📊 statistics

Doubly robust estimation with functional outcomes missing at random

Cet article propose et étudie des estimateurs semi-paramétriques doublement robustes pour la moyenne de résultats fonctionnels manquants au hasard, établissant leur convergence vers des processus gaussiens afin de construire des bandes de confiance simultanées avec une couverture asymptotique garantie.

Auteurs originaux : Xijia Liu, Kreske Felix Ecker, Lina Schelin, Xavier de Luna

Publié 2026-02-25

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CC BY 4.0

Auteurs originaux : Xijia Liu, Kreske Felix Ecker, Lina Schelin, Xavier de Luna

Article original sous licence CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Ceci est une explication générée par l'IA de l'article ci-dessous. Elle n'a pas été rédigée ni approuvée par les auteurs. Pour une précision technique, consultez l'article original. Lire la clause de non-responsabilité complète

🎯 Le Problème : Le Puzzle Manquant

Imaginez que vous essayez de reconstruire le trajet complet d'une vie (par exemple, le revenu annuel d'une personne de 20 à 60 ans). Ce trajet n'est pas un simple chiffre, c'est une courbe continue, comme une ligne de montagne qui dessine l'évolution de la richesse.

Le problème ? Pour certaines personnes, cette courbe est incomplète.

Soit elles ont quitté l'étude (abandon).
Soit elles n'ont pas répondu à l'enquête.
Soit, dans le cas de la recherche, on veut savoir ce qui se serait passé si elles avaient vécu ailleurs (une question "contrefactuelle").

Dans la statistique classique, si on ignore ces courbes manquantes et qu'on ne regarde que celles qu'on a, on se fait avoir. C'est comme essayer de deviner la météo de toute la France en regardant uniquement le ciel de Paris : vous allez rater les orages ailleurs. C'est ce qu'on appelle un biais.

🛠️ La Solution : Les Deux Ingénieurs (OR et DR)

Les auteurs proposent deux méthodes (des "estimateurs") pour deviner la forme complète de ces courbes manquantes en utilisant d'autres informations disponibles (l'âge, le sexe, l'éducation, etc.).

1. L'Ingénieur "Prévisionnel" (Estimateur OR - Outcome Regression)

Imaginez un expert météo qui dit : "Je connais le profil de cette personne (son éducation, son origine), donc je vais deviner son revenu futur en me basant sur la moyenne des gens qui lui ressemblent."

Le principe : On crée un modèle de prédiction. Si la personne manque, on lui "remplit" sa courbe avec la prédiction du modèle.
Le risque : Si le modèle de l'expert est mauvais (par exemple, il a oublié un facteur important comme "avoir un diplôme"), toute la prédiction sera fausse.

2. L'Ingénieur "Double Sécurité" (Estimateur DR - Doubly Robust)

C'est la grande innovation de ce papier. Imaginez maintenant un système de sécurité à deux verrous.

Verrou 1 : L'expert météo (le modèle de prédiction du revenu).
Verrou 2 : Un détective (le modèle de "pourquoi" les données manquent). Il analyse pourquoi certaines personnes n'ont pas répondu. "Ah, ce sont surtout les gens de telle région qui n'ont pas répondu."

La magie de la "Robustesse Double" :
Ce système est conçu pour réussir même si l'un des deux experts se trompe.

Si le modèle de prédiction est mauvais, mais que le détective a bien compris pourquoi les données manquent, le résultat est correct.
Si le détective se trompe sur les raisons de l'absence, mais que le modèle de prédiction est parfait, le résultat est aussi correct.
Il faut que les deux se trompent en même temps pour que le système échoue. C'est comme avoir deux parachutes : si l'un ne s'ouvre pas, l'autre vous sauve.

🌊 L'Innovation Mathématique : La Vague de Confiance

Jusqu'à présent, ces méthodes fonctionnaient bien pour des chiffres simples (un revenu moyen). Mais ici, on a des courbes entières.

Les auteurs ont prouvé mathématiquement que ces estimateurs fonctionnent comme une vague de Gauss (une cloche de probabilité) qui se déplace le long de la courbe.

Pourquoi est-ce génial ? Cela leur permet de dessiner des bandes de confiance simultanées.
L'analogie : Au lieu de dire "Je suis sûr à 95% que le revenu à 30 ans est entre 20k et 25k", ils disent : "Je suis sûr à 95% que la courbe entière, de 20 à 60 ans, reste entièrement à l'intérieur de cette zone ombragée."
C'est comme tracer un couloir de sécurité autour de la courbe. Tant que la vraie courbe reste dans le couloir, on est tranquille.

🇸🇪 L'Application Réelle : Le Cas Suédois

Pour tester leur méthode, les auteurs ont utilisé des données réelles suédoises.

La question : "Si tous les Suédois nés en 1954 avaient vécu dans une grande ville (comme Stockholm) à l'âge de 20 ans, comment aurait été leur trajectoire de revenus ?"
Le défi : On ne connaît le revenu réel que pour ceux qui vivaient déjà dans ces grandes villes. Pour ceux qui vivaient à la campagne, c'est une réalité "contrefactuelle" (qui n'a pas eu lieu).
Le résultat : En utilisant leur méthode "Double Sécurité", ils ont pu reconstruire cette trajectoire hypothétique. Ils ont découvert que la méthode naïve (regarder seulement les citadins) surestimait les revenus au début de la carrière, mais les sous-estimait plus tard.

📊 Conclusion Simple

Ce papier nous dit :

Quand on a des données manquantes (des courbes de vie incomplètes), ne jetez pas tout !
Utilisez la méthode "Double Sécurité" (Doubly Robust). Elle est résistante aux erreurs de modélisation.
Grâce à leurs nouvelles formules mathématiques, on peut maintenant tracer des zones de sécurité autour de ces courbes reconstruites, en étant certain qu'elles contiennent la vérité, même avec des données imparfaites.

C'est une boîte à outils puissante pour les économistes, les sociologues et les médecins qui veulent comprendre des trajectoires de vie complexes sans être bloqués par des données manquantes.

1. Problématique et Contexte

L'article aborde le problème de l'estimation de la moyenne de résultats fonctionnels (des courbes ou des fonctions définies sur un domaine continu, par exemple des trajectoires de revenus ou des mouvements humains) lorsque certaines de ces fonctions sont manquantes pour une partie des unités de l'échantillon.

Données : On observe un échantillon $(Y_i, x_i, Z_i)$ où $Y_i$ est une variable aléatoire à valeurs dans $L^2([0, 1], \mathbb{R})$ (le résultat fonctionnel), $x_i$ est un vecteur de covariables observées pour toutes les unités, et $Z_i$ est un indicateur binaire ($1$ si $Y_i$ est observé, $0$ sinon).
Hypothèse : Le mécanisme de manquance est supposé être au hasard (Missing At Random - MAR), c'est-à-dire que la probabilité qu'une donnée soit manquante dépend uniquement des covariables observées $x_i$ et non de la valeur de $Y_i$ elle-même : $P(Z_i=1 | x_i, Y_i) = P(Z_i=1 | x_i)$ .
Défi spécifique : Contrairement aux données fonctionnelles fragmentées (où seule une partie du domaine est manquante), ici, la fonction entière est manquante pour certains individus. La littérature existante sur les estimateurs doubles robustes (DR) concerne principalement des résultats scalaires, et son extension aux résultats fonctionnels pose des défis théoriques majeurs liés à la dimension infinie.

2. Méthodologie

Les auteurs proposent et étudient deux estimateurs semi-paramétriques basés sur des modèles de travail (working models) :

Modèle de régression des résultats (Outcome Regression - OR) :
- Un modèle linéaire fonctionnel : $Y_i = x_i^\top \beta + \epsilon_i$ .
- L'estimateur $\hat{\mu}_{OR}$ impute les valeurs manquantes en utilisant les prédictions du modèle de régression ajusté sur les données observées.
Estimateur Doublement Robuste (Doubly Robust - DR) :
- Il combine le modèle de régression des résultats (ci-dessus) et un modèle pour la probabilité de manquance (modèle de propension), généralement une régression logistique : $\tau(x_i^\top \gamma) = P(Z_i=1|x_i)$ .
- La formule de l'estimateur est :
  $\hat{\mu}_{DR} = n^{-1} \sum_{i=1}^n \left( x_i^\top \hat{\beta} + \frac{Z_i}{\tau(x_i^\top \hat{\gamma})} (Y_i - x_i^\top \hat{\beta}) \right)$
- Ce terme de correction pondère les résidus par l'inverse de la probabilité de manquance.

Stratégie d'inférence asymptotique :
Pour établir les propriétés asymptotiques dans un espace de dimension infinie (Hilbert), les auteurs utilisent une stratégie en deux étapes :

Discrétisation : Ils considèrent d'abord une discrétisation finie du domaine fonctionnel pour obtenir des estimateurs multivariés. Ils déduisent les distributions asymptotiques conjointes en utilisant la théorie des estimateurs M.
Tightness (Serrage) : Ils démontrent la tightness (serrage) des mesures de probabilité pour les estimateurs fonctionnels complets en utilisant le théorème de Prohorov. Cela permet de passer de la convergence des distributions finies à la convergence vers un processus gaussien.

3. Contributions Clés

Distributions Limites Fonctionnelles : Les auteurs établissent que les estimateurs OR et DR, une fois re-scalés par $\sqrt{n}$ , convergent vers des processus gaussiens centrés. Ils fournissent des expressions explicites pour leurs fonctions de covariance.
Propriété de Double Robustesse Fonctionnelle : Ils prouvent que l'estimateur DR conserve sa propriété de double robustesse dans le contexte fonctionnel : la distribution limite (processus gaussien) est valide tant que l'un au moins des deux modèles de travail (régression des résultats ou modèle de propension) est correctement spécifié.
Bandes de Confiance Simultanées (SCB) : Grâce à la connaissance de la fonction de covariance asymptotique, ils proposent la construction de bandes de confiance simultanées pour la fonction de moyenne $\mu_y(t)$ . Contrairement aux intervalles de confiance ponctuels, ces bandes garantissent un niveau de couverture global sur tout le domaine $[0, 1]$ . Ils utilisent une méthode "fast and fair" (rapide et équitable) basée sur une fonction de valeur critique adaptative.

4. Résultats

Les résultats sont validés par une étude de simulation de Monte Carlo et une application réelle.

Étude de Simulation :
- Des données sont générées avec des erreurs gaussiennes et des erreurs suivant une loi $t$ multivariée (pour tester la robustesse à la non-différentiabilité).
- Couverture : Les bandes de confiance simultanées (SCB) atteignent le niveau de couverture nominal (95%) dans la plupart des scénarios, y compris lorsque l'un des modèles est mal spécifié (confirmant la double robustesse).
- Comparaison : Les estimateurs DR et OR (lorsque le modèle de résultat est correct) surperforment largement l'analyse des cas complets (naïve), qui présente un biais important et une couverture très faible (proche de 0% dans certains cas) due au biais de sélection.
- Robustesse : Même avec des erreurs $t$ (violant l'hypothèse de différentiabilité continue), les bandes de confiance fonctionnent bien empiriquement.
Application Empirique :
- Question contrefactuelle : Quelle aurait été la trajectoire de revenu de vie moyenne pour une cohorte suédoise née en 1954 si tous avaient vécu dans une grande région du marché du travail à l'âge de 20 ans ?
- Résultat : L'estimation DR montre que l'estimation naïve (basée uniquement sur ceux qui vivaient déjà dans les grandes villes) surestime les revenus au début de la carrière mais les sous-estime plus tard. Les bandes de confiance simultanées mettent en évidence les périodes où les différences sont statistiquement significatives.

5. Signification et Impact

Cet article est une contribution majeure à l'intersection de l'analyse de données fonctionnelles et de l'inférence causale (ou des données manquantes).

Théorique : Il comble un vide théorique en fournissant la distribution limite (processus gaussien) et les fonctions de covariance pour les estimateurs doubles robustes appliqués à des résultats fonctionnels, ce qui n'était pas disponible dans la littérature précédente.
Pratique : Il offre un outil rigoureux pour l'inférence simultanée. Les chercheurs peuvent désormais non seulement estimer une courbe moyenne, mais aussi quantifier l'incertitude sur l'ensemble de la courbe avec une garantie de couverture, ce qui est crucial pour interpréter les effets dynamiques dans le temps (ex: évolution des revenus, trajectoires de mouvement).
Robustesse : La méthode offre une sécurité supplémentaire grâce à la propriété de double robustesse, réduisant le risque de conclusions erronées dues à une mauvaise spécification de l'un des modèles (résultat ou propension).

En résumé, l'article propose une méthodologie complète, théoriquement fondée et empiriquement validée, pour analyser des courbes complètes lorsque des données sont manquantes, avec des applications directes en économie, épidémiologie et sciences sociales.