Computing p-adic heights on hyperelliptic curves

Technische Samenvatting: Het berekenen van $p$-adische hoogtes op hyperelliptische curven

Probleemstelling
Het artikel behandelt de computationele uitdaging van het bepalen van de lokale Coleman–Gross $p$-adische hoogteparing $h_p$ op de Jacobiaan $J$ van een hyperelliptische curve $X: y^2 = f(x)$ over $\mathbb{Q}$, waarbij $p$ een priemgetal is met goede reductie. Hoewel globale $p$-adische hoogtes sommen zijn van lokale bijdragen, zijn de lokale hoogtes bij priemgetallen $v \neq p$ berekenbaar via snijtheorie op arithmetische oppervlakken. Echter, de lokale hoogte $h_p$ bij $p$ vereist $p$-adische analyse (Coleman-integratie).

Voorheen was de enige beschikbare methode voor het berekenen van $h_p$ die van Balakrishnan en Besser [BB12]. Deze methode was beperkt tot curven die een oneven-graads model bezitten over $\mathbb{Q}_p$. Hierdoor kon deze niet direct worden toegepast op hyperelliptische curven met even-graads modellen, wat de reikwijdte van toepassingen zoals de kwadratische Chabauty-methode voor integrale punten en de numerieke verificatie van de $p$-adische Birch en Swinnerton–Dyer (BSD) vermoedens voor dergelijke curven beperkte.

Methodologie
De auteurs stellen een nieuw algoritme voor om $h_p$ te berekenen dat werkt voor zowel even- als oneven-graads modellen, hoewel het specifiek is geoptimaliseerd voor het even-graads geval. De kernstrategie bestaat uit het reduceren van de berekening van $h_p(P-Q, R-S)$ tot de evaluatie van Coleman-integralen van specifieke differentiaalvormen.

1. Reductie naar even graad: Het algoritme gaat ervan uit dat de curve wordt gegeven door een even-graads model $y^2 = f(x)$ met een monisch $f$. Dit garandeert het bestaan van twee verschillende punten in het oneindige, $\infty^+$ en $\infty^-$, en een niet-triviale graad-nul divisor ondersteund bij het oneindige, $D_\infty = \infty^- - \infty^+$.
2. Decompositie van divisors: Gebruikmakend van de bi-additiviteit van de hoogteparing, wordt het probleem gereduceerd tot het berekenen van $h_p$ voor paren van punten. De auteurs maken onderscheid tussen twee gevallen:
   • Geval 1: Eén divisor is $D_\infty$. De berekening van $h_p(\infty^- - \infty^+, R-S)$ wordt gereduceerd tot Coleman-integralen van het differentiaal $\omega_g = \frac{x^g dx}{y}$. De auteurs maken gebruik van de werking van Frobenius op de Monsky–Washnitzer cohomologie om de noodzakelijke coëfficiënten te bepalen om het differentiaal geassocieerd met $D_\infty$ te projecteren op de gekozen isotrope subruimte $W$.
   • Geval 2: Affiene punten. Voor $h_p(P-Q, R-S)$ met affiene punten gebruiken de auteurs een variabeleverandering $\tau: C \to C'$ die de divisor $P - \iota(P)$ (waarbij $\iota$ de hyperelliptische inversie is) afbeeldt op $D_\infty$ op een getransformeerde curve $C'$. Deze transformatie zet het affiene geval effectief om in het "oneindige" geval (Geval 1), waardoor de efficiënte berekening voor $D_\infty$ kan worden hergebruikt.
3. Implementatiedetails: Het algoritme steunt op vooraf berekende gegevens: een basis voor $H^1_{dR}(C/\mathbb{Q}_p)$, de Frobenius-actiematrix, de cup-productmatrix en een basis voor een isotrope complementaire subruimte $W$. De feitelijke hoogteberekening omvat lineaire algebra om coëfficiënten te vinden en de evaluatie van Coleman-integralen met behulp van de bestaande implementatie van Balakrishnan voor even-graads curven.

Belangrijkste Bijdragen

• Generalisatie naar even graad: De primaire bijdrage is een algoritme dat $p$-adische hoogtes berekent voor hyperelliptische curven met even-graads modellen, een scenario dat voorheen ontoegankelijk was voor het standaard Balakrishnan–Besser algoritme.
• Efficiëntie en Eenvoud: De voorgestelde methode is aanzienlijk sneller en eenvoudiger dan de [BB12]-benadering. Het vermijdt de berekeningen met hoge precisie in lokale coördinaten over hoog-graads extensies van $\mathbb{Q}_p$ die vereist zijn door de vorige methode voor oneven-graads curven, en maakt in plaats daarvan gebruik van de structuur van het even-graads model en de divisor bij het oneindige.
• Precisieanalyse: Het artikel biedt een rigoureuze precisieanalyse, waarbij de benodigde werkprecisie wordt vastgesteld om een doelprecisie te bereiken, rekening houdend met de determinanten van de Frobenius- en cup-productmatrices.
• SageMath Implementatie: Een volledige implementatie wordt geleverd in SageMath, gebruikmakend van bestaande bibliotheken voor Monsky–Washnitzer cohomologie en Coleman-integratie.

Resultaten
De auteurs presenteren tijdvergelijkingen die de superioriteit van hun algoritme demonstreren:

• Voor een genus 2 curve bij $p=7$ met 10 cijfers precisie, duurt het nieuwe algoritme 2 seconden vergeleken met 7 seconden voor [BB12].
• Voor hogere precisie (300 cijfers) en grotere priemgetallen (bijv. $p=503$), faalt de [BB12]-implementatie om binnen een week te voltooien, terwijl het nieuwe algoritme slaagt (bijv. 4 minuten voor $p=503$).
• Het algoritme handelt succesvol curven van hogere genus af (tot 17 in de voorbeelden) en hoge precisie, wat voorheen onhandelbaar was.

Betekenis en Toepassingen
Het artikel benadrukt drie specifieke toepassingen die mogelijk worden gemaakt door dit nieuwe algoritme:

1. Kwadratische Chabauty voor Rationele Punten: De methode versnelt de berekening van rationele punten op curven waar de Mordell–Weil rang gelijk is aan de genus. Het maakt het gebruik van kleinere priemgetallen mogelijk (bijv. $p=7$ voor $X_0^+(107)$) die voorheen onbruikbaar waren vanwege de restrictie op oneven-graads modellen, wat de rekentijd drastisch verkort (van 40 minuten naar 47 seconden in een specifiek voorbeeld).
2. Kwadratische Chabauty voor Integrale Punten: Het faciliteert een nieuwe, eenvoudigere methode voor het berekenen van integrale punten op even-graads hyperelliptische curven over getallenvelden. Deze benadering vermijdt de technische complexiteit van $p$-adische Arakelov-theorie en dubbele integralen die vereist zijn door eerdere methoden, waardoor het toepasbaar is op curven die voorheen buiten bereik lagen.
3. Numerieke Bewijsvoering voor $p$-adische BSD: Het algoritme maakt de numerieke verificatie van de $p$-adische Birch en Swinnerton–Dyer vermoedens voor modulaire abelse variëteiten van $GL_2$-type mogelijk waarbij de geassocieerde curve geen oneven-graads model over $\mathbb{Q}_p$ heeft. De auteurs verifiëren het vermoeden voor de Jacobiaan van $X_0^+(67)$ bij $p=11$, een geval waarbij het vorige algoritme niet toegepast kon worden.

De claims van het werk zijn bescheiden, waarbij wordt opgemerkt dat hoewel het algoritme ervan uitgaat dat punten gedefinieerd zijn over $\mathbb{Q}_p$ (vanwege implementatiebeperkingen van Coleman-integratie), het theoretische kader ruimte biedt voor potentiële toekomstige uitbreidingen. De auteurs benadrukken dat hun werk de noodzakelijke computationele instrumenten biedt om de reikwijdte van expliciete Diophantische meetkunde en $p$-adische conjectuurtesten uit te breiden.