Equations of genus $4$ curves from their theta constants

Resumo Técnico: Equações de Curvas de Gênero 4 a partir de suas Constantes de Theta

Enunciado do Problema
O objetivo primário deste trabalho é fornecer fórmulas explícitas e fechadas para recuperar as equações de uma curva genérica de gênero 4 $C$ sobre um corpo algebricamente fechado $k$ (de característica 0 ou $p$ suficientemente grande), dados apenas os valores de suas constantes algébricas de theta. Embora o problema de reconstruir curvas a partir de constantes de theta tenha sido resolvido para o gênero 2 (Rosenhain) e o gênero 3 (Aronhold–Weber), o caso do gênero 4 apresenta dificuldades únicas. Diferente dos gêneros inferiores, o espaço de módulos de curvas de gênero 4 com uma estrutura de nível 2 completa não é conhecido por ser uniracional, e nem toda variedade abeliana primamente polarizada (p.p.a.v.) de dimensão 4 é uma Jacobiana (uma condição governada pelo desaparecimento da forma modular de Schottky). Abordagens anteriores, como as de Lehavi, frequentemente exigiam a resolução de sistemas não lineares para todos os 255 pontos de torção de ordem 2 não triviais, tornando-as computacionalmente ineficientes para a reconstrução explícita.

Metodologia
Os autores empregam a abordagem Schottky–Jung, aproveitando a construção de Prym e resultados geométricos clássicos concernentes a simetróides cúbicas. O método procede através dos seguintes passos lógicos:

1. Mapa Canônico de Prym e Simetróides: Para uma curva de gênero 4 não hiperelíptica genérica $C$ e um ponto de torção 2 não trivial $\eta \in \text{Jac}(C)[2]$, o mapa canônico de Prym $\phi_\eta: C \to \mathbb{P}^2$ mapeia $C$ para uma séxtica plana singular. A imagem do embutimento canônico de $C$ em $\mathbb{P}^3$ é recuperada como a interseção de uma quádrica $Q$ e uma simetróide cúbica $\Gamma_\eta$. O Teorema 2.5 estabelece uma bijeção entre pontos de torção 2 não nulos e simetróides cúbicas irredutíveis que contêm a imagem canônica.

2. Mapas Lineares e Bijeção de Milne: A reconstrução central baseia-se em um mapa linear $\phi: V_{C,\eta} \to S^2 H^0(C, \Omega_C(\eta))$, onde $V_{C,\eta}$ é um subespaço específico de formas quadráticas. Este mapa está ligado à bijeção de Milne (Teorema 2.10), que relaciona pares de planos tritangentes de $C$ que diferem por $\eta$ a bitangentes de uma curva de gênero 3 $X$ (a variedade de Prym).

   • A equação $\phi(HH') = \lambda \ell^2$ conecta o produto de planos tritangentes $H, H'$ em $C$ ao quadrado de uma linha bitangente $\ell$ em $X$.
   • As bitangentes de $X$ são computadas usando as fórmulas clássicas de Aronhold–Weber aplicadas às constantes de theta de $X$, que são derivadas das de $C$ via relações de Schottky–Jung.

3. Computação Explícita via Constantes de Theta:

   • Planos Tritangentes: Os autores utilizam uma identidade de derivada de Jacobi generalizada (Teorema 2.15) para expressar as equações dos planos tritangentes puramente em termos de constantes de theta. Eles selecionam um conjunto auxiliar específico de características de theta ímpares (Lema 3.1) para garantir que os valores nulos jacobianos possam ser expressos como polinômios em constantes de theta.
   • Resolvendo para $\phi$: Ao construir 10 pares de planos tritangentes $(H_i, H'_i)$ e suas correspondentes linhas bitangentes $\ell_i$, os autores estabelecem um sistema linear homogêneo para resolver para os escalares desconhecidos $\lambda_i$. Isso permite a computação explícita da matriz que representa $\phi$.
   • Recuperando Equações:
     • A quádrica $Q$ é encontrada como o gerador do núcleo de $\phi$ (Lema 3.5).
     • A cúbica $\Gamma_\eta$ é recuperada construindo uma pseudo-inversa à direita $\psi$ de $\phi$ e computando uma forma de grau 6 $G = \det(\Delta)$, onde $\Delta$ é derivado de $\psi$. A cúbica $\Gamma_\eta$ é a raiz quadrada de $G$ (Proposição 3.7).

Contribuições Principais e Resultados

• Fórmulas Explícitas: O artigo fornece as primeiras fórmulas fechadas para as equações de uma curva de gênero 4 genérica em termos de suas constantes de theta (Teorema 4.2).
• Complexidade Algébrica: O método requer apenas aritmética elementar, extração de raiz quadrada e a resolução de sistemas de equações lineares. Ele evita os sistemas algébicos não lineares exigidos por métodos anteriores (ex: abordagem de Lehavi).
• Tratamento de Casos Especiais: O arcabouço acomoda o caso bielíptico (onde o mapa de Prym fatora através de um mapa de grau 2 para uma curva elíptica) e casos onde a curva $X$ é hiperelíptica (Observação 4.5), ajustando a interpretação geométrica das bitangentes adequadamente.
• Implementação Numérica: Os autores demonstram a viabilidade do método sobre corpos finitos (Exemplo 5.1) e corpos numéricos (Exemplos 5.2 e 5.3). No caso de corpos numéricos, eles utilizam aproximações de ponto flutuante de constantes de theta (derivadas de matrizes de período) combinadas com redução de rede LLL para recuperar coeficientes racionais exatos.

Significância e Aplicações
Os autores posicionam este trabalho como um avanço significativo no problema de Schottky, especificamente para o gênero 4. A capacidade de reconstruir curvas a partir de constantes de theta permite a construção explícita de curvas com propriedades aritméticas especiais, tais como:

• Curvas cujas Jacobianas são isógenas a produtos de variedades abelianas de dimensões menores.
• Curvas com Jacobianas modulares (ex: associadas a formas modulares).
• Curvas com anéis de endomorfismos ou tensores de Hodge específicos.

O artigo observa que estas fórmulas já foram utilizadas em conjunto com técnicas de teoria de invariantes para descobrir novas famílias de curvas de gênero 4 do tipo Mumford, fornecendo os primeiros exemplos de famílias Shimura que não são do tipo PEL. O método é apresentado como uma ferramenta prática para a geometria aritmética e complexa, permitindo a exploração de exemplos anteriormente inacessíveis aos métodos numéricos ou simbólicos existentes.

Limitações e Trabalho Futuro
Os autores reconhecem que o método depende de a curva ser genérica; degenerações específicas (ex: desaparecimento de denominadores nas fórmulas de tritangentes ou falha da independência linear dos produtos $H_i H'_i$) podem exigir a escolha de um ponto de torção 2 diferente $\eta$. O artigo conclui discutindo a generalização para gêneros mais altos ($g \geq 5$), observando que, embora a estrutura algébrica linear persista para $g=5$, a recuperação de valores nulos jacobianos como funções racionais de constantes de theta permanece um problema aberto para $g \geq 6$.