Computing p-adic heights on hyperelliptic curves

Sintesi Tecnica: Calcolo delle altezse $p$-adiche su curve iperellittiche

Enunciato del Problema
Il saggio affronta la sfida computazionale di determinare la pairing di altezza $p$-adica locale di Coleman–Gross $h_p$ sul Jacobiano $J$ di una curva iperellittica $X: y^2 = f(x)$ su $\mathbb{Q}$, dove $p$ è un primo di buona riduzione. Mentre le altezse globali $p$-adiche sono somme di contributi locali, l'altezza locale ai primi $v \neq p$ è computabile tramite la teoria dell'intersezione su superfici aritmetiche. Tuttavia, l'altezza locale $h_p$ al primo $p$ richiede l'analisi $p$-adica (integrazione di Coleman).

Precedentemente, l'unico algoritmo disponibile per calcolare $h_p$ era quello di Balakrishnan e Besser [BB12]. Questo metodo era limitato a curve possedenti un modello di grado dispari su $\mathbb{Q}_p$. Di conseguenza, non poteva essere applicato direttamente a curve iperellittiche con modelli di grado pari, limitando l'ambito di applicazione di metodologie quali il metodo di Chabauty quadratico per i punti integrali e la verifica numerica delle congetture di Birch e Swinnerton–Dyer (BSD) $p$-adiche per tali curve.

Metodologia
Gli autori propongono un nuovo algoritmo per calcolare $h_p$ che funziona sia per modelli di grado dispari che pari, sebbene sia specificamente ottimizzato per il caso di grado pari. La strategia centrale consiste nel ridurre il calcolo di $h_p(P-Q, R-S)$ alla valutazione di integrali di Coleman di forme differenziali specifiche.

1. Riduzione al Grado Pari: L'algoritmo assume che la curva sia data da un modello di grado pari $y^2 = f(x)$ con $f$ monico. Ciò garantisce l'esistenza di due punti distinti all'infinito, $\infty^+$ e $\infty^-$, e un divisore non banale di grado zero supportato all'infinito, $D_\infty = \infty^- - \infty^+$.
2. Decomposizione dei Divisori: Utilizzando la bi-additività della pairing di altezza, il problema si riduce al calcolo di $h_p$ per coppie di punti. Gli autori distinguono due casi:
   • Caso 1: Un divisore è $D_\infty$. Il calcolo di $h_p(\infty^- - \infty^+, R-S)$ è ridotto agli integrali di Coleman della differenziale $\omega_g = \frac{x^g dx}{y}$. Gli autori utilizzano l'azione di Frobenius sulla coomologia di Monsky–Washnitzer per determinare i coefficienti necessari a proiettare la differenziale associata a $D_\infty$ sullo spazio isotropo scelto $W$.
   • Caso 2: Punti Affini. Per $h_p(P-Q, R-S)$ con punti affini, gli autori impiegano un cambio di variabili $\tau: C \to C'$ che mappa il divisore $P - \iota(P)$ (dove $\iota$ è l'inviluzione iperellittica) al divisore $D_\infty$ su una curva trasformata $C'$. Questa trasformazione converte efficacementamente il caso affine nel caso "all'infinito" (Caso 1), permettendo il riutilizzo del calcolo efficiente per $D_\infty$.
3. Dettagli di Implementazione: L'algoritmo si basa su dati precalcolati: una base per $H^1_{dR}(C/\mathbb{Q}_p)$, la matrice dell'azione di Frobenius, la matrice del prodotto a coppa (cup product), e una base per uno spazio complementare isotropo $W$. Il calcolo effettivo dell'altezza comporta l'uso dell'algebra lineare per trovare i coefficienti e la valutazione degli integrali di Coleman utilizzando l'esistente implementazione di Balakrishnan per il caso di grado pari.

Contributi Chiave

• Generalizzazione al Grado Pari: Il contributo primario è un algoritmo che calcola le altezse $p$-adiche per curve iperellittiche con modelli di grado pari, uno scenario precedentemente inaccessibile allo standard algoritmo Balakrishnan–Besser.
• Efficienza e Semplicità: Il metodo proposto è significativamente più veloce e semplice dell'approccio [BB12]. Esso evita i calcoli ad alta precisione in coordinate locali su estensioni di alto grado di $\mathbb{Q}_p$ richiesti dal precedente metodo per curve di grado dispari, sfruttando invece la struttura del modello di grado pari e del divisore all'infinito.
• Analisi della Precisione: Il saggio fornisce un'analisi rigorosa della precisione, stabilendo la precisione di lavoro necessaria per raggiungere un'accuratezza target, tenendo conto dei determinanti delle matrici di Frobenius e del prodotto a coppa.
• Implementazione in SageMath: Viene fornita un'implementazione completa in SageMath, che utilizza librerie esistenti per la coomologia di Monsky–Washnitzer e l'integrazione di Coleman.

Risultati
Gli autori presentano confronti temporali che dimostrano la superiorità del loro algoritmo:

• Per una curva di genere 2 a $p=7$ con 10 cifre di precisione, il nuovo algoritmo impiega 2 secondi rispetto ai 7 secondi di [BB12].
• Per precisioni più elevate (300 cifre) e primi più grandi (es. $p=503$), l'implementazione [BB12] fallisce nel completarsi entro una settimana, mentre il nuovo algoritmo ha successo (es. 4 minuti per $p=503$).
• L'algoritmo gestisce con successo curve di genere superiore (fino a 17 negli esempi) e alta precisione, che erano precedentemente intrattabili.

Significatività e Applicazioni
Il saggio evidenzia tre applicazioni specifiche rese possibili da questo nuovo algoritmo:

1. Chabauty Quadratico per Punti Razionali: Il metodo accelera il calcolo dei punti razionali su curve dove il rango di Mordell–Weil è uguale alla genere. Permette l'uso di primi più piccoli (es. $p=7$ per $X_0^+(107)$) che erano precedentemente inutilizzabili a causa della restrizione del modello di grado dispari, riducendo drasticamente il tempo di calcolo (da 40 minuti a 47 secondi in un esempio specifico).
2. Chabauty Quadratico per Punti Integrali: Facilita un nuovo, più semplice metodo per calcolare i punti integrali su curve iperellittiche di grado pari su campi numerici. Questo approccio evita le complessità tecniche della teoria di Arakelov $p$-adica e degli integrali doppi richiesti dai metodi precedenti, rendendolo applicabile a curve che prima erano fuori portata.
3. Evidenza Numerica per la BSD $p$-adica: L'algoritmo consente la verifica numerica della congettura di Birch e Swinnerton–Dyer $p$-adica per varietà abeliane modulari di tipo $GL_2$ dove la curva associata manca di un modello di grado dispari su $\mathbb{Q}_p$. Gli autori verificano la congettura per il Jacobiano di $X_0^+(67)$ a $p=11$, un caso in cui il precedente algoritmo non poteva essere applicato.

Il lavoro è modesto nelle sue rivendicazioni, osservando che, sebbene l'algoritmo assuma che i punti siano definiti su $\mathbb{Q}_p$ (a causa delle limitazioni di implementazione dell'integrazione di Coleman), il framework teorico permette potenziali estensioni future. Gli autori sottolineano che il loro lavoro fornisce gli strumenti computazionali necessari per espandere l'ambito della geometria diofantica esplicita e del testing delle congetture $p$-adiche.