The Generalized Falsification Adaptive Set for Violations of the Exclusion Restriction and Exogeneity

Sintesi Tecnica: L'Insieme Adattivo di Falsificazione Generalizzato per le Violazioni della Restrizione di Esclusione e dell'Esogeneità

Problema
La stima tramite variabili strumentali (IV) si basa su due assunti identificativi fondamentali: la restrizione di esclusione (gli strumenti influenzano l'esito solo attraverso il trattamento) ed l'esogeneità (gli strumenti non sono correlati con i determinanti non osservati dell'esito). Quando il modello di base è falsificato da test di restrizione di sovraidentificazione, i ricercatori spesso mancano di una stima puntuale dell'effetto del trattamento, $\beta$. Masten e Poirier (2021, da qui in avanti MP) hanno proposto l'Insieme Adattivo di Falsificazione (FAS - Falsification Adaptive Set) per affrontare questo problema, definendo un insieme identificato per $\beta$ sotto il minimo rilassamento degli assunti necessario per evitare la falsificazione.

Tuttavia, l'approccio di MP assume che gli strumenti invalidi violino solo la restrizione di esclusione. Questo articolo dimostra che la natura della violazione è critica. Uno strumento invalido può agire come un confonditore (viola l'esclusione tramite un effetto diretto sull'esito, $\gamma \neq 0$) o come un collider (viola l'esogeneità tramite correlazione con il termine di errore, $\alpha \neq 0$). Questi due tipi di violazione richiedono trattamenti opposti: i confonditori dovrebbero essere controllati (inclusi come regressori), mentre i collider dovrebbero essere esclusi dall'analisi. L'articolo sostiene che applicare l'approccio di MP basato sull'esclusione ($FAS_{excl}$) quando gli strumenti violano in realtà l'esogeneità (o viceversa) può portare l'FAS a escludere il vero parametro $\beta$, anche se esiste uno strumento valido.

Metodologia e Modello
Gli autori considerano un modello lineare $Y = X\beta + E$, dove $E = Z\gamma + U$ e $cov(Z, U) = \alpha$.

• Violazione dell'Esclusione: $\gamma_\ell \neq 0$ (lo strumento $\ell$ ha un effetto diretto su $Y$).
• Violazione dell'Esogeneità: $\alpha_\ell \neq 0$ (lo strumento $\ell$ è correlato con il termine di errore).
• Validità: Uno strumento è valido se $\gamma_\ell = \alpha_\ell = 0$.

Gli autori derivano specifici FAS per distinti schemi di violazione:

1. $FAS_{excl}$: Derivato sotto l'assunto che tutti gli strumenti invalidi violino solo l'esclusione ($\alpha = 0$). Questo insieme è costruito rilassando i limiti della restrizione di esclusione ($|\gamma| \leq \delta$).
2. $FAS_{exo}$: Derivato sotto l'assunto che tutti gli strumenti invalidi violino solo l'esogeneità ($\gamma = 0$). Questo insieme è costruito rilassando i limiti dell'esogeneità ($|\alpha| \leq \eta$).
3. Derivazione Alternativa: L'articolo fornisce una derivazione alternativa della frontiera di falsificazione utilizzando la funzione obiettivo della popolazione 2SLS, chiarendo che questi insiemi rappresentano i minimi rilassamenti delle condizioni di momento che portano alla non-falsificazione, indipendentemente dal tipo specifico di violazione.

Contributi Chiave
L'articolo apporta tre contributi primari:

1. Distinzione dei Tipi di Violazione: Gli autori dimostrano che la classificazione errata di uno strumento invalido (trattare un confonditore come un collider o viceversa) causa l'esclusione del vero $\beta$ dall'FAS risultante. Dimostrano che $FAS_{excl}$ e $FAS_{exo}$ sono insiemi distinti, e la scelta tra essi dipende dalle credenze del ricercatore riguardo al meccanismo di violazione.
2. FAS Specifici per Pattern: Gli autori derivano un FAS specifico per ogni possibile combinazione di violazioni di esclusione ed esogeneità tra gli strumenti. Sotto l'Assunto 6, uno strumento invalido viola o l'esclusione o l'esogeneità, ma non entrambe ($\gamma_\ell \alpha_\ell = 0$). Per $k_z$ strumenti, esistono $S = 2^{k_z}$ tali pattern.
3. L'Insieme Adattivo di Falsificazione Generalizzato ($FAS_G$): Per affrontare l'agnosticismo del ricercatore riguardo allo specifico pattern di violazione, gli autori propongono l'Insieme Adattivo di Falsificazione Generalizzato come l'unione di tutti gli FAS specifici per pattern:
   $$FAS_G = \bigcup_{s=1}^{S} FAS_s$$
   Dimostrano che se esiste almeno uno strumento valido e rilevante, e se il ricercatore trasforma correttamente gli strumenti secondo il vero pattern di violazione degli strumenti invalidi, il vero $\beta$ è garantito all'interno di $FAS_G$.

Risultati e Illustrazione Empirica
L'articolo illustra questi risultati utilizzando l'applicazione "roads and trade" di Duranton et al. (2014), che utilizza tre strumenti storici per stimare l'effetto delle autostrade interstatali sulla propensione all'export.

• Falsificazione: Il modello di base con tutti e tre gli strumenti è falsificato (p-value del test J pari a 0,043).
• Divergenza degli Insiemi: L'analisi empirica mostra differenze significative tra $FAS_{excl}$, $FAS_{exo}$ e l'insieme generalizzato. Ad esempio, $FAS_{exo}$ produce un intervallo stretto $[0,13, 1,09]$, mentre $FAS_{excl}$ produce $[-0,32, 3,16]$.
• Insieme Generalizzato: L'FAS generalizzato ($FAS_G$) è l'unione degli otto insiemi specifici per pattern, risultando in $[-0,61, 3,74]$. Gli autori osservano che, sebbene questo intervallo sia ampio, non è un artefatto dell'operazione di unione, ma riflette un particolare pattern di violazione (dove un uno strumento è un confonditore e un altro è un collider) che non può essere escluso senza ulteriori assunti.
• Strumenti Deboli: L'articolo discute l'impatto del cutoff per gli "strumenti deboli" (F-statistic < 10) utilizzato da MP. Rimuovere gli strumenti classificati come deboli in base a questo cutoff può alterare involontariamente la specifica del modello (ad esempio, escludendo uno strumento che dovrebbe essere un controllo), rendendo potenzialmente l'FAS non più motivato dalla falsificazione del modello di base.

Significatività e Rivendicazioni
Gli autori non sostengono che un particolare FAS sia superiore in tutti i contesti. Al contrario, sostengono che la scelta dell'FAS debba corrispondere al tipo di violazione.

• Se il ricercatore è agnostico riguardo ai tipi di violazione, l'FAS Generalizzato è l'insieme appropriato, poiché garantisce l'inclusione del vero $\beta$ a condizione che esista almeno uno strumento valido e rilevante.
• Se la conoscenza del dominio permette al ricercatore di individuare il tipo di violazione per alcuni o tutti gli strumenti, l'insieme può essere "affinato" verso un FAS specifico basato sul pattern, che è debolmente più stretto rispetto all'FAS generalizzato.
• L'articolo sottolinea che selezionare un particolare FAS (ad esempio, $FAS_{excl}$) senza giustificazione equivale a un "cherry-picking" e rischia di escludere il vero parametro. L'FAS generalizzato è raccomandato per la segnalazione quando il modello di base è falsificato e il pattern di violazione è sconosciuto.