Doubly robust estimation with functional outcomes missing at random

Titolo: Stima Robusta Doppia per Risultati Funzionali con Dati Mancanti

1. Il Problema

Il lavoro affronta la sfida statistica di stimare la media di risultati funzionali (ossia funzioni continue, come traiettorie di reddito o movimenti corporei) in presenza di dati mancanti.

• Contesto: In molti studi (es. analisi di traiettorie di reddito o movimenti umani), l'intero profilo funzionale non è osservato per tutti gli individui a causa di non-risposta, abbandono dello studio o nel contesto dell'inferenza causale (risultati controfattuali non osservabili).
• Assunzione: Si assume che il meccanismo di mancata osservazione dipenda solo dalle covariate osservate (Missing At Random - MAR).
• Limitazione della letteratura esistente: La letteratura attuale sui dati funzionali frammentati si concentra spesso sulla ricostruzione di parti mancanti di una funzione senza utilizzare covariate, mentre la letteratura sui dati mancanti per variabili scalari non è direttamente applicabile a oggetti infinitamente dimensionali come le funzioni.

2. Metodologia

Gli autori propongono e studiano due stimatori semi-parametrici per la media funzionale $\mu_y = E(Y)$:

1. Stimatore di Regressione sul Risultato (Outcome Regression - OR):

   • Modella la relazione tra il risultato funzionale $Y$ e le covariate $x$ tramite una regressione lineare funzionale: $Y_i = x_i^\top \beta + \epsilon_i$.
   • I valori mancanti vengono imputati utilizzando le previsioni del modello di regressione.
   • Formula: $\hat{\mu}_{OR} = n^{-1} \sum_{i=1}^n x_i^\top \hat{\beta}$.

2. Stimatore Robusto Doppio (Doubly Robust - DR):

   • Combina il modello di regressione sul risultato (OR) con un modello per la probabilità di osservazione (propensity score), tipicamente una regressione logistica: $\tau(x_i^\top \gamma) = P(Z_i=1|x_i)$.
   • Formula: $\hat{\mu}_{DR} = n^{-1} \sum_{i=1}^n \left( x_i^\top \hat{\beta} + \frac{Z_i}{\tau(x_i^\top \hat{\gamma})} (Y_i - x_i^\top \hat{\beta}) \right)$.
   • Proprietà chiave: Questo stimatore è "doppio robusto": è consistente e asintoticamente normale se almeno uno dei due modelli (quello per il risultato o quello per il meccanismo di mancata osservazione) è correttamente specificato.

Approccio Teorico:
Poiché le funzioni sono oggetti a dimensione infinita, gli autori adottano una strategia in due fasi per derivare la distribuzione asintotica:

1. Discretizzazione: Considerano una discretizzazione finita del dominio funzionale per ottenere distribuzioni multivariate normali.
2. Compattezza (Tightness): Dimostrano la compattezza degli stimatori funzionali per estendere i risultati al dominio continuo, utilizzando il Teorema di Prohorov.

3. Contributi Chiave

• Distribuzioni Limite Gaussiane: Gli autori dimostrano che entrambi gli stimatori (OR e DR) convergono a processi gaussiani quando la dimensione del campione tende all'infinito. Forniscono espressioni esplicite per le loro funzioni di covarianza, un risultato assente nella letteratura precedente per questo contesto.
• Robustezza Doppia Funzionale: Stabiliscono che lo stimatore DR mantiene la sua distribuzione limite (processo gaussiano con tasso di convergenza $\sqrt{n}$) anche se solo uno dei due modelli di disturbo (nuisance models) è corretto.
• Bande di Confidenza Simultanee: Sfruttando le distribuzioni limite e le funzioni di covarianza derivate, gli autori propongono la costruzione di bande di confidenza simultanee (SCB) per l'intera funzione media. Queste bande garantiscono un livello di copertura asintotico su tutto il dominio, permettendo anche inferenze locali.
• Validazione Empirica: Un'analisi di Monte Carlo conferma le proprietà in campioni finiti e la validità delle bande di confidenza.

4. Risultati

• Studio di Simulazione (Monte Carlo):
  • Le simulazioni sono state condotte con errori gaussiani e distribuzioni t multivariate (per testare la robustezza rispetto all'assunzione di differenziabilità).
  • Copertura: Le bande di confidenza simultanee basate sugli stimatori DR e OR mostrano una copertura empirica vicina al livello nominale (95%) quando almeno un modello è corretto.
  • Robustezza: Quando entrambi i modelli sono specificati erroneamente, la copertura crolla (come atteso), ma lo stimatore DR rimane robusto se uno solo dei modelli è corretto.
  • Confronto: Lo stimatore DR supera l'analisi dei casi completi (che ignora i dati mancanti) riducendo drasticamente il bias e l'errore quadratico medio (MSE).
• Applicazione Reale:
  • Domanda controfattuale: "Qual sarebbe stata la traiettoria media del reddito di vita per una coorte svedese nata nel 1954 se tutti avessero vissuto in una grande regione del mercato del lavoro all'età di 20 anni?"
  • Risultato: L'uso dello stimatore DR ha rivelato che le stime naive (basate solo su chi viveva già nelle grandi città) sovrastimavano il reddito nei primi anni ma sottostimavano l'accumulo di reddito dopo i 30 anni. Le bande di confidenza hanno permesso di identificare statisticamente queste differenze nel tempo.

5. Significato e Implicazioni

Questo lavoro colma un vuoto significativo nell'intersezione tra analisi di dati funzionali e inferenza causale/dati mancanti.

• Inferenza Causale: Fornisce un metodo rigoroso per stimare effetti causali su esiti complessi e continui (come traiettorie di vita) utilizzando dati osservazionali, gestendo il bias di selezione.
• Inferenza Simultanea: La capacità di costruire bande di confidenza simultanee con copertura garantita è cruciale per interpretare dinamiche temporali o spaziali senza inflazionare il tasso di errore di Tipo I, un problema comune quando si analizzano curve punto per punto.
• Flessibilità: La metodologia è applicabile a vari settori, dall'economia (traiettorie di reddito) alla medicina (movimenti corporei, segnali fisiologici), offrendo strumenti robusti contro la specificazione errata dei modelli.

In sintesi, il paper fornisce un quadro teorico solido e strumenti pratici per analizzare dati funzionali incompleti, garantendo inferenze statistiche valide e robuste in scenari reali complessi.