On generalized Iwasawa main conjectures and $p$-adic Stark conjectures for Artin motives

Technische Samenvatting: Gegeneraliseerde Hoofdvermoedens en $p$-adische Stark-vermoedens voor Artin-motieven

1. Probleemstelling en Context
Het artikel behandelt de formulering van Iwasawa-hoofdvermoedens en $p$-adische Stark-vermoedens voor Artin-motieven, specifiek die voortvloeiend uit Artin-representaties $\rho$ van de absolute Galois-groep $G_{\mathbb{Q}}$. Hoewel de Iwasawa-theorie goed ontwikkeld is voor motieven die kritiek en ordentelijk zijn bij $p$ (bijv. via het werk van Mazur, Wiles en Perrin-Riou), zijn Artin-motieven doorgaans niet-kritiek en wordt hun aritmetica bij $s=0$ beheerst door "verfijnde Stark-vermoedens" (Stark, Rubin, Gross).

Bestaande benaderingen voor deze niet-kritieke gevallen omvatten:

• Perrin-Riou en Benois: Die conjecturen formuleerden voor $p$-adische $L$-functies en Selmer-groepen met behulp van uitgebreide logaritme-afbeeldingen en Selmer-complexen, waarbij zij met name omgaan met "triviale nulpunten" en $L$-invarianten.
• Büyükboduk, Sakamoto en anderen (BKS17, BS22): Die een "hogere rang" Iwasawa-theorie ontwikkelden op basis van Rubin-Stark-elementen, waarbij expliciete $p$-adische $L$-functies en $L$-invarianten worden vermeden ten gunste van algebraïsche constructies.

Het centrale probleem is het verenigen van deze perspectieven. De auteur streeft ernaar een kader te construeren dat expliciet $p$-adische $L$-functies en $L$-invarianten incorporeert (zoals in Perrin-Riou/Benois) en tegelijkertijd de algebraïsche resultaten over Rubin-Stark-elementen (zoals in BKS17/BS22) generaliseert voor algemene Artin-motieven, inclusief die die niet-kritiek en niet-ordentelijk zijn.

2. Methodologie en Kader
De auteur introduceert een familie van $p$-gestabiliseerde Artin-representaties. Gegeven een Artin-representatie $\rho$ en een priemgetal $p$, is een $p$-stabilisatie een keuze van een $G_{\mathbb{Q}_p}$-stabiele onderruimte $W_p^+ \subset W_p$ van dimensie $d_+ = \dim H^0(\mathbb{R}, W)$. Deze keuze wordt behandeld als een extra parameter, zelfs wanneer er geen canonieke keuze bestaat voor niet-kritieke motieven.

Belangrijke methodologische instrumenten zijn:

• Gemodificeerde Coleman-afbeeldingen: De auteur construeert uitgebreide Coleman-afbeeldingen om de Iwasawa-cohologie van globale eenheden te relateren aan de Selmer-groepen.
• Selmer-groepen: De studie richt zich op de Greenberg-stijl Selmer-groep $X_\infty(\rho, \rho^+)$, gedefinieerd via een specifieke lokale conditie bij $p$ bepaald door de $p$-stabilisatie $\rho^+$.
• Regulatoren en $L$-invarianten: Nieuwe $p$-adische Stark-regulatoren en een $L$-invariant $L(\rho, \rho^+)$ worden gedefinieerd. Deze generaliseren de regulator van Gross en de $L$-invariant van Benois, en herstellen bekende invarianten in specifieke gevallen (bijv. kristallijne motieven).
• Dualiteit en Descent: De bewijzen maken gebruik van Poitou-Tate dualiteit, de structuur van globale eenheidsgroepen in $\mathbb{Z}_p$-torens (Kuz'min, Belliard), en descent-argumenten voor Selmer-complexen (Nekovář, Benois).

3. Hoofdvermoedens
Het artikel formuleert Conjectuur A, die uit drie delen bestaat:

1. Bestaan ($EX_{\rho, \rho^+}$): Er bestaat een $p$-adische maat $\theta_{\rho, \rho^+}$ in het breukveld van de Iwasawa-algebra $\Lambda$ die de algebraïsche delen van Artin-$L$-waarden bij $s=0$ interpoleert, gecorrigeerd door complexe en $p$-adische Stark-regulatoren.
2. Hoofdvermoeden ($IMC_{\rho, \rho^+}$): De maat $\theta_{\rho, \rho^+}$ genereert het karakteristieke ideaal van de Selmer-groep $X_\infty(\rho, \rho^+)$.
3. Extra Nul-vermoeden ($EZC_{\rho, \rho^+}$): Indien de stabilisatie admissibel is, verdwijnt $\theta_{\rho, \rho^+}$ bij het triviale karakter met een specifieke multipliciteit gerelateerd aan de dimensie van de lokale invarianten. Het leidende deel van deze verdwijning wordt uitgedrukt via de nieuwe $L$-invariant $L(\rho, \rho^+)$ en een gemodificeerde Euler-factor.

4. Belangrijkste Resultaten en Stellingen
Het artikel stelt verschillende onvoorwaardelijke en voorwaardelijke resultaten vast:

• Stelling A (Structuur van Selmer-groepen): Onder de aanname dat $\rho$ onontvruchtbaar is bij $p$, bewijst de auteur dat $X_\infty(\rho, \rho^+)$ een torsie-$\Lambda$-module is dan en slechts dan als de $p$-stabilisatie $\eta$-admissibel is voor een (of alle maar eindig veel) karakters $\eta$. Bovendien kan een generator van het karakteristieke ideaal expliciet worden geconstrueerd met behulp van gemodificeerde Coleman-afbeeldingen en families van "speciale elementen" gerelateerd aan Artin-$L$-waarden.
• Stelling B (Tamagawa-getalvermoeden): Uitgaande van het bestaan van een admissibele $p$-stabilisatie met een niet-verdwijnende $L$-invariant en de geldigheid van Conjectuur A, bewijst het artikel het $p$-deel van het Bloch-Kato Tamagawa-getalvermoeden voor Artin-motieven bij $s=0$. Dit relateert het leidende deel van de $L$-functie aan de grootte van de Tate-Shafarevich-groep en de ideaalklassen-groepen.
• Stelling C (Equivalentie voor Monomiale Representaties): Voor monomiale representaties (geïnduceerd van een karakter $\chi$ van een getallenveld $k$), bewijst het artikel dat Conjectuur A in essentie equivalent is aan de "hogere rang Iwasawa-hoofdvermoeden" en de "Iwasawa-theoretische Mazur-Rubin-Sano conjectuur" geformuleerd in termen van Rubin-Stark-elementen. Specifiek:
  • Het bestaan van de $p$-adische $L$-functie ($EX$) volgt uit het Rubin-Stark-vermoeden over $\mathbb{Z}_p$.
  • Het Hoofdvermoeden ($IMC$) is equivalent aan het hogere rang Iwasawa-hoofdvermoeden.
  • Het Extra Nul-vermoeden ($EZC$) wordt geïmpliceerd door de Mazur-Rubin-Sano conjectuur.
• Corollary A (Imaginaire Kwadratische Velden): In het geval dat $k$ een imaginair kwadratisch veld is en $p$ inert is, leidt de auteur een nieuw $p$-adisch Beilinson-formule af voor eindige orde karakters. Deze formule drukt de afgeleide van een $p$-adische $L$-functie uit in termen van een determinant van $p$-adische logaritmen van eenheden en een Gross-Stark eenheid-analoog.
• Stelling D (Gross-Kuz'min Vermoeden): Het artikel bewijst het Gross-Kuz'min vermoeden (eindigheid van de co-invarianten van de $p$-gesplitste klassengroep) onvoorwaardelijk voor abelse uitbreidingen van imaginaire kwadratische velden. Dit wordt bereikt door de niet-verdwijning van specifieke $L$-invarianten aan te tonen, gebruikmakend van de sterke zes exponentiële stelling van Roy.

5. Betekenis en Claims
De auteur stelt dat het een verenigende benadering biedt voor de cyclotomische Iwasawa-theorie van Artin-motieven. De betekenis ligt in:

• Overbrugging van Benaderingen: Het verbindt de analytische benadering (Perrin-Riou/Benois, met betrekking tot $p$-adische $L$-functies en $L$-invarianten) met de algebraïsche benadering (Rubin-Stark-elementen, zoals in BKS17/BS22).
• Generalisatie: Het generaliseert eerdere resultaten over Deligne-Ribet en Katz $p$-adische $L$-functies, evenals recente constructies voor gewicht één modulaire vormen en hun adjointen.
• Expliciete Formules: Het biedt expliciete interpolatieformules en $p$-adische Beilinson-formules in settings waar deze voorheen onbekend of slechts conjecturaal waren (bijv. inert priemgetal in imaginaire kwadratische velden).
• Onvoorwaardelijke Resultaten: Het vestigt de torsie-eigenschap van Selmer-groepen en de geldigheid van het Gross-Kuz'min vermoeden voor een brede klasse van velden zonder te vertrouwen op onbewezen hypothesen buiten de standaardconjecturen (zoals Rubin-Stark) voor de voorwaardelijke resultaten.

De auteur merkt op dat voor niet-kritieke motieven de keuze van $p$-stabilisatie niet canoniek is, en dat de conjecturen relatief aan deze keuze worden geformuleerd. Het werk suggereert dat de "extra nul" fenomenen in deze setting worden beheerst door de nieuwe $L$-invarianten, die in specifieke gevallen bekende invarianten (zoals de regulator van Gross) herstellen.