The Generalized Falsification Adaptive Set for Violations of the Exclusion Restriction and Exogeneity

기술 요약: 배제 제약 및 외생성 위반에 대한 일반화된 거짓 검증 적응 집합(Generalized Falsification Adaptive Set)

문제 제기
도구 변수(IV) 추정은 두 가지 핵심 식별 가정, 즉 배제 제약(도구가 오직 처치를 통해서만 결과에 영향을 미친다는 가정)과 외생성(도구가 결과의 미관측 결정 요인들과 상관관계가 없다는 가정)에 의존한다. 과식별 제약 검정(overidentifying restriction tests)에 의해 기저 모델이 거짓으로 판명될 때, 연구자들은 종종 처치 효과 $\beta$에 대한 점 추정치를 얻지 못한다. Masten과 Poirier(2021, 이하 MP)는 거짓 검증을 피하기 위해 필요한 최소한의 가정 완화를 바탕으로 식별된 집합인 거짓 검증 적응 집합(Falsification Adaptive Set, FAS)을 제안하였다.

그러나 MP의 접근 방식은 무효한 도구가 배제 제약만을 위반한다고 가정한다. 본 논문은 위반의 성격이 매우 중요함을 입증한다. 무효한 도구는 교란 요인(직접적인 결과 효과 $\gamma \neq 0$를 통해 배제 제약을 위반)으로 작용하거나, 충돌 변수(오차항과의 상관관계 $\alpha \neq 0$를 통해 외생성을 위반)로 작용할 수 있다. 이 두 가지 유형의 위반은 서로 반대되는 처치를 요구한다. 교란 요인은 통제되어야 하며(회귀 변수로 포함), 충돌 변수는 분석에서 제외되어야 한다. 본 논문은 도구가 외생성을 위반할 때(또는 그 반대의 경우) MP의 배제 기반 FAS($FAS_{excl}$)를 적용하는 것이, 유효한 도구가 존재하더라도 진정한 파라미터 $\beta$를 집합에서 제외하는 결과를 초래할 수 있다고 주장한다.

방법론 및 모델
저자들은 선형 모델 $Y = X\beta + E$ (여기서 $E = Z\gamma + U$ 이고 $cov(Z, U) = \alpha$)를 고려한다.

• 배제 위반: $\gamma_\ell \neq 0$ (도구 $\ell$이 $Y$에 직접적인 효과를 가짐).
• 외생성 위반: $\alpha_\ell \neq 0$ (도구 $\ell$이 오차항과 상관관계가 있음).
• 유효성: 도구는 $\gamma_\ell = \alpha_\ell = 0$일 때 유효하다.

저자들은 구체적인 위반 패턴에 따른 특정 FAS를 도출한다:

1. $FAS_{excl}$: 모든 무효한 도구가 배제 제약만을 위반한다($\alpha = 0$)는 가정하에 도출됨. 이 집합은 배제 제약 경계($|\gamma| \leq \delta$)를 완화함으로써 구성된다.
2. $FAS_{exo}$: 모든 무효한 도구가 외생성만을 위반한다($\gamma = 0$)는 가정하에 도출됨. 이 집합은 외생성 경계($|\alpha| \leq \eta$)를 완화함으로써 구성된다.
3. 대안적 도출: 본 논문은 모집단 2SLS 목적 함수를 사용하여 거짓 검증 경계(falsification frontier)의 대안적 도출을 제공하며, 이 집합들이 특정 위반 유형과 관계없이 비거짓성을 이끄는 모멘트 조건의 최소 완화를 나타낸다는 점을 명확히 한다.

주요 기여
본 논문의 주요 기여는 세 가지이다:

1. 위반 유형의 구분: 저자들은 무효한 도구를 잘못 분류하는 것(교란 요인을 충돌 변수로 취급하거나 그 반대의 경우)이 결과적으로 진정한 $\beta$를 포함하지 못하는 FAS를 초래할 수 있음을 보여준다. 이들은 $FAS_{excl}$과 $FAS_{exo}$가 서로 다른 집합임을 입증하며, 두 집합 사이의 선택은 위반 메커니즘에 대한 연구자의 믿음에 달려 있다고 주장한다.
2. 패턴별 FAS: 저자들은 모든 가능한 배제 및 외생성 위반 조합에 대해 패턴별 FAS를 도출한다. 가정 6에 따라, 무효한 도구는 배제 또는 외생성 중 하나만을 위반한다($\gamma_\ell \alpha_\ell = 0$). $k_z$개의 도구에 대해, 이러한 패턴의 수는 $S = 2^{k_z}$개이다.
3. 일반화된 FAS ($FAS_G$): 특정 위반 패턴에 대한 연구자의 불확실성을 해결하기 위해, 저자들은 모든 패턴별 FAS의 합집합으로서 일반화된 거짓 검증 적응 집합을 제안한다:
   $$FAS_G = \bigcup_{s=1}^{S} FAS_s$$
   저자들은 만약 적어도 하나의 유효하고 관련 있는 도구가 존재하고, 연구자가 무효한 도구들의 실제 위반 패턴에 따라 도구를 올바르게 변환한다면, 진정한 $\beta$가 $FAS_G$ 내에 포함됨이 보장됨을 증명한다.

결과 및 실증적 예시
본 논문은 도로와 무역(roads and trade)에 관한 Duranton 외(2014)의 응용 사례를 사용하여 결과를 설명한다. 이 사례는 수출 성향에 대한 고속도로의 효과를 추정하기 위해 세 개의 역사적 도구를 사용한다.

• 거짓 검증: 세 도구를 모두 사용한 기저 모델은 거짓으로 판명되었다 (J-검정 p-값 0.043).
• 집합 간의 차이: 실증 분석은 $FAS_{excl}$, $FAS_{exo}$, 그리고 일반화된 집합 사이에 상당한 차이가 있음을 보여준다. 예를 들어, $FAS_{exo}$는 $[0.13, 1.09]$라는 좁은 구간을 산출하는 반면, $FAS_{excl}$은 $[-0.32, 3.16]$을 산출한다.
• 일반화된 집합: 일반화된 FAS($FAS_G$)는 8개의 패턴별 집합의 합집합이며, 그 결과는 $[-0.61, 3.74]$이다. 저자들은 이 구간이 넓지만, 이는 합집합 연산에 의한 인위적인 결과가 아니라, 특정 위반 패턴(하나의 도구는 교란 요인이고 다른 하나는 충돌 변수인 경우)을 반영하며, 추가적인 가정이 없이는 배제될 수 없음을 언급한다.
• 약한 도구: 본 논문은 MP가 사용한 "약한 도구" 컷오프(F-통계량 < 10)의 영향을 논의한다. 이 컷오프를 기준으로 약한 것으로 분류된 도구를 제거하는 것은 의도치 않게 모델 사양을 변경하여(예: 통제 변수로 포함되어야 할 도구를 제외함), FAS가 더 이상 기저 모델의 거짓 검증에 의해 동기 부여되지 않게 만들 위험이 있다.

의의 및 주장
저자들은 특정 FAS가 모든 맥락에서 우월하다고 주장하지 않는다. 대신, FAS의 선택은 위반 유형과 일치해야 한다고 주장한다.

• 위반 유형에 대해 불확실하다면, 적어도 하나의 유효하고 관련 있는 도구가 존재한다는 전제하에 진정한 $\beta$의 포함을 보장하는 일반화된 FAS가 적절하다.
• 만약 도메인 지식을 통해 일부 또는 모든 도구의 위반 유형을 확정할 수 있다면, 집합을 특정 패턴 기반 FAS로 "날카롭게(sharpened)" 만들어 일반화된 집합보다 약간 더 좁게 만들 수 있다.
• 저자들은 정당한 근거 없이 특정 FAS(예: $FFS_{excl}$)를 선택하는 것은 "체리 피킹(cherry-picking)"에 해당하며, 진정한 파라미터를 제외할 위험이 있다고 강조한다. 기저 모델이 거짓으로 판명되고 위반 패턴을 알 수 없는 경우에는 일반화된 FAS를 보고하는 것이 권장된다.