On generalized Iwasawa main conjectures and $p$-adic Stark conjectures for Artin motives

Sintesi Tecnica: Congetture Principali Generalizzate e Congetture di Stark $p$-adiche per i Motivi di Artin

1. Definizione del Problema e Contesto
Il saggio affronta la formulazione delle congetture principali di Iwasawa e delle congetture di Stark $p$-adiche per i motivi di Artin, specificamente quelli derivanti da rappresentazioni di Artin $\rho$ del gruppo galoisiano assoluto $G_{\mathbb{Q}}$. Mentre la teoria di Iwasawa è stata ben sviluppata per i motivi critici e ordinari in $p$ (ad esempio, attraverso il lavoro di Mazur, Wiles e Perrin-Riou), i motivi di Artin sono tipicamente non critici e la loro aritmetica in $s=0$ è governata dalle "congetture di Stark raffinate" (Stark, Rubin, Gross).

Gli approcci esistenti per questi casi non critici includono:

• Perrin-Riou e Benois: che hanno formulato congetture per le funzioni $L$ $p$-adiche e i gruppi di Selmer utilizzando mappe logaritmiche estese e complessi di Selmer, gestendo in particolare gli "zeri triviali" e gli invarianti $L$.
• Büyükboduk, Sakamoto e altri (BKS17, BS22): che hanno sviluppato una teoria di Iwasawa di "rango superiore" basata su elementi di Rubin-Stark, evitando esplicitamente le funzioni $L$ $p$-adiche e gli invarianti $L$ a favore di costruzioni algebriche.

Il problema centrale è quello di unificare queste prospettive. L'autore cerca di costruire un quadro che incorpori esplicitamente le funzioni $L$ $p$-adiche e gli invarianti $L$ (come in Perrin-Riou/Benois) pur generalizzando i risultati algebrici sugli elementi di Rubin-Stark (come in BKS17/BS22) per i motivi di Artin generali, inclusi quelli non critici e non ordinari.

2. Metodologia e Quadro Teorico
L'autore introduce una famiglia di rappresentazioni di Artin $p$-stabilizzate. Data una rappresentazione di Artin $\rho$ e un primo $p$, una $p$-stabilizzazione è una scelta di un sottospazio $W_p^+ \subset W_p$ stabile rispetto a $G_{\mathbb{Q}_p}$ di dimensione $d_+ = \dim H^0(\mathbb{R}, W)$. Questa scelta è trattata come un parametro aggiuntivo, anche quando non esiste una scelta canonica per i motivi non critici.

Strumenti metodologici chiave includono:

• Mappe di Coleman Modificate: l'autore costruisce mappe di Coleman estese per relazionare la coomologia di Iwasawa delle unità globali ai gruppi di Selmer.
• Gruppi di Selmer: lo studio si concentra sul gruppo di Selmer in stile Greenberg $X_\infty(\rho, \rho^+)$, definito tramite una specifica condizione locale in $p$ determinata dalla $p$-stabilizzazione $\rho^+$.
• Regolatori e Invarianti $L$: nuovi regolatori di Stark $p$-adici e un invariante $L(\rho, \rho^+)$ vengono definiti. Essi generalizzano il regolatore di Gross e l'invariante $L$ di Benois, recuperando gli invarianti noti in casi specifici (ad esempio, motivi cristallini).
• Dualità e Discesa: le dimostrazioni utilizzano la dualità di Poitou-Tate, la struttura dei gruppi di unità globali in torri di $\mathbb{Z}_p$ (Kuz'min, Belliard) e argomenti di discesa per i complessi di Selmer (Nekovář, Benois).

3. Congetture Principali
Il saggio formula la Congettura A, che consiste di tre parti:

1. Esistenza ($EX_{\rho, \rho^+}$): Esiste una misura $p$-adica $\theta_{\rho, \rho^+}$ nel campo frazionario dell'algebra di Iwasawa $\Lambda$ che interpola le parti algebriche dei valori delle funzioni $L$ di Artin in $s=0$, corrette dai regolatori complessi e $p$-adici di Stark.
2. Congettura Principale ($IMC_{\rho, \rho^+}$): La misura $\theta_{\rho, \rho^+}$ genera l'ideale caratteristico del gruppo di Selmer $X_\infty(\rho, \rho^+)$.
3. Congettura dello Zero Extra ($EZC_{\rho, \rho^+}$): Se la stabilizzazione è ammissibile, $\theta_{\rho, \rho^+}$ si annulla al carattere triviale con una molteplicità specifica legata alla dimensione degli invarianti locali. Il termine principale di questo annullamento è espresso tramite il nuovo invariante $L(\rho, \rho^+)$ e un fattore di Euler modificato.

4. Risultati Chiave e Teoremi
Il saggio stabilisce diversi risultati incondizionati e condizionati:

• Teorema A (Struttura dei Gruppi di Selmer): Sotto l'ipotesi che $\rho$ sia non ramificata in $p$, l'autore dimostra che $X_\infty(\rho, \rho^+)$ è un modulo torcente su $\Lambda$ se e solo se la $p$-stabilizzazione è $\eta$-ammissibile per uno o tutti (eccetto finiti) caratteri $\eta$. Inoltre, un generatore dell'ideale caratteristico può essere costruito esplicitamente usando mappe di Coleman modificate e famiglie di "elementi speciali" relativi ai valori delle funzioni $L$ di Artin.
• Teorema B (Congettura del Numero di Tamagawa): Assumendo l'esistenza di una $p$-stabilizzazione ammissibile con un invariante $L$ non nullo e la validità della Congettura A, il saggio dimostra la parte $p$ della congettura del numero di Tamagawa di Bloch-Kato per i motivi di Artin in $s=0$. Ciò mette in relazione il termine principale della funzione $L$ con la dimensione del gruppo di Tate-Shafarevich e dei gruppi di classi ideali.
• Teorema C (Equivalenza per le Rappresentazioni Monomiali): Per le rappresentazioni monomiali (indotte da un carattere $\chi$ di un campo numerico $k$), il saggio dimostra che la Congettura A è essenzialmente equivalente alla "congettura principale di Iwasawa di rango superiore" e alla "congettura di Mazur-Rubin-Sano di tipo Iwasawa" formulate in termini di elementi di Rubin-Stark. Nello specifico:
  • L'esistenza della funzione $L$ $p$-adica ($EX$) segue dalla congettura di Rubin-Stark su $\mathbb{Z}_p$.
  • La Congettura Principale ($IMC$) è equivalente alla congettura principale di Iwasawa di rango superiore.
  • La Congettura dello Zero Extra ($EZC$) è implicata dalla congettura di Mazur-Rubin-Sano.
• Corollario A (Campi Quadratici Immaginari): Nel caso in cui $k$ sia un campo quadratico immaginario e $p$ sia inerte, l'autore deriva una nuova formula di Beilinson $p$-adica per caratteri di ordine finito. Questa formula esprime la derivata di una funzione $L$ $p$-adica in termini di un determinante di logaritmi $p$-adici di unità e di un analogo dell'unità di Gross-Stark.
• Teorema D (Congettura di Gross-Kuz'min): Il saggio dimostra la congettura di Gross-Kuz'min (finitezza delle co-invarianti del gruppo di classi $p$-split) incondizionatamente per le estensioni abeliani di campi quadratici immaginari. Ciò viene ottenuto dimostrando la non-vacuità di specifici invarianti $L$, utilizzando il teorema forte del sesto esponenziale di Roy.

5. Significato e Rivendicazioni
Il saggio sostiene di fornire un approccio unificante alla teoria di Iwasawa ciclotomica dei motivi di Artin. La sua importanza risiede nel:

• Collegare gli Approcci: Esso connette l'approccio analitico (Perrin-Riou/Benois, che coinvolge funzioni $L$ $p$-adiche e invarianti $L$) con l'approccio algebrico (elementi di Rubin-Stark, come in BKS17/BS22).
• Generalizzazione: Generalizza i precedenti risultati sulle funzioni $L$ $p$-adiche di Deligne-Ribet e Katz, nonché le recenti costruzioni per le forme modulari di peso uno e i loro adiunti.
• Formule Esplicite: Fornisce formule di interpolazione esplicite e formule di Beilinson $p$-adiche in contesti dove esse erano precedentemente sconosciute o solo congetturnali (ad esempio, i primi inerti in campi quadratici immaginari).
• Risultati Incondizionati: Stabilisce la proprietà di torsione dei gruppi di Selmer e la validità della congettura di Gross-Kuz'min per una vasta classe di campi senza fare affidamento su ipotesi non provate oltre alle congetture standard (come quella di Rubin-Stark) per i risultati condizionati.

L'autore nota che per i motivi non critici, la scelta della $p$-stabilizzazione non è canonica, e le congetture sono formulate rispetto a tale scelta. Il lavoro suggerisce che i fenomeni dello "zero extra" in questo contesto siano governati dai nuovi invarianti $L$, che recuperano gli invarianti noti (come il regolatore di Gross) in casi specifici.