On generalized Iwasawa main conjectures and $p$-adic Stark conjectures for Artin motives

Resumo Técnico: Conjecturas Principais Generalizadas e Conjecturas de Stark $p$-ádicas para Motivos de Artin

1. Enunciado do Problema e Contexto
O artigo aborda a formulação de conjecturas principais de Iwasawa e conjecturas de Stark $p$-ádicas para motivos de Artin, especificamente aqueles que surgem de representações de Artin $\rho$ do grupo de Galois absoluto $G_{\mathbb{Q}}$. Embora a teoria de Iwasawa tenha sido bem desenvolvida para motivos que são críticos e ordinários em $p$ (por exemplo, através do trabalho de Mazur, Wiles e Perrin-Riou), os motivos de Artin são tipicamente não-críticos e sua aritmética em $s=0$ é governada por "conjecturas de Stark refinadas" (Stark, Rubin, Gross).

As abordagens existentes para esses casos não-críticos incluem:

• Perrin-Riou e Benois: Que formularam conjecturas para funções $L$ $p$-ádicas e grupos de Selmer usando mapas logarítmicos estendidos e complexos de Selmer, lidando particularmente com "zeros triviais" e invariantes $L$.
• Büyükboduk, Sakamoto e outros (BKS17, BS22): Que desenvolveram uma teoria de Iwasawa de "rank superior" baseada em elementos de Rubin-Stark, evitando funções $L$ $p$-ádicas explícitas e invariantes $L em favor de construções algébricas.

O problema central é unificar essas perspectivas. O autor busca construir um arcabouço que incorpore explicitamente funções $L$ $p$-ádicas e invariantes $L$ (como em Perrin-Riou/Benois) enquanto generaliza os resultados algébricos sobre elementos de Rubin-Stark (como em BKS17/BS22) para motivos de Artin gerais, incluindo aqueles que são não-críticos e não-ordinários.

2. Metodologia e Arcabouço
O autor introduz uma família de representações de Artin $p$-estabilizadas. Dada uma representação de Artin $\rho$ e um primo $p$, uma $p$-estabilização é uma escolha de um subespaço $W_p^+ \subset W_p$ estável por $G_{\mathbb{Q}_p}$ de dimensão $d_+ = \dim H^0(\mathbb{R}, W)$. Essa escolha é tratada como um parâmetro adicional, mesmo quando não existe uma escolha canônica para motivos não-críticos.

Ferramentas metodológicas principais incluem:

• Mapas de Coleman Modificados: O autor constrói mapas de Coleman estendidos para relacionar a cohomologia de Iwasawa de unidades globais aos grupos de Selmer.
• Grupos de Selmer: O estudo foca no grupo de Selmer do estilo Greenberg $X_\infty(\rho, \rho^+)$, definido via uma condição local específica em $p$ determinada pela $p$-estabilização $\rho^+$.
• Reguladores e Invariantes $L$: Novos reguladores de Stark $p$-ádicos e um invariante $L(\rho, \rho^+)$ são definidos. Eles generalizam o regulador de Gross e o invariante $L$ de Benois, recuperando invariantes conhecidos em casos específicos (por exemplo, motivos cristalinos).
• Dualidade e Descida: As provas utilizam dualidade de Poitou-Tate, a estrutura dos grupos de unidades globais em torres de $\mathbb{Z}_p$ (Kuz'min, Belliard), e argumentos de descida para complexos de Selmer (Nekovář, Benois).

3. Conjecturas Principais
O artigo formula a Conjectura A, que consiste em três partes:

1. Existência ($EX_{\rho, \rho^+}$): Existe uma medida $p$-ádica $\theta_{\rho, \rho^+}$ no corpo do fração da álgebra de Iwasawa $\Lambda$ que interpola as partes algébricas dos valores de $L$ de Artin em $s=0$, corrigidas por reguladores de Stark complexos e $p$-ádicos.
2. Conjectura Principal ($IMC_{\rho, \rho^+}$): A medida $\theta_{\rho, \rho^+}$ gera o ideal característico do grupo de Selmer $X_\infty(\rho, \rho^+)$.
3. Conjectura do Zero Extra ($EZC_{\rho, \rho^+}$): Se a estabilização for admissível, $\theta_{\rho, \rho^+}$ se anula no caráter trivial com uma multiplicidade específica relacionada à dimensão dos invariantes locais. O termo principal deste anulo é expresso via o novo invariante $L(\rho, \rho^+)$ e um fator de Euler modificado.

4. Resultados Principais e Teoremas
O artigo estabelece vários resultados incondicionais e condicionais:

• Teorema A (Estrutura de Grupos de Selmer): Sob a suposição de que $\rho$ é não-ramificada em $p$, o autor prova que $X_\infty(\rho, \rho^+)$ é um $\Lambda$-módulo de torção se, e somente se, a $p$-estabilização é $\eta$-admissível para algum (ou todos exceto finitos) caracteres $\eta$. Além disso, um gerador do ideal característico pode ser explicitamente construído usando mapas de Coleman modificados e famílias de "elementos especiais" relacionados a valores de $L$ de Artin.
• Teorema B (Conjectura do Número de Tamagawa): Assumindo a existência de uma $p$-estabilização admissível com um invariante $L$ não-nulo e a validade da Conjectura A, o artigo prova a parte-$p$ da conjectura do número de Tamagawa de Bloch-Kato para motivos de Artin em $s=0$. Isso relaciona o termo principal da função $L$ ao tamanho dos grupos de Tate-Shafarevich e grupos de classes de ideais.
• Teorema C (Equivalência para Representações Monomiais): Para representações monomiais (induzidas de um caráter $\chi$ de um corpo numérico $k$), o artigo prova que a Conjectura A é essencialmente equivalente à "conjectura principal de Iwasawa de rank superior" e à "conjectura de Mazur-Rubin-Sano de Iwasawa" formuladas em termos de elementos de Rubin-Stark. Especificamente:
  • A existência da função $L$ $p$-ádica ($EX$) segue da conjectura de Rubin-Stark sobre $\mathbb{Z}_p$.
  • A Conjectura Principal ($IMC$) é equivalente à conjectura principal de Iwasawa de rank superior.
  • A Conjectura do Zero Extra ($EZC$) é implicada pela conjectura de Mazur-Rubin-Sano.
• Corolário A (Campos Quadráticos Imaginários): No caso onde $k$ é um campo quadrático imaginário e $p$ é inerte, o autor deriva uma nova fórmula de Beilinson $p$-ádica para caracteres de ordem finita. Esta fórmula expressa a derivada de uma função $L$ $p-ádica em termos de um determinante de logaritmos $p$-ádicos de unidades e um análogo de unidade de Gross-Stark.
• Teorema D (Conjectura de Gross-Kuz'min): O artigo prova a conjectura de Gross-Kuz'min (finitude das coinvariantes do grupo de classes $p$-split) incondicionalmente para extensões abelianas de campos quadráticos imaginários. Isso é alcançado mostrando o não-anulo de invariantes $L$ específicos, utilizando o teorema forte do seis exponencial de Roy.

5. Significância e Alegações
O artigo afirma fornecer uma abordagem unificadora para a teoria de Iwasawa ciclótica de motivos de Artin. Sua significância reside em:

• Pontes entre Abordagens: Ele conecta a abordagem analítica (Perrin-Riou/Benois, envolvendo funções $L$ $p$-ádicas e invariantes $L$) com a abordagem algébrica (elementos de Rubin-Stark, como em BKS17/BS22).
• Generalização: Ele generaliza resultados anteriores de funções $L$ $p$-ádicas de Deligne-Ribet e Katz, bem como construções recentes para formas modulares de peso um e seus adjuntos.
• Fórmulas Explícitas: Fornece fórmulas de interpolação explícitas e fórmulas de Beilinson $p$-ádicas em configurações onde elas eram anteriormente desconhecidas ou apenas conjecturais (por exemplo, primos inertes em campos quadráticos imaginários).
• Resultados Incondicionais: Estabelece a torção dos grupos de Selmer e a validade da conjectura de Gross-Kuz'min para uma ampla classe de campos sem depender de hipóteses não provadas além das conjecturas padrão (como Rubin-Stark) para os resultados condicionais.

O autor observa que para motivos não-críticos, a escolha da $p$-estabilização não é canônica, e as conjecturas são formuladas em relação a essa escolha. O trabalho sugere que os fenômenos de "zero extra" neste cenário são governados pelos novos invariantes $L$, que recuperam invariantes conhecidos (como o regulador de Gross) em casos específicos.