数的全计数统计（Full Counting Statistics, FCS）。
  • 假设 FCS 是**自平均（self-averaging）**的（得到数值支持），他们将相关矩阵的矩与 SSEP 电流的大偏差函数联系起来。
  • 这使得能够推导出用于计算 $\sqrt{t}$ 增长系数的闭合形式积分表达式。

主要结果

1. 全随机无序（空间与时间）：

   • Jordan-Wigner 链（以及带有链的局部自旋算符）的 OSEE 以及演化算符的 OSEE 均表现为 $O(\sqrt{t})$ 增长。
   • 这种增长对所有 Rényi 指数 $\alpha$ 均成立。
   • 作者推导出了 JW 链和演化算符的解析预因子 $2s_\alpha$ 和 $c_\alpha$，这些预因子与针对布朗哈密顿量和 matchgate 电路的数值模拟结果相吻合。
   • 对比： 这不同于洁净可积系统中的 $O(\log t)$ 增长，也不同于通用混沌系统的 $O(t)$ 增长。

2. 纯时间无序：

   • 数值结果显示，两种算符的 OSEE 也表现为 $O(\sqrt{t})$ 增长。
   • 系统在此机制下不是自平均的，这阻碍了通过全随机情况下使用的 SSEP 映射进行简单的解析推导。

3. 淬火无序（时间静态）：

   • Matchgate 电路： OSEE 饱和为一个常数值（$O(1)$），这与安德森局域化一致。
   • 无序哈密顿量： OSEE 表现为 $O(\log \log t)$ 增长。作者将其归因于哈密顿量的手征对称性（缺乏在位项），使系统处于无限随机性临界点，类似于随机横场伊辛链。

意义与主张
本文声称，$O(\sqrt{t})$ 增长的发现挑战了 OSEE 必须在对数（可积）或线性（混沌）之间二选一的二分法。

• 研究的随机自由费米子模型在“非相互作用（自由费米子）”意义上是可积的，但它们表现出的增长速率（$O(\sqrt{t})$）严格快于可积动力学所预期的对数标度。
• 这表明，海森堡绘景下的局部算符的 OSEE 可能并非完美的动力学复杂度或可积性量化器，因为它无法像此前认为的那样，清晰地将这些特定的随机自由费米子模型与真正的混沌系统（标度为 $O(t)$）区分开来。
• 该工作建立了随机自由费米子的算符纠缠与经典对称简单排斥过程扩散之间的具体联系。

局限性与未来方向
作者指出，解析推导依赖于 FCS 是自平均的这一假设，虽然得到了数值支持，但尚未得到严格证明。他们指出纯时间无序情况是一个需要进行解析处理的开放性问题，因为该情况缺乏底层的经典模型且不存在自平均现象。未来的工作建议探索不具备 $U(1)$ 粒子数守恒的模型，以及弱相互作用对这种扩散行为的影响。