Equations of genus $4$ curves from their theta constants

Technische Samenvatting: Vergelijkingen van Genus 4-krommen vanuit hun Theta-constanten

Probleemstelling
Het primaire doel van dit werk is het bieden van expliciete, gesloten formules voor het terugvinden van de vergelijkingen van een generieke genus 4-krom $C$ over een algebraïsch gesloten veld $k$ (met karakteristiek 0 of een voldoende grote $p$), gegeven enkel de waarden van zijn algebraïsche theta-constanten. Hoewel het probleem van het reconstrueren van krommen uit theta-constanten is opgelost voor genus 2 (Rosenhain) en genus 3 (Aronhold–Weber), presenteert het genus 4-geval unieke moeilijkheden. In tegenstelling tot lagere genera is de moduli-ruimte van genus 4-krommen met een volledige level 2-structuur niet bekend als unirationeel, en is niet elke principaal gepolariseerde abelse variëteit (p.p.a.v.) van dimensie 4 een Jacobiaan (een conditie die wordt beheerst door de verdwijning van de Schottky-modulaire vorm). Eerdere benaderingen, zoals die van Lehavi, vereisten vaak het oplossen van niet-lineaire systemen voor alle 255 niet-triviale 2-torsiepunten, wat computationeel inefficiënt was voor expliciete reconstructie.

Methodologie
De auteurs maken gebruik van de Schottky–Jung-benadering, waarbij zij steunen op de Prym-constructie en klassieke geometrische resultaten betreffende kubische symmetroïden. De methode verloopt via de volgende logische stappen:

1. Prym Kanonieke Afbeelding en Symmetroïden: Voor een generieke niet-hyperelliptische genus 4-krom $C$ en een niet-triviaal 2-torsiepunt $\eta \in \text{Jac}(C)[2]$, brengt de Prym kanonieke afbeelding $\phi_\eta: C \to \mathbb{P}^2$ de krom $C$ naar een singuliere planaire sextiek. De afbeelding van de kanonieke inbedding van $C$ in $\mathbb{P}^3$ wordt hersteld als de doorsnede van een kwadraat $Q$ en een kubische symmetroïde $\Gamma_\eta$. Stelling 2.5 vestigt een bijeenwerking tussen niet-nul 2-torsiepunten en irreducibele kubische symmetroïden die de kanonieke afbeelding bevatten.

2. Lineaire Afbeeldingen en Milne's Bijeenwerking: De kern van de reconstructie rust op een lineaire afbeelding $\phi: V_{C,\eta} \to S^2 H^0(C, \Omega_C(\eta))$, waarbij $V_{C,\eta}$ een specifieke deelruimte van kwadratische vormen is. Deze afbeelding is verbonden met Milne's bijeenwerking (Stelling 2.10), die paren van tritangente vlakken van $C$ die verschillen door $\eta$, verbindt met bitangente lijnen van een genus 3-krom $X$ (de Prym-variëteit).

   • De vergelijking $\phi(HH') = \lambda \ell^2$ verbindt het product van tritangente vlakken $H, H'$ op $C$ met het kwadraat van een bitangente lijn $\ell$ op $X$.
   • De bitangenten van $X$ worden berekend met behulp van klassieke Aronhold–Weber-formules toegepast op de theta-constanten van $X$, die afgeleid zijn van die van $C$ via Schottky–Jung-relaties.

3. Expliciete Berekening via Theta-constanten:

   • Tritangente Vlakken: De auteurs maken gebruik van een gegeneraliseerde Jacobi-afgeleide identiteit (Stelling 2.15) om de vergelijkingen van tritangente vlakken puur uit te drukken in termen van theta-constanten. Zij selecteren een specifieke hulpset van oneven theta-karakteristieken (Lemma 3.1) om te waarborgen dat de Jacobian nullwaarden als polynomen in theta-constanten kunnen worden uitgedrukt.
   • Oplossen voor $\phi$: Door 10 paren van tritangente vlakken $(H_i, H'_i)$ en hun bijbehorende bitangenten $\ell_i$ te construeren, stellen de auteurs een homogeen lineair systeem op om de onbekende scalairen $\lambda_i$ op te lossen. Dit maakt de expliciete berekening van de matrix die $\phi$ representeert mogelijk.
   • Herstel van Vergelijkingen:
     • De kwadraat $Q$ wordt gevonden als de generator van de kernel van $\phi$ (Lemma 3.5).
     • De kubische $\Gamma_\eta$ wordt hersteld door een rechtse inverse $\psi$ van $\phi$ te construeren en de graad 6 vorm $G = \det(\Delta)$ te berekenen, waarbij $\Delta$ afgeleid is van $\psi$. De kubische $\Gamma_\eta$ is de wortel van $G$ (Propositie 3.7).

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

• Expliciete Formules: Het artikel biedt de eerste gesloten formules voor de vergelijkingen van een generieke genus 4-krom in termen van zijn theta-constanten (Theorem 4.2).
• Algebraïsche Complexiteit: De methode vereist slechts elementaire rekenkunde, worteltrekking en het oplossen van lineaire stelsels van vergelijkingen. Het vermijdt de niet-lineaire algebraïsche systemen die vereist zijn door eerdere methoden (bijv. Lehavi's benadering).
• Afhandeling van Speciale Gevallen: Het kader accommodeert het bielliptische geval (waarbij de Prym-afbeelding factoriseert door een graad 2 afbeelding naar een elliptische krom) en gevallen waarin de krom $X$ hyperelliptisch is (Opmerking 4.5), waarbij de geometrische interpretatie van de bitangenten dienovereenkomstig wordt aangepast.
• Numerieke Implementatie: De auteurs demonstreren de haalbaarheid van de methode over eindige velden (Voorbeeld 5.1) en getallenvelden (Voorbeelden 5.2 en 5.3). In het geval van het getallenveld gebruiken zij floating-point benaderingen van theta-constanten (afgeleid van periodematrices) in combinatie met LLL-roosterreductie om exacte rationale coëfficiënten te herstellen.

Betekenis en Toepassingen
De auteurs positioneren dit werk als een significante vooruitgang in het Schottky-probleem, specifiek voor genus 4. Het vermogen om krommen te reconstrueren uit theta-constanten maakt de expliciete constructie van krommen met speciale rekenkundige eigenschappen mogelijk, zoals:

• Krommen waarvan de Jacobiaanse variëteiten isogeen zijn aan producten van lagere-dimensionale abelse variëteiten.
• Krommen met modulaire Jacobiaanse variëteiten (bijv. geassocieerd met modulaire vormen).
• Krommen met specifieke endomorfieringen of Hodge-tensoren.

Het artikel merkt op dat deze formules al zijn gebruikt in samenhang met invariant-theoretische technieken om nieuwe families van genus 4-krommen van Mumford-type te ontdekken, wat de eerste voorbeelden van Shimura-families is die niet van het PEL-type zijn. De methode wordt gepresenteerd als een praktisch instrument voor de rekenkunde en complexe geometrie, waardoor de exploratie mogelijk wordt van voorbeelden die voorheen ontoegankelijk waren voor bestaande numerieke of symbolische methoden.

Beperkingen en Toekomstig Werk
De auteurs erkennen dat de methode afhankelijk is van de generieke aard van de krom; specifieke degeneraties (bijv. het verdwijnen van noemers in de tritangente formules of het falen van de lineaire onafhankelijkheid van producten $H_i H'_i$) kunnen het kiezen van een ander 2-torsiepunt $\eta$ vereisen. Het artikel concludeert met een discussie over de generalisatie naar hogere genera ($g \geq 5$), waarbij wordt opgemerkt dat hoewel de lineaire algebraïsche structuur standhoudt voor $g=5$, het herstel van Jacobian nullwaarden als rationale functies van theta-constanten een open probleem blijft voor $g \geq 6$.