Free fermion models with an operator entanglement growing as $O(\sqrt{t})$

In de kwantumwereld zijn de regels voor hoe informatie zich verspreidt fundamenteel anders dan in onze alledaagse ervaring. Wanneer natuurkundigen een keten van minuscule deeltjes bestuderen, zoals elektronen of atomen, kijken ze vaak naar een grootheid die verstrengelingsentropie wordt genoemd. Dit meet hoe diep twee delen van een systeem met elkaar verbonden zijn, zodanig dat het kennen van de toestand van het ene deel onmiddellijk iets onthult over het andere. Decennialang leek er een duidelijk patroon te ontstaan: in systemen die "integreerbaar" zijn — wat betekent dat ze eenvoudig, voorspelbaar en vrij van de chaotische chaos zijn van de meeste echte materialen — groeit deze verstrengeling zeer traag, waarbij het slechts toeneemt als de logaritme van de tijd. Het is een zachte, stroperige stijging die suggereert dat het systeem geordend en gemakkelijk te beschrijven blijft. In contrast hiermee explodeert de verstrengeling in chaotische systemen waar deeltjes wild met elkaar interageren, waarbij de groeisnelheid bij elke tik van de klok verdubbelt. Dit onderscheid is lang gebruikt als een litmusproef om het verschil te bepalen tussen eenvoudige, voorspelbare kwantum Beweging en het complexe, rommelige gedrag van echte chaos.

Echter, een nieuwe studie door Federico Tonetto en Jérôme Dubail daagt deze nette verdeling uit. Zij onderzochten een specifiek type kwantumsysteem: een eendimensionale keten van vrije fermionen, wat deeltjes zijn die niet met elkaar interageren maar nog steeds verstrengeld kunnen raken. In eerdere studies naar deze "schone" systemen was bekend dat de verstrengeling van lokale operatoren — wiskundige instrumenten die worden gebruikt om de toestand van de deeltjes te beschrijven — logaritmisch groeide, wat paste in het trage, ordelijke patroon. Maar de onderzoekers stelden een andere vraag: wat gebeurt er als je willekeurigheid in het systeem introduceert? Ze voegden niet alleen statische wanorde toe, zoals een bevroren onzuiverheid, maar lieten de omgeving fluctueren met willekeur in zowel ruimte als tijd, wat een ruisende, onvoorspelbare wereld nabootst. Ze richtten zich op twee specifieke zaken: de evolutie van een lokale spin-operator (die een wiskundige "snaar" bevat die het met de rest van de keten verbindt) en de evolutie-operator zelf, die beschrijft hoe het gehele systeem in de loop van de tijd verandert.

De resultaten waren verrassend en vielen in een categorie die niet eerder was voorspeld. Wanneer de onderzoekers deze systemen met volledige willekeur simuleerden, ontdekten ze dat de verstrengeling niet traag groeide als een logaritme, noch explodeerde het lineair zoals een chaotisch systeem. In plaats daarvan groeide het met een snelheid die proportioneel is aan de vierkantswortel van de tijd. Dit is een middenweg: sneller dan de trage, ordelijke groei van de schone systemen, maar veel langzamer dan de snelle, chaotische groei van interagerende systemen. De onderzoekers bevestigden dit gedrag met twee verschillende modellen: één dat continu evolueert als een ruisende Hamiltoniaan, en een andere die in discrete stappen evolueert zoals een willekeurig kwantumcircuit. In beide gevallen volgde de groei hetzelfde wortelpatroon, wat suggereert dat dit een robuust kenmerk is van willekeurige, niet-interagerende kwantumsystemen.

De studie verkende ook wat er gebeurt als de willekeur anders is. Wanneer de wanorde "gekwenched" was, wat betekent dat deze op zijn plaats was bevroren en niet in de loop van de tijd veranderde, splitste het gedrag zich afhankelijk van het model. In het discrete circuitmodel stopte de verstrengeling volledig met groeien en verzadigde deze op een vaste waarde, een teken van lokalisatie waarbij deeltjes vast komen te zitten. In het continue Hamiltoniaanse model groeide de verstrengeling echter ongelooflijk traag, volgens een dubbel-logaritmisch patroon, wat nog trager is dan de standaard logaritmische groei. Dit onderscheid benadrukt dat de aard van de willekeur diepgaand van belang is. Maar wanneer de willekeur actief was in zowel de ruimte als de tijd, verscheen de wortel-groei consistent, ongeacht of het systeem een continue keten of een discreet circuit was.

Om te begrijpen waarom dit gebeurt, brachten de auteurs hun complexe kwantumprobleem in kaart naar een eenvoudiger, klassiek model dat bekend staat als het symmetrische eenvoudige uitsluitingsproces. Stel je een lijn van deeltjes voor die naar naburige plaatsen kunnen springen, maar niet tegelijkertijd dezelfde plek kunnen bezetten; dit is een klassiek model van diffusie. De onderzoekers toonden aan dat de kwantumverstrengeling in hun systeem, gemiddeld genomen, precies zo gedraagt als de stroom van deeltjes in dit klassieke model. Door aan te nemen dat de kwantumfluctuaties op een voorspelbare manier uitmiddelen — een eigenschap die zij met uitgebreide computersimulaties hebben geverifieerd — waren zij in staat om exacte formules voor de groeisnelheid af te leiden. Deze formules kwamen perfect overeen met hun numerieke gegevens, wat bevestigt dat de wortel-groei een echt fysisch fenomeen is, gedreven door het samenspel van willekeur en de niet-interacterende natuur van de deeltjes.

Deze bevinding is significant omdat het ons begrip van kwantumcomplexiteit hervormt. Lange tijd werd geloofd dat als een systeem "integreerbaar" of niet-interacterend was, de complexiteit ervan altijd laag zou blijven en slechts logaritmisch zou groeien. De ontdekking van deze wortel-groei suggereert dat zelfs in systemen zonder directe deeltjesinteracties, de introductie van willekeur de complexiteit van de kwantumtoestand aanzienlijk kan verhogen, waardoor het moeilijker te simuleren is op een klassieke computer dan voorheen gedacht. Toch is het niet zo moeilijk als een volledig chaotisch systeem. Het werk biedt een nieuw, precies ijkpunt voor hoe kwantuminformatie zich verspreidt in ruisende omgevingen, en laat zien dat het universum van de kwantumdynamica een rijk spectrum van gedragingen bevat tussen de extremen van perfecte orde en totale chaos. De conclusie van de onderzoekers is dat de wortel-groei het generieke gedrag is voor deze willekeurige vrije-fermion-modellen, een resultaat dat standhoudt bij verschillende soorten willekeur en verschillende manieren van het modelleren van de tijd.