Free fermion models with an operator entanglement growing as $O(\sqrt{t})$

In der Welt der Quanten sind die Regeln, wie sich Informationen ausbreiten, grundlegend anders als in unserer alltäglichen Erfahrung. Wenn Physiker eine Kette winziger Teilchen untersuchen, wie etwa Elektronen oder Atome, betrachten sie oft eine Größe namens Verschränkungsentropie. Diese misst, wie tief zwei Teile eines Systems miteinander verbunden sind, sodass das Wissen über den Zustand eines Teils augenblicklich etwas über den anderen verrät. Jahrzehntelang schien sich ein klares Muster abzuzeichnen: In Systemen, die „integrierbar“ sind – das heißt, einfach, vorhersehbar und frei von dem chaotischen Chaos der meisten realen Materialien – wächst die Verschränkung sehr langsam und nimmt nur als Logarithmus der Zeit zu. Es ist ein sanfter, träger Anstieg, der darauf hindeutet, dass das System geordnet und leicht beschreibbar bleibt. Im Gegensatz dazu explodiert die Verschränkung in chaotischen Systemen, in denen Teilchen wild interagieren, linear und verdoppelt ihre Wachstumsrate mit jedem Takt der Uhr. Dieser Unterschied wurde lange Zeit als Testverfahren verwendet, um zwischen einfacher, vorhersehbarer Quantenbewegung und dem komplexen, unordentlichen Verhalten von echtem Chaos zu unterscheiden.

Doch eine neue Studie von Federico Tonetto und Jérôme Dubail stellt diese klare Trennung infrage. Sie untersuchten einen spezifischen Typ von Quantensystem: eine eindimensionale Kette freier Fermionen, das sind Teilchen, die nicht miteinander interagieren, aber dennoch verschränkt werden können. In früheren Studien dieser „reinen“ Systeme war bekannt, dass die Verschränkung lokaler Operatoren – mathematische Werkzeuge, die verwendet werden, um den Zustand der Teilchen zu beschreiben – logarithmisch wächst und damit dem langsamen, geordneten Muster entspricht. Aber die Forscher stellten eine andere Frage: Was passiert, wenn man Zufälligkeit in das System einführt? Sie fügten nicht nur statische Unordnung hinzu, wie etwa eine eingefrorene Verunreinigung, sondern ließen die Umgebung sowohl im Raum als auch in der Zeit zufällig fluktuieren, was eine verrauschte, unvorhersehbare Welt nachahmt. Sie konzentrierten sich auf zwei spezifische Dinge: die Entwicklung einer lokalen Spin-Operator (die eine mathematische „Schnur“ beinhaltet, die sie mit dem Rest der Kette verbindet) und die Entwicklung des Evolutionsoperators selbst, der beschreibt, wie sich das gesamte System im Laufe der Zeit verändert.

Die Ergebnisse waren überraschend und fielen in eine Kategorie, die nicht vorhergesagt worden war. Als die Forscher diese Systeme mit vollständiger Zufälligkeit simulierten, fanden sie, dass die Verschränkung nicht langsam als Logarithmus wuchs, noch explodierte sie linear wie in einem chaotischen System. Stattdessen wuchs sie mit einer Rate, die proportional zur Quadratwurzel der Zeit ist. Dies ist ein Mittelweg: schneller als das langsame, geordnete Wachstum der reinen Systeme, aber viel langsamer als das rapide, chaotische Wachstum interagierender Systeme. Die Forscher bestätigten dieses Verhalten mit zwei verschiedenen Modellen: einem, das kontinuierlich wie ein verrauschter Hamiltonian evolviert, und einem anderen, das in diskreten Schritten wie ein zufälliger Quantenschaltkreis evolviert. In beiden Fällen folgte das Wachstum demselben Quadratwurzel-Muster, was darauf hindeutet, dass dies ein robustes Merkmal zufälliger, nicht-interagierender Quantensysteme ist.

Die Studie untersuchte auch, was passiert, wenn die Zufälligkeit anders ist. Wenn die Unordnung „gequencht“ war, das heißt, sie war an Ort und Stelle eingefroren und änderte sich nicht im Laufe der Zeit, spaltete sich das Verhalten je nach Modell auf. Im diskreten Schaltkreismodell hörte die Verschränkung vollständig auf zu wachsen und sättigte sich bei einem festen Wert, ein Zeichen von Lokalisierung, bei der Teilchen feststecken. Im kontinuierlichen Hamiltonian-Modell hingegen wuchs die Verschränkung unglaublich langsam nach einem doppel-logarithmischen Muster, was noch langsamer ist als das standardmäßige logarithmische Wachstum. Dieser Unterschied verdeutlicht, dass die Art der Zufälligkeit eine tiefe Bedeutung hat. Aber wenn die Zufälligkeit sowohl im Raum als auch in der Zeit aktiv war, trat das Quadratwurzel-Wachstum konsistent auf, unabhängig davon, ob es sich um eine kontinuierliche Kette oder einen diskreten Schaltkreis handelte.

Um zu verstehen, warum dies geschieht, bildeten die Autoren ihr komplexes Quantenproblem auf ein einfacheres, klassisches Modell ab, das als „symmetric simple exclusion process“ bekannt ist. Stellen Sie sich eine Linie von Teilchen vor, die zwischen benachbarten Plätzen hin und her springen können, aber denselben Platz nicht zur gleichen Zeit besetzen können; dies ist ein klassisches Modell der Diffusion. Die Forscher zeigten, dass die Quantenverschränkung in ihrem System im Durchschnitt genau wie der Fluss von Teilchen in diesem klassischen Modell verhält. Durch die Annahme, dass sich die Quantenfluktuationen auf vorhersagbare Weise herausmitteln – eine Eigenschaft, die sie durch umfangreiche Computersimulationen verifiziert haben –, konnten sie exakte Formeln für die Wachstumsrate ableiten. Diese Formeln stimmten perfekt mit ihren numerischen Daten überein und bestätigten, dass das Quadratwurzel-Wachstum ein echtes physikalisches Phänomen ist, das durch das Zusammenspiel von Zufälligkeit und der nicht-interagierenden Natur der Teilchen angetrieben wird.

Dieser Befund ist bedeutend, weil er unser Verständnis von Quantenkomplexität neu gestaltet. Lange Zeit glaubte man, dass die Komplexität eines Systems, wenn es „integrierbar“ oder nicht-interagierend ist, immer niedrig bleiben würde und nur logarithmisch wächst. Die Entdeckung dieses Quadratwurzel-Wachstums legt nahe, dass selbst in Systemen ohne direkte Teilcheninteraktion die Einführung von Zufälligkeit die Komplexität des Quantenzustands erheblich steigern kann, was ihn schwieriger auf einem klassischen Computer simulierbar macht, als bisher angenommen. Dennoch ist es nicht so schwierig wie bei einem vollkommen chaotischen System. Die Arbeit liefert einen neuen, präzisen Referenzwert dafür, wie sich Quanteninformation in verrauschten Umgebungen ausbreitet, und zeigt, dass das Universum der Quantendynamik ein reiches Spektrum von Verhaltensweisen zwischen den Extremen von perfekter Ordnung und totalem Chaos enthält. Die Schlussfolgerung der Forscher ist, dass das Quadratwurzel-Wachstum das generische Verhalten für diese zufälligen Free-Fermion-Modelle ist, ein Ergebnis, das über verschiedene Arten von Zufälligkeit und verschiedene Wege der Zeitmodellierung hinweg Bestand hat.