On generalized Iwasawa main conjectures and $p$-adic Stark conjectures for Artin motives

Resumen Técnico: Conjeturas Principales Generalizadas y Conjeturas de Stark $p$-ádicas para Motivos de Artin

1. Planteamiento del Problema y Contexto
El artículo aborda la formulación de las conjeturas principales de Iwasawa y las conjeturas de Stark $p$-ádicas para motivos de Artin, específicamente aquellos que surgen de representaciones de Artin $\rho$ del grupo de Galois absoluto $G_{\mathbb{Q}}$. Mientras que la teoría de Iwasawa ha sido bien desarrollada para motivos que son críticos y ordinarios en $p$ (por ejemplo, mediante el trabajo de Mazur, Wiles y Perrin-Riou), los motivos de Artin son típicamente no críticos y su aritmética en $s=0$ está gobernada por "conjeturas de Stark refinadas" (Stark, Rubin, Gross).

Los enfoques existentes para estos casos no críticos incluyen:

• Perrin-Riou y Benois: Quienes formularon conjeturas para funciones $L$ $p$-ádicas y grupos de Selmer utilizando mapas logarítmicos extendidos y complejos de Selmer, manejando particularmente los "ceros triviales" e invariantes $L$.
• Büyükboduk, Sakamoto y otros (BKS17, BS22): Quienes desarrollaron una teoría de Iwasawa de "rango superior" basada en elementos de Rubin-Stark, evitando las funciones $L$ $p$-ádicas explícitas y los invariantes $L en favor de construcciones algebraicas.

El problema central es unificar estas perspectivas. El autor busca construir un marco que incorpore explícitamente funciones $L$ $p$-ádicas e invariantes $L$ (como en Perrin-Riou/Benois) y generalice los resultados algebraicos sobre elementos de Rubin-Stark (como en BKS17/BS22) para motivos de Artin generales, incluyendo aquellos que son no críticos y no ordinarios.

2. Metodología y Marco de Trabajo
El autor introduce una familia de representaciones de Artin $p$-estabilizadas. Dada una representación de Artin $\rho$ y un primo $p$, una $p$-estabilización es una elección de un subespacio estable bajo $G_{\mathbb{Q}_p}$, denotado $W_p^+ \subset W_p$, de dimensión $d_+ = \dim H^0(\mathbb{R}, W)$. Esta elección es tratada como un parámetro adicional, incluso cuando no existe una elección canónica para motivos no críticos.

Herramientas metodológicas clave incluyen:

• Mapas de Coleman Modificados: El autor construye mapas de Coleman extendidos para relacionar la cohomología de Iwasawa de las unidades globales con los grupos de Selmer.
• Grupos de Selmer: El estudio se centra en el grupo de Selmer de estilo Greenberg $X_\infty(\rho, \rho^+)$, definido mediante una condición local específica en $p$ determinada por la $p$-estabilización $\rho^+$.
• Reguladores e Invariantes $L$: Se definen nuevos reguladores de Stark $p$-ádicos y un invariante $L(\rho, \rho^+)$. Estos generalizan el regulador de Gross y el invariante $L$ de Benois, recuperando invariantes conocidos en casos especiales (por ejemplo, motivos cristalinos).
• Dualidad y Descenso: Las demostraciones utilizan la dualidad de Poitou-Tate, la estructura de los grupos de unidades globales en torres de $\mathbb{Z}_p$ (Kuz'min, Belliard) y argumentos de descenso para complejos de Selmer (Nekovář, Benois).

3. Conjeturas Principales
El artículo formula la Conjetura A, que consta de tres partes:

1. Existencia ($EX_{\rho, \rho^+}$): Existe una medida $p$-ádica $\theta_{\rho, \rho^+}$ en el cuerpo del fracción del álgebra de Iwasawa $\Lambda$ que interpola las partes algebraicas de los valores $L$ de Artin en $s=0$, corregidas por reguladores de Stark complejos y $p$-ádicos.
2. Conjetura Principal ($IMC_{\rho, \rho^+}$): La medida $\theta_{\rho, \rho^+}$ genera el ideal característico del grupo de Selmer $X_\infty(\rho, \rho^+)$.
3. Conjetura del Cero Extra ($EZC_{\rho, \rho^+}$): Si la estabilización es admisible, $\theta_{\rho, \rho^+}$ se anula en el carácter trivial con una multiplicidad específica relacionada con la dimensión de los invariantes locales. El término principal de este anulación se expresa mediante el nuevo invariante $L(\rho, \rho^+)$ y un factor de Euler modificado.

4. Resultados Clave y Teoremas
El documento establece varios resultados incondicionales y condicionales:

• Teorema A (Estructura de los Grupos de Selmer): Bajo el supuesto de que $\rho$ es no ramificada en $p$, el autor demuestra que $X_\infty(\rho, \rho^+)$ es un $\Lambda$-módulo de torsión si y solo si la $p$-estabilización es $\eta$-admisible para alguno (o casi todos excepto un número finito) de los caracteres $\eta$. Además, un generador del ideal característico puede construirse explícitamente utilizando mapas de Coleman modificados y familias de "elementos especiales" relacionados con los valores $L$ de Artin.
• Teorema B (Conjetura del Número de Tamagawa): Asumiendo la existencia de una $p$-estabilización admisible con un invariante $L$ no nulo y la validez de la Conjetura A, el artículo demuestra la parte $p$ de la conjetura de Tamagawa de Bloch-Kato para motivos de Artin en $s=0$. Esto relaciona el término principal de la función $L$ con el tamaño de los grupos de Tate-Shafarevich y los grupos de clases de ideales.
• Teorema C (Equivalencia para Representaciones Monomiales): Para representaciones monomiales (inducidas de un carácter $\chi$ de un campo de número $k$), el autor demuestra que la Conjetura A es esencialmente equivalente a la "conjetura principal de Iwasawa de rango superior" y a la "conjetura de Mazur-Rubin-Sano de tipo Iwasawa" formuladas en términos de elementos de Rubin-Stark. Específicamente:
  • La existencia de la función $L$ $p$-ádica ($EX$) sigue de la conjetura de Rubin-Stark sobre $\mathbb{Z}_p$.
  • La Conjetura Principal ($IMC$) es equivalente a la conjetura principal de Iwasawa de rango superior.
  • La Conjetura del Cero Extra ($EZC$) es implicada por la conjetura de Mazur-Rubin-Sano.
• Corolario A (Campos Cuadráticos Imaginarios): En el caso donde $k$ es un campo cuadrático imaginario y $p$ es inerte, el autor deriva una nueva fórmula de Beilinson $p$-ádica para caracteres de orden finito. Esta fórmula expresa la derivada de una función $L$ $p-ádica en términos de un determinante de logaritmos $p$-ádicos de unidades y un análogo de la unidad de Gross-Stark.
• Teorema D (Conjetura de Gross-Kuz'min): El artículo demuestra la conjetura de Gross-Kuz'min (finitud de las coinvariantes del grupo de clases $p$-dividido) de forma incondicional para extensiones abelianas de campos cuadráticos imaginarios. Esto se logra mostrando la no anulación de invariantes $L$ específicos, utilizando el teorema fuerte de los seis exponenciales de Roy.

5. Significado y Reivindicaciones
El autor señala que el trabajo proporciona un enfoque unificador para la teoría de Iwasawa cíclica de los motivos de Artin. Su importancia radica en:

• Puente entre Enfoques: Conecta el enfoque analítico (Perrin-Riou/Benois, que involucra funciones $L$ $p$-ádicas e invariantes $L$) con el enfoque algebraico (elementos de Rubin-Stark, como en BKS17/BS22).
• Generalización: Generaliza resultados previos de las funciones $L$ $p$-ádicas de Deligne-Ribet y Katz, así como construcciones recientes para formas modulares de peso uno y sus adjuntos.
• Fórmulas Explícitas: Proporciona fórmulas de interpolación explícitas y fórmulas de Beilinson $p$-ádicas en entornos donde anteriormente eran desconocidas o solo conjeturales (por ejemplo, primos inertes en campos cuadráticos imaginarios).
• Resultados Incondicionales: Establece la torsión de los grupos de Selmer y la validez de la conjetura de Gross-Kuz'min para una amplia clase de campos sin depender de hipótesis no probadas más allá de las conjeturas estándar (como las de Rubin-Stark) para los resultados condicionales.

El autor observa que para motivos no críticos, la elección de la $p$-estabilización no es canónica, y las conjeturas se formulan en relación con esta elección. El trabajo sugiere que los fenómenos de "cero extra" en este entorno están gobernados por los nuevos invariantes $L$, los cuales recuperan invariantes conocidos (como el regulador de Gross) en casos específicos.