Computing p-adic heights on hyperelliptic curves

Resumen Técnico: Computación de Alturas $p$-ádicas en Curvas Hiperelípticas

Planteamiento del Problema
El artículo aborda el desafío computacional de determinar el emparejamiento de altura $p$-ádica local de Coleman–Gross $h_p$ en el jacobiano $J$ de una curva hiperelíptica $X: y^2 = f(x)$ sobre $\mathbb{Q}$, donde $p$ es un primo de reducción buena. Mientras que las alturas globales $p$-ádicas son sumas de contribuciones locales, las alturas locales en los primos $v \neq p$ son computables mediante la teoría de intersección en superficies aritméticas. Sin embargo, la altura local $h_p$ en $p$ requiere análisis $p$-ádico (integración de Coleman).

Anteriormente, el único algoritmo disponible para computar $h_p$ era el de Balakrishnan y Besser [BB12]. Este método estaba restringido a curvas que poseían un modelo de grado impar sobre $\mathbb{Q}_p$. En consecuencia, no podía aplicarse directamente a curvas hiperelípticas con modelos de grado par, lo que limitaba el alcance de aplicaciones tales como el método de Chabauty cuadrático para puntos integrales y la verificación numérica de las conjeturas $p$-ádicas de Birch y Swinnerton–Dyer (BSD) para dichas curvas.

Metodología
Los autores proponen un nuevo algoritmo para computar $h_p$ que funciona tanto para modelos de grado impar como par, aunque está específicamente optimizado para el caso de grado par. La estrategia central consiste en reducir la computación de $h_p(P-Q, R-S)$ a la evaluación de integrales de Coleman de formas diferenciales específicas.

1. Reducción a Grado Par: El algoritmo asume que la curva viene dada por un modelo de grado par $y^2 = f(x)$ con $f$ mónico. Esto asegura la existencia de dos puntos distintos en el infinito, $\infty^+$ y $\infty^-$, y un divisor de grado cero no trivial soportado en el infinito, $D_\infty = \infty^- - \infty^+$.
2. Descomposición de Divisores: Utilizando la bi-aditividad del emparejamiento de altura, el problema se reduce a computar $h_p$ para pares de puntos. Los autores distinguen dos casos:
   • Caso 1: Un divisor es $D_\infty$. La computación de $h_p(\infty^- - \infty^+, R-S)$ se reduce a integrales de Coleman de la diferencial $\omega_g = \frac{x^g dx}{y}$. Los autores utilizan la acción de Frobenius sobre la cohomología de Monsky–Washnitzer para determinar los coeficientes necesarios para proyectar la diferencial asociada a $D_\infty$ sobre el subespacio isotrópico elegido $W$.
   • Caso 2: Puntos Afines. Para $h_p(P-Q, R-S)$ con puntos afines, los autores emplean un cambio de variables $\tau: C \to C'$ que mapea el divisor $P - \iota(P)$ (donde $\iota$ es la involución hiperelíptica) al divisor $D_\infty$ en una curva transformada $C'$. Esta transformación convierte efectivamente el caso afín en el caso "infinito" (Caso 1), permitiendo la reutilización de la computación eficiente para $D_\infty$.
3. Detalles de Implementación: El algoritmo depende de datos precomputados: una base para $H^1_{dR}(C/\mathbb{Q}_p)$, la matriz de acción de Frobenius, la matriz de producto de cuña y una base para un subespacio complementario isotrópico $W$. La computación real de la altura implica álgebra lineal para hallar coeficientes y la evaluación de integrales de Coleman utilizando la implementación existente de Balakrishnan para curvas de grado par.

Contribuciones Clave

• Generalización a Grado Par: La contribución principal es un algoritmo que computa alturas $p$-ádicas para curvas hiperelípticas con modelos de grado par, un escenario previamente inaccesible para el algoritmo estándar de Balakrishnan–Besser.
• Eficiencia y Simplicidad: El método propuesto es significativamente más rápido y simple que el enfoque de [BB12]. Evita los cálculos de alta precisión en coordenadas locales sobre extensiones de alto grado de $\mathbb{Q}_p$ requeridos por el método anterior para curvas de grado impar, aprovechando en su lugar la estructura del modelo de grado par y el divisor en el infinito.
• Análisis de Precisión: El artículo proporciona un análisis de precisión riguroso, estableciendo la precisión de trabajo necesaria para alcanzar una precisión objetivo, contabilizando los determinantes de las matrices de Frobenius y de producto de cuña.
• Implementación en SageMath: Se proporciona una implementación completa en SageMath, utilizando librerías existentes para la cohomología de Monsky–Washnitzer e integración de Coleman.

Resultados
Los autores presentan comparaciones de tiempos demostrando la superioridad de su algoritmo:

• Para una curva de género 2 en $p=7$ con 10 dígitos de precisión, el nuevo algoritmo toma 2 segundos comparado con los 7 segundos de [BB12].
• Para mayor precisión (300 dígitos) y primos más grandes (por ejemplo, $p=503$), la implementación de [BB12] falla en completarse dentro de una semana, mientras que el nuevo algoritmo tiene éxito (por ejemplo, 4 minutos para $p=503$).
• El algoritmo maneja con éxito curvas de mayor género (hasta 17 en los ejemplos) y alta precisión, las cuales eran previamente intratables.

Significancia y Aplicaciones
El artículo destaca tres aplicaciones específicas habilitadas por este nuevo algoritmo:

1. Chabauty Cuadrático para Puntos Racionales: El método acelera la computación de puntos racionales en curvas donde el rango de Mordell–Weil es igual al género. Permite el uso de primos más pequeños (por ejemplo, $p=7$ para $X_0^+(107)$) que antes eran inutilizables debido a la restricción del modelo de grado impar, reduciendo drásticamente el tiempo de computación (de 40 minutos a 47 segundos en un ejemplo específico).
2. Chabauty Cuadrático para Puntos Integrales: Facilita un método nuevo y más simple para computar puntos integrales en curvas hiperelípticas de grado par sobre cuerpos numéricos. Este enfoque evita las complejidades técnicas de la teoría de Arakelov $p$-ádica y las integrales dobles requeridas por métodos anteriores, haciéndolo aplicable a curvas que antes estaban fuera de alcance.
3. Evidencia Numérica para la Conjetura $p$-adic BSD: El algoritmo permite la verificación numérica de la conjetura $p$-ádica de Birch y Swinnerton–Dyer para variedades abelianas modulares de tipo $GL_2$ donde la curva asociada carece de un modelo de grado impar sobre $\mathbb{Q}_p$. Los autores verifican la conjetura para el jacobiano de $X_0^+(67)$ en $p=11$, un caso donde el algoritmo anterior no podía aplicarse.

El trabajo es modesto en sus pretensiones, señalando que, si bien el algoritmo asume que los puntos están definidos sobre $\mathbb{Q}_p$ (debido a limitaciones de implementación de la integración de Coleman), el marco teórico permite posibles extensiones futuras. Los autores enfatizan que su trabajo proporciona las herramientas computacionales necesarias para expandir el alcance de la geometría diofántica explícita y las pruebas de conjeturas $p$-ádicas.