Generalised Whittaker models as instances of relative Langlands duality II: Plancherel density and global periods

Resumo Técnico: Modelos de Whittaker Generalizados como Instâncias da Dualidade de Langlands Relativa II

Enunciado do Problema
Este artigo aborda conjecturas específicas dentro do arcabouço da Dualidade de Langlands Relativa proposto por Ben-Zvi, Sakellaridis e Venkatesh ([BZSV]). Enquanto o trabalho anterior dos autores ([GW]) estabeleceu a dualidade para representações suaves no contexto de problemas de ramificação para uma família geral de variedades hiperesféricas, ele deixou sem tratamento dois componentes críticos do programa [BZSV]:

1. A conjectura numérica precisa para a densidade de Plancherel local (especificamente para a "função básica" em lugares não ramificados).
2. A conjectura referente a períodos globais e sua relação com valores especiais de funções $L$ automórficas.

Os autores focam em uma família representativa de exemplos envolvendo grupos ortogonais pares $G = O_{2k}$ e seus duais, especificamente aqueles associados a órbitas niltpóticas de "tipo gancho" (hook type). O objetivo é verificar que a medida de Plancherel local associada a uma variedade hiperesférica corresponde ao valor $L$ local de sua dual, e aplicar isso a fórmulas de períodos globais.

Metodologia
A principal ferramenta empregada é a correspondência theta entre o grupo ortogonal ímpar e grupos metaplécticos (especificamente o par dual $(O_{2k}, Sp_{2a})$). Os autores baseiam-se no arcabouço estabelecido em [GW2], mas introduzem uma mudança metodológica significativa:

• Decomposição Espectral via Correspondência Theta: Diferente de abordagens anteriores (ex., [GW2]), que derivavam decomposições espectrais usando métodos específicos para certos casos, este artigo demonstra a decomposição espectral de $L^2(X)$ (onde $X$ é um fibrado cotangente torcido associado à variedade hiperesférica) diretamente através da correspondência theta. Esta abordagem mostra-se paralela ao tratamento de aspectos locais e globais suaves, oferecendo um arcabouço mais generalizável.
• Análise Local: Os autores analisam o produto interno em $L^2(X)$ relacionando-o à medida de Whittaker-Plancherel no grupo dual $G' = Sp_{2a}$. Eles utilizam a surjetividade do mapa da representação de Weil para o espaço de funções em $X$ (Teorema 3.1) e justificam a troca de integrais para estabelecer uma fórmula de decomposição espectral (Teorema 3.6).
• Análise Global: A conjectura do período global é verificada combinando os resultados espectrais locais com o levantamento theta global. Os autores assumem a conjectura de Lapid-Mao para grupos metaplécticos e a propriedade de multiplicidade um para os levantamentos theta relevantes.

Contribuições Principais e Resultados

1. Verificação da Densidade de Plancherel Local (Teoremas 5.6 & 5.7):
   O artigo prova a conjectura numérica de [BZSV, Proposição 9.2.1] para o par hiperesférico dual $(M_1, M_2)$.

   • A densidade de Plancherel da função básica $\phi_0$ em $X$ (associada a $M_2$) é mostrada como sendo o pushforward de uma medida no toro compacto maximal do grupo dual $G^\vee_X = O_{2a+1}$.
   • Esta medida é dada explicitamente por uma razão de determinantes envolvendo a representação $V_X$ (associada a $M_1$) e a álgebra de Lie do grupo dual.
   • O resultado confirma que a densidade de Plancherel local associada a $M_2$ corresponde a um valor $L$ local anexado a $M_1$, especificamente da forma $\prod L(i/2, V_X^{(i)})$.

2. Conjectura do Período Global (Teorema 6.3):
   Os autores estabelecem a conjectura numérica para períodos globais para formas automórficas cúspicas em $G=O_{2k}$ que estão na imagem do levantamento theta global de $G'=Sp_{2a}$.

   • Eles mostram que o quadrado do funcional de período global $|P_\gamma(f)|^2$ fatoriza em um produto de fatores locais, um termo de valor $L$ central e um fator de ordem de grupo $|S_\phi|^{-1}$.
   • Este resultado é válido sob a suposição da conjectura de Lapid-Mao para o período de Whittaker em grupos simpléticos.

3. Períodos de Whittaker Degenerados (Seção 7):
   O artigo aborda conjecturas de [MWZ] relativas a "períodos de Whittaker degenerados" (onde o subgrupo $H$ é trivial).

   • Utilizando a correspondência theta, os autores definem "caracteres relativos locais" naturalmente, resolvendo um obstáculo fundamental observado em [MWZ].
   • Eles provam [MWZ, Conjecturas 1.4 e 1.8] para os casos específicos de "tipo gancho" considerados.
   • Os Teoremas 7.10 e 7.11 fornecem fórmulas explícitas para os períodos de Whittaker degenerados e seu produto com períodos padrão, confirmando as conjecturas para variedades esféricas de posto 1 como $O_{2k-1} \backslash O_{2k}$ como casos especiais.

Significância e Alegações
Os autores alegam que este trabalho alcança o "análogo completo" dos resultados em [GW2] (que foram limitados à variedade esférica de posto 1 $O_k \backslash O_{k+1}$) dentro do contexto mais amplo de variedades hiperesféricas associadas a partições do tipo gancho.

• Generalidade Metodológica: O artigo enfatiza que o método de usar a correspondência theta para derivar decomposições espectrais não é apenas paralelo aos tratamentos suave e global, mas também é mais geral. Os autores afirmam que esta abordagem pode ser aplicada sem dificuldade significativa a outros casos em [GW, Seção 7] e potencialmente a pares duais unitários.
• Resolução de Questões em Aberto: O trabalho preenche as lacunas deixadas por [GW] em relação à densidade de Plancherel e períodos globais, fornecendo uma verificação concreta da dualidade [BZSV] em um cenário não trivial envolvendo fibrados cotangentes torcidos.
• Definição Natural de Caracteres Relativos: No contexto de períodos de Whittaker degenerados, o artigo demonstra que a correspondência theta fornece os "caracteres relativos locais" necessários, oferecendo um caminho para resolver conjecturas semelhantes para outras variedades esféricas (incluindo casos excepcionais via correspondências theta excepcionais).

O artigo conclui modestamente, observando que, embora os métodos sejam robustos para os casos considerados, detalhes técnicos adicionais seriam necessários para correspondências theta excepcionais e outros casos que não sejam do tipo gancho.