Equations of genus $4$ curves from their theta constants

Resumen Técnico: Ecuaciones de Curvas de Género 4 a partir de sus Constantes Theta

Planteamiento del Problema
El objetivo principal de este trabajo es proporcionar fórmulas explícitas y cerradas para recuperar las ecuaciones de una curva genérica de género 4 $C$ sobre un cuerpo algebraicamente cerrado $k$ (de característica 0 o de una $p$ suficientemente grande), dados únicamente los valores de sus constantes algebraicas theta. Si bien el problema de reconstruir curvas a partir de constantes theta ha sido resuelto para el género 2 (Rosenhain) y el género 3 (Aronhold–Weber), el caso del género 4 presenta dificultades únicas. A diferencia de los géneros inferiores, el espacio de módulos de curvas de género 4 con una estructura de nivel 2 completa no es conocido por ser uniráional, y no toda variedad abeliana principalmente polarizada (p.p.a.v.) de dimensión 4 es una Jacobiana (una condición gobernada por la anulación de la forma modular de Schottky). Los enfoques previos, como los de Lehavi, a menudo requerían resolver sistemas no lineales para todos los 255 puntos de torsión dos no triviales, lo que resultaba computacionalmente ineficiente para la reconstrucción explícita.

Metodología
Los autores emplean el enfoque Schottky–Jung, aprovechando la construcción de Prym y resultados geométricos clásicos relativos a los simetroides cúbicos. El método procede a través de los siguientes pasos lógicos:

1. Mapa Canónico de Prym y Simetroides: Para una curva de género 4 genérica no hiperelíptica $C$ y un punto de torsión 2 no trivial $\eta \in \text{Jac}(C)[2]$, el mapa canónico de Prym $\phi_\eta: C \to \mathbb{P}^2$ mapea $C$ a una séxtica plana singular. La imagen de la incrustación canónica de $C$ en $\mathbb{P}^3$ se recupera como la intersección de una cuádrica $Q$ y un simetroide cúbico $\Gamma_\eta$. El Teorema 2.5 establece una biyección entre los puntos de torsión 2 no nulos y los simetroides cúbicos irreducibles que contienen la imagen canónica.

2. Mapas Lineales y la Biyección de Milne: El núcleo de la reconstrucción reside en un mapa lineal $\phi: V_{C,\eta} \to S^2 H^0(C, \Omega_C(\eta))$, donde $V_{C,\eta}$ es un subespacio específico de formas cuadráticas. Este mapa está vinculado a la biyección de Milne (Teorema 2.10), que relaciona pares de planos tritangentes de $C$ que difieren por $\eta$ con líneas bitangentes de una curva de género 3 $X$ (la variedad de Prym).

   • La ecuación $\phi(HH') = \lambda \ell^2$ conecta el producto de planos tritangentes $H, H'$ en $C$ con el cuadrado de una línea bitangente $\ell$ en $X$.
   • Las bitangentes de $X$ se computan utilizando las fórmulas de Aronhold–Weber aplicadas a las constantes theta de $X$, las cuales se derivan de las de $C$ mediante las relaciones de Schottky–Jung.

3. Computación Explícita vía Constantes Theta:

   • Planos Tritangentes: Los autores utilizan una identidad de la derivada de Jacobi generalizada (Teorema 2.15) para expresar las ecuaciones de los planos tritangentes puramente en términos de constantes theta. Seleccionan un conjunto auxiliar específico de características theta impares (Lema 3.1) para asegurar que los valores nulos de la Jacobiana puedan expresarse como polinomios en las constantes theta.
   • Resolución de $\phi$: Mediante la construcción de 10 pares de planos tritangentes $(H_i, H'_i)$ y sus correspondientes bitangentes $\ell_i$, los autores establecen un sistema lineal homogéneo para resolver para los escalares desconocidos $\lambda_i$. Esto permite la computación explícita de la matriz que representa a $\phi$.
   • Recuperación de Ecuaciones:
     • La cuádrica $Q$ se encuentra como el generador del núcleo de $\phi$ (Lema 3.5).
     • El cúbico $\Gamma_\eta$ se recupera construyendo una inversa por la derecha $\psi$ de $\phi$ y computando una forma de grado 6 $G = \det(\Delta)$, donde $\Delta$ se deriva de $\psi$. El cúbico $\Gamma_\eta$ es la raíz cuadrada de $G$ (Proposición 3.7).

Contribuciones Clave y Resultados

• Fórmulas Explícitas: El artículo proporciona las primeras fórmulas cerradas para las ecuaciones de una curva de género 4 genérica en términos de sus constantes theta (Teorema 4.2).
• Complejidad Algebraica: El método requiere únicamente aritmética elemental, extracción de raíces cuadradas y la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Evita los sistemas algebraicos no lineales requeridos por métodos anteriores (por ejemplo, el enfoque de Lehavi).
• Manejo de Casos Especiales: El marco de trabajo acomoda el caso bielíptico (donde el mapa de Prym factoriza a través de un mapa de grado 2 hacia una curva elíptica) y casos donde la curva $X$ es hiperelíptica (Observación 4.5), ajustando la interpretación geométrica de las bitangentes en consecuencia.
• Implementación Numérica: Los autores demuestran la viabilidad del método sobre cuerpos finitos (Ejemplo 5.1) y cuerpos numéricos (Ejemplos 5.2 y 5.3). En el caso de los cuerpos numéricos, utilizan aproximaciones de punto flotante de las constantes theta (derivadas de matrices de periodos) combinadas con la reducción de red LLL para recuperar coeficientes racionales exactos.

Significado y Aplicaciones
Los autores posicionan este trabajo como un avance significativo en el problema de Schottky, específicamente para el género 4. La capacidad de reconstruir curvas a partir de constantes theta permite la construcción explícita de curvas con propiedades aritméticas especiales, tales como:

• Curvas cuyas Jacobianas son isógenas a productos de variedades abelianas de menor dimensión.
• Curvas con Jacobianas modulares (por ejemplo, asociadas a formas modulares).
• Curvas con anillos de endomorfismos o tensores de Hodge específicos.

El artículo señala que estas fórmulas ya han sido utilizadas en conjunto con técnicas de la teoría de invariantes para descubrir nuevas familias de curvas de género 4 de tipo Mumford, proporcionando los primeros ejemplos de familias Shimura que no son de tipo PEL. El método se presenta como una herramienta práctica para la geometría aritmética y compleja, permitiendo la exploración de ejemplos que antes eran inaccesibles para los métodos numéricos o simbólicos existentes.

Limitaciones y Trabajo Futuro
Los autores reconocen que el método depende de que la curva sea genérica; degeneraciones específicas (por ejemplo, la anulación de denominadores en las fórmulas de los tritangentes o el fallo de la independencia lineal de los productos $H_i H'_i$) pueden requerir la elección de un diferente punto de torsión 2 $\eta$. El artículo concluye discutiendo la generalización a géneros más altos ($g \geq 5$), observando que, si bien la estructura de álgebra lineal persiste para $g=5$, la recuperación de los valores nulos de la Jacobiana como funciones racionales de las constantes theta sigue siendo un problema abierto para $g \geq 6$.