Computing p-adic heights on hyperelliptic curves

Resumo Técnico: Computação de Alturas $p$-ádicas em Curvas Hiperelípticas

Enunciado do Problema
O artigo aborda o desafio computacional de determinar o emparelhamento de altura $p$-ádica de Coleman–Gross local $h_p$ no jacobiano $J$ de uma curva hiperelíptica $X: y^2 = f(x)$ sobre $\mathbb{Q}$, onde $p$ é um primo de redução boa. Embora as alturas globais $p$-ádicas sejam somas de contribuições locais, e as alturas locais nos primos $v \neq p$ sejam computáveis via teoria de interseção em superfícies aritméticas, a altura local $h_p$ em $p$ requer análise $p$-ádica (integração de Coleman).

Anteriormente, o único algoritmo disponível para computar $h_p$ era o de Balakrishnan e Besser [BB12]. Este método era restrito a curvas que possuíam um modelo de grau ímpar sobre $\mathbb{Q}_p$. Consequentemente, não podia ser aplicado diretamente a curvas hiperelípticas com modelos de grau par, limitando o escopo de aplicações como o método de Chabauty quadrático para pontos integrais e a verificação numérica de conjecturas de Birch e Swinnerton–Dyer (BSD) $p$-ádicas para tais curvas.

Metodologia
Os autores propõem um novo algoritmo para computar $h_p$ que funciona tanto para modelos de grau ímpar quanto para os de grau par, embora seja especificamente otimizado para o caso de grau par. A estratégia central envolve a redução do cálculo de $h_p(P-Q, R-S)$ à avaliação de integrais de Coleman de formas diferenciais específicas.

1. Redução ao Grau Par: O algoritmo assume que a curva é dada por um modelo de grau par $y^2 = f(x)$ com $f$ mônico. Isso garante a existência de dois pontos distintos no infinito, $\infty^+$ e $\infty^-$, e um divisor de grau zero não trivial suportado no infinito, $D_\infty = \infty^- - \infty^+$.
2. Decomposição de Divisores: Usando a bi-aditividade do emparelhamento de altura, o problema reduz-se ao cálculo de $h_p$ para pares de pontos. Os autores distinguem dois casos:
   • Caso 1: Um divisor é $D_\infty$. O cálculo de $h_p(\infty^- - \infty^+, R-S)$ é reduzido a integrais de Coleman da diferencial $\omega_g = \frac{x^g dx}{y}$. Os autores utilizam a ação de Frobenius na cohomologia de Monsky–Washnitzer para determinar os coeficientes necessários para projetar a diferencial associada a $D_\infty$ sobre o subespaço isotrópico $W$ escolhido.
   • Caso 2: Pontos Afines. Para $h_p(P-Q, R-S)$ com pontos afins, os autores empregam uma mudança de variáveis $\tau: C \to C'$ que mapeia o divisor $P - \iota(P)$ (onde $\iota$ é a involução hiperelíptica) para $D_\infty$ em uma curva transformada $C'$. Essa transformação converte efetivamente o caso afim no caso "no infinito" (Caso 1), permitindo o reuso da computação eficiente para $D_\infty$.
3. Detalhes de Implementação: O algoritmo baseia-se em dados pré-computados: uma base para $H^1_{dR}(C/\mathbb{Q}_p)$, a matriz de ação de Frobenius, a matriz do produto cup e uma base para um subespaço complementar isotrópico $W$. O cálculo real da altura envolve álgebra linear para encontrar coeficientes e a avaliação de integrais de Coleman usando a implementação existente de Balakrishnan para curvas de grau par.

Principais Contribuições

• Generalização ao Grau Par: A principal contribuição é um algoritmo que computa alturas $p$-ádicas para curvas hiperelípticas com modelos de grau par, um cenário anteriormente inacessível ao algoritmo padrão de Balakrishnan–Besser.
• Eficiência e Simplicidade: O método proposto é significativamente mais rápido e simples que a abordagem [BB12]. Ele evita os cálculos de alta precisão em coordenadas locais sobre extensões de alto grau de $\mathbb{Q}_p$ exigidos pelo método anterior para curvas de grau ímpar, aproveitando em vez disso a estrutura do modelo de grau par e o divisor no infinito.
• Análise de Precisão: O artigo fornece uma análise de precisão rigorosa, estabelecendo a precisão de trabalho necessária para atingir uma precisão alvo, levando em conta os determinantes das matrizes de Frobenius e do produto cup.
• Implementação em SageMath: Uma implementação completa é fornecida em SageMath, utilizando bibliotecas existentes para cohomologia de Monsky–Washnitzer e integração de Coleman.

Resultados
Os autores apresentam comparações de tempo demonstrando a superioridade de seu algoritmo:

• Para uma curva de gênero 2 em $p=7$ com 10 dígitos de precisão, o novo algoritmo leva 2 segundos comparado aos 7 segundos do [BB12].
• Para maior precisão (300 dígitos) e primos maiores (ex: $p=503$), a implementação [BB12] falha em completar dentro de uma semana, enquanto o novo algoritmo tem sucesso (ex: 4 minutos para $p=503$).
• O algoritmo lida com sucesso com curvas de gênero mais alto (até 17 nos exemplos) e alta precisão, o que era anteriormente intratável.

Significância e Aplicações
O artigo destaca três aplicações específicas possibilitadas por este novo algoritmo:

1. Chabauty Quadrático para Pontos Racionais: O método acelera o cálculo de pontos racionais em curvas onde o rank de Mordell–Weil é igual ao gênero. Permite o uso de primos menores (ex: $p=7$ para $X_0^+(107)$) que eram anteriormente inutilizáveis devido à restrição do modelo de grau ímpar, reduzindo drasticamente o tempo de computação (de 40 minutos para 47 segundos em um exemplo específico).
2. Chabauty Quadrático para Pontos Integrais: Facilita um novo método, mais simples, para calcular pontos integrais em curvas hiperelípticas de grau par sobre corpos numéricos. Esta abordagem evita as complexidades técnicas da teoria de Arakelov $p$-ádica e integrais duplos exigidos por métodos anteriores, tornando-o aplicável a curvas que antes estavam fora de alcance.
3. Evidência Numérica para BSD $p$-ádica: O algoritmo permite a verificação numérica da conjectura de Birch e Swinnerton–Dyer $p$-ádica para variedades abelianas modulares de tipo $GL_2$ onde a curva associada carece de um modelo de grau ímpar sobre $\mathbb{Q}_p$. Os autores verificam a conjectura para o jacobiano de $X_0^+(67)$ em $p=11$, um caso onde o algoritmo anterior não poderia ser aplicado.

O trabalho é modesto em suas reivindicações, observando que, embora o algoritmo assuma que os pontos são definidos sobre $\mathbb{Q}_p$ (devido a limitações de implementação da integração de Coleman), o arcabouço teórico permite potenciais extensões futuras. Os autores enfatizam que seu trabalho fornece as ferramentas computacionais necessárias para expandir o escopo da geometria diofantina explícita e dos testes de conjecturas $p$-ádicas.