Generalised Whittaker models as instances of relative Langlands duality II: Plancherel density and global periods

Resumen Técnico: Modelos de Whittaker Generalizados como Instancias de la Dualidad de Langlands Relativa II

Planteamiento del Problema
Este artículo aborda conjeturas específicas dentro del marco de la Dualidad de Langlands Relativa propuesto por Ben-Zvi, Sakellaridis y Venkatesh ([BZSV]). Mientras que el trabajo previo de los autores ([GW]) estableció la dualidad para representaciones suaves en el contexto de problemas de ramificación para una familia general de variedades hiperesféricas, dejó sin abordar dos componentes críticos del programa [BZSV]:

1. La conjetura numérica precisa para la densidad de Plancherel local (específicamente para la "función básica" en lugares no ramificados).
2. La conjetura sobre los periodos globales y su relación con los valores especiales de las funciones $L$ automórficas.

Los autores se centran en una familia representativa de ejemplos que involucran grupos ortogonales pares $G = O_{2k}$ y sus duales, específicamente aquellos asociados con órbitas niles de "tipo gancho" (hook type). El objetivo es verificar que la medida de Plancherel local asociada con una variedad hiperesférica corresponde al valor $L$ local de su dual, y aplicar esto a fórmulas de periodos globales.

Metodología
La herramienta principal empleada es la correspondencia de theta entre el grupo ortogonal impar y los grupos metaplécticos (específicamente el par dual $(O_{2k}, Sp_{2a})$). Los autores se basan en el marco establecido en [GW2] pero introducen un cambio metodológico significativo:

• Descomposición Espectral vía Correspondencia de Theta: A diferencia de enfoques previos (p. ej., [GW2]) que derivaban las descomposiciones espectrales utilizando métodos específicos para ciertos casos, este artículo demuestra la descomposición espectral de $L^2(X)$ (donde $X$ es un fibrado cotangente retorcido asociado con la variedad hiperesférica) directamente a través de la correspondencia de theta. Se demuestra que este enfoque es paralelo al tratamiento de los aspectos locales suaves y globales, ofreciendo un marco más generalizable.
• Análisis Local: Los autores analizan el producto interno en $L^2(X)$ relacionándolo con la medida de Whittaker-Plancherel en el grupo dual $G' = Sp_{2a}$. Utilizan la suryectividad del mapa desde la representación de Weil hacia el espacio de funciones en $X$ (Teorema 3.1) y justifican el intercambio de integrales para establecer una fórmula de descomposición espectral (Teorema 3.6).
• Análisis Global: La conjetura del periodo global se verifica combinando los resultados espectrales locales con el levantamiento de theta global. Los autores asumen la conjetura de Lapid-Mao para grupos metaplécticos y la propiedad de multiplicidad uno para los levantamientos de theta relevantes.

Contribuciones Clave y Resultados

1. Verificación de la Densidad de Plancherel Local (Teoremas 5.6 y 5.7):
   El artículo prueba la conjetura numérica de [BZSV, Proposición 9.2.1] para el par dual hiperesférico $(M_1, M_2)$.

   • Se demuestra que la densidad de Plancherel de la función básica $\phi_0$ en $X$ (asociada con $M_2$) es la imagen directa de una medida en el toro compacto máximo del grupo dual $G^\vee_X = O_{2a+1}$.
   • Esta medida viene dada explícitamente por un cociente de determinantes que involucra la representación $V_X$ (asociada con $M_1$) y la álgebra de Lie del grupo dual.
   • El resultado confirma que la densidad de Plancherel local asociada con $M_2$ corresponde a un valor $L$ local adjunto a $M_1$, específicamente de la forma $\prod L(i/2, V_X^{(i)})$.

2. Conjetura del Periodo Global (Teorema 6.3):
   Los autores establecen la conjetura numérica para periodos globales para formas automórficas cúspides en $G=O_{2k}$ que están en la imagen del levantamiento de theta global desde $G'=Sp_{2a}$.

   • Demuestran que el cuadrado del funcional de periodo global $|P_\gamma(f)|^2$ se factoriza en un producto de factores locales, un término de valor $L$ central, y un factor de orden de grupo $|S_\phi|^{-1}$.
   • Este resultado se sostiene bajo la suposición de la conjetura de Lapid-Mao para el periodo de Whittaker en grupos simplécticos.

3. Periodos de Whittaker Degenerados (Sección 7):
   El artículo aborda las conjeturas de [MWZ] relativas a los "periodos de Whittaker degenerados" (donde el subgrupo $H$ es trivial).

   • Al utilizar la correspondencia de theta, los autores definen "caracteres relativos locales" de manera natural, resolviendo un obstáculo clave señalado en [MWZ].
   • Prueban [Conjeturas 1.4 y 1.8 de MWZ] para los casos específicos de "tipo gancho" considerados.
   • Los Teoremas 7.10 y 7.11 proporcionan fórmulas explícitas para los periodos de Whittaker degenerados y su producto con periodos estándar, confirmando las conjeturas para variedades esféricas de rango 1 como $O_{2k-1} \backslash O_{2k}$ como casos especiales.

Significancia y Reivindicaciones
Los autores afirman que este trabajo logra el "análogo completo" de los resultados de [GW2] (que estaban limitados a la variedad esférica de rango 1 $O_k \backslash O_{k+1}$) dentro del contexto más amplio de las variedades hiperesféricas asociadas con particiones de tipo gancho.

• Generalidad Metodológica: El artículo enfatiza que el método de usar la correspondencia de theta para derivar las descomposiciones espectrales no solo es paralelo a los tratamientos suaves y globales, sino que es también más general. Los autores sostienen que este enfoque puede aplicarse sin dificultad significativa a otros casos de [GW, Sección 7] y potencialmente a pares duales unitarios.
• Resolución de Problemas Abiertos: El trabajo llena los vacíos dejados por [GW] respecto a la densidad de Plancherel y los periodos globales, proporcionando una verificación concreta de la dualidad [BZSV] en un entorno no trivial que involucra fibrados cotangentes retorcidos.
• Definición Natural de Caracteres Relativos: En el contexto de los periodos de Whittaker degenerados, el artículo demuestra que la correspondencia de theta proporciona naturalmente los "caracteres relativos locales" necesarios, ofreciendo una vía para resolver conjeturas similares para otras variedades esféricas (incluyendo casos excepcionales vía correspondencias de theta excepcionales).

El artículo concluye modestamente, señalando que, si bien los métodos son robustos para los casos considerados, se requerirían más detalles técnicos para las correspondencias de theta excepcionales y otros casos que no sean de tipo gancho.