Equations of genus $4$ curves from their theta constants

Sintesi Tecnica: Equazioni di Curve di Genere 4 dai Costanti Theta

Enunciato del Problema
L'obiettivo primario di questo lavoro è fornire formule esplicite e chiuse per il recupero delle equazioni di una curva generica di genere 4 $C$ su un campo algebricamente chiuso $k$ (di caratteristica 0 o $p$ sufficientemente grande), dati solo i valori delle sue costanti algebriche theta. Sebbene il problema della ricostruzione delle curve dalle costanti theta sia stato risolto per il genere 2 (Rosenhain) e il genere 3 (Aronhold–Weber), il caso del genere 4 presenta difficoltà uniche. A differenza dei generi inferiori, lo spazio dei moduli delle curve di genere 4 con una struttura di livello 2 completa non è noto essere unirazionale, e non ogni varietà abeliana polarizzata principalmente (p.p.a.v.) di dimensione 4 è un Jacobiano (una condizione governata dallo svanimento della forma modulare di Schottky). Approcci precedenti, come quelli di Lehavi, richiedevano spesso la risoluzione di sistemi non lineari per tutti i 255 punti di torsione due non triviali, rendendo la ricostruzione computazionalmente inefficiente per scopi espliciti.

Metodologia
Gli autori impiegano l'approccio Schottky–Jung, sfruttando la costruzione di Prym e i risultati geometrici classici riguardanti i simmetroidi cubici. Il metodo procede attraverso i seguenti passaggi logici:

1. Mappa Canonica di Prym e Simmetroidi: Per una curva di genere 4 non iperellittica generica $C$ e un punto di torsione 2 non triviale $\eta \in \text{Jac}(C)[2]$, la mappa canonica di Prym $\phi_\eta: C \to \mathbb{P}^2$ mappa $C$ in una sestica piana singolare. L'immagine dell'embedding canonico di $C$ in $\mathbb{P}^3$ viene recuperata come l'intersezione di una quadrica $Q$ e un simmetroide cubico $\Gamma_\eta$. Il Teorema 2.5 stabilisce una biiezione tra i punti di torsione 2 non nulli e gli irriducibili simmetroidi cubici che contengono l'immagine canonica.

2. Mappe Lineari e Biiezione di Milne: Il cuore della ricostruzione si basa su una mappa lineare $\phi: V_{C,\eta} \to S^2 H^0(C, \Omega_C(\eta))$, dove $V_{C,\eta}$ è un sottospazio specifico di forme quadratiche. Questa mappa è legata alla biiezione di Milne (Teorema 2.10), che relaziona coppie di piani tritangenti di $C$ che differiscono per $\eta$ alle bitangenti di una curva di genere 3 $X$ (la varietà di Prym).

   • L'equazione $\phi(HH') = \lambda \ell^2$ connette il prodotto dei piani tritangenti $H, H'$ su $C$ al quadrato di una linea bitangente $\ell$ su $X$.
   • Le bitangenti di $X$ sono computate utilizzando le formule classiche di Aronhold–Weber applicate alle costanti theta di $X$, che sono derivate da quelle di $C$ tramite le relazioni di Schottky–Jung.

3. Computazione Esplicita tramite Costanti Theta:

   • Piani Tritangenti: Gli autori utilizzano un'identità di derivata di Jacobi generalizzata (Teorema 2.15) per esprimere le equazioni dei piani tritangenti puramente in termini di costanti theta. Selezionano un insieme ausiliario specifico di caratteristiche theta dispari (Lemma 3.1) per garantire che i valori nulli del Jacobiano possano essere espressi come polinomi nelle costanti theta.
   • Risoluzione per $\phi$: Costruendo 10 coppie di piani tritangenti $(H_i, H'_i)$ e le loro corrispondenti bitangenti $\ell_i$, gli autori impostano un sistema lineare omogeneo per risolvere per gli scalari incogniti $\lambda_i$. Ciò consente la computazione esplicita della matrice che rappresenta $\phi$.
   • Recupero delle Equazioni:
     • La quadrica $Q$ è trovata come il generatore del nucleo di $\phi$ (Lemma 3.5).
     • Il cubico $\Gamma_\eta$ è recuperato costruendo un inverso a destra $\psi$ di $\phi$ e computando una forma di grado 6 $G = \det(\Delta)$, dove $\Delta$ è derivato da $\psi$. Il cubico $\Gamma_\eta$ è la radice quadrata di $G$ (Proposizione 3.7).

Contributi Chiave e Risultati

• Formule Esplicite: Il lavoro fornisce le prime formule chiuse per le equazioni di una curva generica di genere 4 in termini delle sue costanti theta (Teorema 4.2).
• Complessità Algebrica: Il metodo richiede solo aritmetica elementare, estrazione di radici quadrate e la risoluzione di sistemi di equazioni lineari. Esso evita i sistemi algebrici non lineari richiesti dai metodi precedenti (ad esempio, l'approccio di Lehavi).
• Gestione dei Casi Speciali: Il framework accoglie il caso biellittico (dove la mappa di Prym fattorizza attraverso una mappa di grado 2 verso una curva ellittica) e i casi in cui la curva $X$ è iperellittica (Osservazione 4.5), adattando di conseguenza l'interpretazione geometrica delle bitangenti.
• Implementazione Numerica: Gli autori dimostrano la fattibilità del metodo su campi finiti (Esempio 5.1) e su campi numerici (Esempi 5.2 e 5.3). Nel caso del campo numerico, utilizzano approssimazioni in virgola mobile delle costanti theta (derivate dalle matrici dei periodi) combinate con la riduzione di reticolo LLL per recuperare i coefficienti razionali esatti.

Significato e Applicazioni
Gli autori pongono questo lavoro come un significativo avanzamento nel problema di Schottky, specificamente per il genere 4. La capacità di ricostruire curve dalle costanti theta permette la costruzione esplicita di curve con proprietà aritmetiche speciali, quali:

• Curve i cui Jacobiani sono isogeni a prodotti di varietà abeliane di dimensione inferiore.
• Curve con Jacobiani modulari (ad esempio, associati a forme modulari).
• Curve con endomorfismi specifici o tensori di Hodge.

Il lavoro nota che queste formule sono già state utilizzate in combinazione con tecniche di teoria degli invarianti per scoprire nuove famiglie di curve di genere 4 di tipo Mumford, fornendo i primi esempi di famiglie Shimura non di tipo PEL. Il metodo è presentato come uno strumento pratico per la geometria aritmetica e complessa, permettendo l'esplorazione di esempi precedentemente inaccessibili ai metodi numerici o simbolici esistenti.

Limitazioni e Lavori Futuri
Gli autori riconoscono che il metodo dipende dal fatto che la curva sia generica; degenerazioni specifiche (ad esempio, svanimento dei denominatori nelle formule dei tritangenti o fallimento dell'indipendenza lineare dei prodotti $H_i H'_i$) potrebbero richiedere la scelta di un diverso punto di torsione 2 $\eta$. Il lavoro conclude discutendo la generalizzazione a generi più elevati ($g \geq 5$), notando che mentre la struttura algebrica lineare persiste per $g=5$, il recupero dei valori nulli del Jacobiano come funzioni razionali delle costanti theta rimane un problema aperto per $g \geq 6$.