Generalised Whittaker models as instances of relative Langlands duality II: Plancherel density and global periods

Résumé technique : Les modèles de Whittaker généralisés comme instances de la dualité de Langlands relative II

Énoncé du problème
Cet article traite de conjectures spécifiques au sein du cadre de la dualité de Langlands relative proposé par Ben-Zvi, Sakellaridis et Venkatesh ([BZSV]). Le travail précédent des auteurs ([GW]) avait établi la dualité pour les représentations lisses dans le contexte des problèmes de branchement pour une famille générale de variétés hypersphériques, mais avait laissé non traités deux composantes critiques du programme [BZSV] :

1. La conjecture numérique précise de la densité de Plancherel locale (spécifiquement pour la « fonction de base » aux places non ramifiées).
2. La conjecture concernant les périodes globales et leur relation avec les valeurs spéciales des fonctions $L$ automorphes.

Les auteurs se concentrent sur une famille représentative d'exemples impliquant des groupes orthogonaux pairs $G = O_{2k}$ et leurs duaux, spécifiquement associés à des orbites nilpotentes de « type crochet » (hook type). L'objectif est de vérifier que la mesure de Plancherel locale associée à une variété hypersphérique correspond à la valeur $L$ locale de son dual, et d'appliquer cela aux formules de périodes globales.

Méthodologie
L'outil principal employé est la correspondance theta entre le groupe orthogonal impair et les groupes métaplectiques (spécifiquement la paire duale $(O_{2k}, Sp_{2a})$). Les auteurs s'appuient sur le cadre établi par [GW2] mais introduisent un changement méthodologique significatif :

• Décomposition spectrale via la correspondance Theta : Contrairement aux approches précédentes (par exemple, [GW2]) qui dérivaient les décompositions spectrales en utilisant des méthodes spécifiques à certains cas, cet article démontre la décomposition spectrale de $L^2(X)$ (où $X$ est un fibré cotangent tordu associé à la variété hypersphérique) directement par la correspondance theta. Cette approche est montrée comme étant parallèle au traitement des aspects locaux et globaux lisses, offrant un cadre plus généralisable.
• Analyse locale : Les auteurs analysent le produit scalaire sur $L^2(X)$ en le reliant à la mesure de Whittaker-Plancherel sur le groupe dual $G' = Sp_{2a}$. Ils utilisent la surjectivité de l'application de la représentation de Weil vers l'espace des fonctions sur $X$ (Théorème 3.1) et justifient l'interversion des intégrales pour établir une formule de décomposition spectrale (Théorème 3.6).
• Analyse globale : La conjecture de la période globale est vérifiée en combinant les résultats spectraux locaux avec le lever theta global. Les auteurs supposent la conjecture de Lapid-Mao pour les groupes métaplectiques ainsi que la propriété de multiplicité un pour les levers theta pertinents.

Contributions clés et résultats

1. Vérification de la densité de Plancherel locale (Théorèmes 5.6 & 5.7) :
   L'article prouve la conjecture numérique de [BZSV, Proposition 9.2.1] pour la paire duale hypersphérique $(M_1, M_2)$.

• La densité de Plancherel de la fonction de base $\phi_0$ sur $X$ (associée à $M_2$) est montrée comme étant l'image directe d'une mesure sur le tore compact maximal du groupe dual $G^\vee_X = O_{2a+1}$.
• Cette mesure est explicitement donnée par un rapport de déterminants impliquant la représentation $V_X$ (associée à $M_1$) et l'algèbre de Lie du groupe dual.
• Le résultat confirme que la densité de Plancherel locale associée à $M_2$ correspond à une valeur $L$ locale attachée à $M_1$, spécifiquement de la forme $\prod L(i/2, V_X^{(i)})$.

2. Conjecture de la période globale (Théorème 6.3) :
   Les auteurs établissent la conjecture numérique pour les périodes globales pour les formes automorphes cuspidales sur $G=O_{2k}$ qui sont dans l'image du lever theta global de $G'=Sp_{2a}$.

• Ils montrent que le carré du fonctionnel de période globale $|P_\gamma(f)|^2$ se factorise en un produit de facteurs locaux, un terme de valeur $L$ centrale, et un facteur d'ordre de groupe $|S_\phi|^{-1}$.
• Ce résultat est établi sous l'hypothèse de la conjecture de Lapid-Mao pour la période de Whittaker sur les groupes symplectiques.

3. Périodes de Whittaker dégénérées (Section 7) :
   L'article traite des conjectures de [MWZ] concernant les « périodes de Whittaker dégénérées » (où le sous-groupe $H$ est trivial).

• En utilisant la correspondance theta, les auteurs définissent naturellement des « caractères relatifs locaux », résolvant un obstacle clé noté dans [MWZ].
• Ils prouvent [MWZ, Conjectures 1.4 et 1.8] pour les cas spécifiques de « type crochet » considérés.
• Les théorèmes 7.10 et 7.11 fournissent des formules explicites pour les périodes de Whittaker dégénérées et leur produit avec les périodes standards, confirmant les conjectures pour les variétés sphériques de rang 1 comme $O_{2k-1} \backslash O_{2k}$ en tant que cas particuliers.

Signification et revendications
Les auteurs affirment que ce travail atteint l'« analogie complète » des résultats de [GW2] (qui étaient limités à la variété sphérique de rang 1 $O_k \backslash O_{k+1}$) dans le contexte plus large des variétés hypersphériques associées aux partitions de type crochet.

• Généralité méthodologique : L'article souligne que la méthode consistant à utiliser la correspondance theta pour dériver les décompositions spectrales n'est pas seulement parallèle aux traitements lisses et globaux, mais qu'elle est également plus générale. Les auteurs affirment que cette approche peut être appliquée sans difficulté significative à d'autres cas de [GW, Section 7] et potentiellement aux paires duales unitaires.
• Résolution de questions ouvertes : Ce travail comble les lacunes laissées par [GW] concernant la densité de Plancherel et les périodes globales, fournissant une vérification concrète de la dualité [BZSV] dans un cadre non trivial impliquant des fibrés cotangents tordus.
• Définition naturelle des caractères relatifs : Dans le contexte des périodes de Whittaker dégénérées, l'article démontre que la correspondance theta fournit naturellement les « caractères relatifs locaux » nécessaires, offrant une voie pour résoudre des conjectures similaires pour d'autres variétés sphériques (y compris les cas exceptionnels via les correspondances theta exceptionnelles).

L'article conclut avec modestie, notant que bien que les méthodes soient robustes pour les cas considérés, des détails techniques supplémentaires seraient nécessaires pour les correspondances theta exceptionnelles et d'autres cas n'étant pas de type crochet.