Generalised Whittaker models as instances of relative Langlands duality II: Plancherel density and global periods

Sintesi Tecnica: Modelli di Whittaker Generalizzati come Istanze della Dualità di Langlands Relativa II

Enunciato del Problema
Questo articolo affronta specifiche congetture all'interno del quadro della Dualità di Langlands Relativa proposto da Ben-Zvi, Sakellaridis e Venkatesh ([BZSV]). Mentre il lavoro precedente degli autori ([GW]) ha stabilito la dualità per le rappresentazioni lisce nel contesto dei problemi di ramificazione per una generica famiglia di varietà ipersferiche, esso ha lasciato inespresse due componenti critiche del programma [BZSV]:

1. La precisa congettura numerica per la densità di Plancherel locale (specificamente per la "funzione di base" nei casi non ramificati).
2. La congettura riguardante i periodi globali e la loro relazione con i valori speciali delle funzioni $L$ automorfiche.

Gli autori si concentrano su una famiglia rappresentativa di esempi che coinvolgono gruppi ortogonali pari $G = O_{2k}$ e i loro duali, specificamente associati a orbite nilpotenti di "tipo hook" (a uncino). L'obiettivo è verificare che la misura di Plancherel locale associata a una varietà ipersferica corrisponda al valore $L$ locale della sua duale, e applicare questo ai periodi globali.

Metodologia
Lo strumento primario impiegato è la corrispondenza theta tra il gruppo ortogonale dispari e i gruppi metaplettici (specificamente la coppia duale $(O_{2k}, Sp_{2a})$). Gli autori si basano sul quadro stabilito in [GW2] ma introducono un significativo spostamento metodologico:

• Decomposizione Spettrale via Corrispondenza Theta: A differenza degli approcci precedenti (ad esempio, [GW2]) che derivavano le decomposizioni spettrali utilizzando metodi specifici per certi casi, questo articolo dimostra la decomposizione spettrale di $L^2(X)$ (dove $X$ è un fibrato cotangente torcuto associato alla varietà ipersferica) direttamente attraverso la corrispondenza theta. Si dimostra che questo approccio è parallelo al trattamento degli aspetti locali e globali lisci, offrendo un quadro più generalizzabile.
• Analisi Locale: Gli autori analizzano il prodotto interno su $L^2(X)$ relazionandolo alla misura di Whittaker-Plancherel sul gruppo duale $G' = Sp_{2a}$. Essi utilizzano la suriettività della mappa dalla rappresentazione di Weil allo spazio delle funzioni su $X$ (Teorema 3.1) e giustificano lo scambio degli integrali per stabilire una formula di decomposizione spettrale (Teorema 3.6).
• Analisi Globale: La congettura del periodo globale viene verificata combinando i risultati spettrali locali con il lifting theta globale. Gli autori assumono la congettura di Lapid-Mao per i gruppi metaplettici e la proprietà di unicità del multiplo per i relativi lift theta.

Contributi Chiave e Risultati

1. Verifica della Densità di Plancherel Locale (Teoremi 5.6 & 5.7):
   L'articolo prova la congettura numerica di [BZSV, Proposizione 9.2.1] per la coppia ipersferica duale $(M_1, M_2)$.

   • La densità di Plancherel della funzione di base $\phi_0$ su $X$ (associata a $M_2$) è mostrata essere la pushforward di una misura sul toro compatto massimale del gruppo duale $G^\vee_X = O_{2a+1}$.
   • Questa misura è esplicitamente data da un rapporto di determinanti coinvolgenti la rappresentazione $V_X$ (associata a $M_1$) e l'algebra di Lie del gruppo duale.
   • Il risultato conferma che la densità di Plancherel locale associata a $M_2$ corrisponde a un valore $L$ locale attaccato a $M_1$, specificamente della forma $\prod L(i/2, V_X^{(i)})$.

2. Congettura del Periodo Globale (Teorema 6.3):
   Gli autori stabiliscono la congettura numerica per i periodi globali per le forme automorfiche cuspidali su $G=O_{2k}$ che sono nell'immagine del lifting theta globale da $G'=Sp_{2a}$.

   • Essi mostrano che il quadrato del funzionale del periodo globale $|P_\gamma(f)|^2$ si fattorizza in un prodotto di fattori locali, un termine di valore $L$ centrale, e un fattore dell'ordine del gruppo $|S_\phi|^{-1}$.
   • Questo risultato è valido sotto l'assunzione della congettura di Lapid-Mao per il periodo di Whittaker sui gruppi simplettici.

3. Periodi di Whittaker Degenerati (Sezione 7):
   L'articolo affronta le congetture di [MWZ] riguardanti i "periodi di Whittaker degenerati" (dove il sottogruppo $H$ è banale).

   • Utilizzando la corrispondenza theta, gli autori definiscono naturalmente i "caratteri relativi locali", risolvendo un ostacolo chiave notato in [MWZ].
   • Essi provano [MWZ, Congetture 1.4 e 1.8] per i casi specifici di "tipo hook" considerati.
   • I Teoremi 7.10 e 7.11 forniscono formule esplicite per i periodi di Whittaker degenerati e il loro prodotto con i periodi standard, confermando le congetture per le varietà sferiche di rango 1 come $O_{2k-1} \backslash O_{2k}$ come casi speciali.

Significato e Rivendicazioni
Gli autori affermano che questo lavoro raggiunge il "pieno analogo" dei risultati in [GW2] (che erano limitati alla varietà sferica di rango 1 $O_k \backslash O_{k+1}$) all'interno del contesto più ampio delle varietà ipersferiche associate a partizioni di tipo hook.

• Generalità Metodologica: Il documento enfatizza che il metodo di utilizzare la corrispondenza theta per derivare le decomposizioni spettrali non è solo parallelo ai trattamenti liscio e globale, ma è anche più generale. Gli autori dichiarano che questo approccio può essere applicato senza difficoltà significative ad altri casi in [GW, Sezione 7] e potenzialmente alle coppie duali unitarie.
• Risoluzione di Questioni Aperte: Il lavoro colma le lacune lasciate da [GW] riguardo alla densità di Plancherel e ai periodi globali, fornendo una verifica concreta della dualità [BZSV] in un contesto non banale che coinvolge fibrati cotangenti torcuti.
• Definizione Naturale di Caratteri Relativi: Nel contesto dei periodi di Whittaker degenerati, il paper dimostra che la corrispondenza theta fornisce naturalmente i necessari "caratteri relativi locali", offrendo una via per risolvere congetture simili per altre varietà sferiche (incluse quelle eccentriche tramite corrispondenze theta eccentriche).

L'articolo conclude con modestia, notando che, sebbene i metodi siano robusti per i casi considerati, ulteriori dettagli tecnici sarebbero necessari per le corrispondenze theta eccentriche e altri casi non di tipo hook.