Doubly robust estimation with functional outcomes missing at random

Título: Estimativa Duplamente Robusta com Resultados Funcionais Ausentes ao Acaso

Autores: Xijia Liu, Kreske Ecker, Lina Schelin e Xavier de Luna (Universidade de Umeå, Suécia).

1. O Problema

O artigo aborda o desafio estatístico de estimar a média de resultados funcionais (ou seja, dados que são funções contínuas, como trajetórias de renda ao longo da vida ou movimentos corporais) quando essas funções não são observadas para todos os indivíduos em um estudo.

• Contexto de Dados Ausentes: A ausência de dados pode ocorrer devido a não-respostas em pesquisas, desistência em estudos longitudinais ou, no contexto de inferência causal, devido à natureza contrafactual (ex: não observamos a trajetória de renda de alguém que viveu em uma pequena região caso ele tivesse vivido em uma grande região).
• Suposição: O trabalho assume o mecanismo de Ausência ao Acaso (Missing at Random - MAR), onde a probabilidade de um resultado estar ausente depende apenas de covariáveis observadas ($X$) e não do próprio resultado ($Y$).
• Limitação da Literatura Existente: A literatura sobre dados funcionais fragmentados geralmente foca em reconstruir partes faltosas de uma função usando apenas outras partes observadas da mesma função, sem considerar covariáveis. Por outro lado, a literatura sobre dados ausentes para resultados escalares (números únicos) é vasta, mas não se aplica diretamente a objetos funcionais infinitos.

2. Metodologia

Os autores propõem e estudam dois estimadores semiparamétricos para a média funcional $\mu_y = E(Y)$:

1. Estimador de Regressão de Resultados (Outcome Regression - OR):

   • Modela a relação entre o resultado funcional e as covariáveis: $Y_i = x_i^\top \beta + \epsilon_i$.
   • Imputa os valores ausentes usando as previsões do modelo de regressão.
   • Fórmula: $\hat{\mu}_{OR} = n^{-1} \sum_{i=1}^n x_i^\top \hat{\beta}$.

2. Estimador Duplamente Robusto (Doubly Robust - DR):

   • Combina o modelo de regressão de resultados com um modelo para a probabilidade de observação (mecanismo de missingness), tipicamente uma regressão logística: $\tau(x_i^\top \gamma) = P(Z_i=1|x_i)$.
   • O estimador DR é definido como uma correção do estimador OR ponderada pela probabilidade inversa de observação.
   • Fórmula: $\hat{\mu}_{DR} = n^{-1} \sum_{i=1}^n \left( x_i^\top \hat{\beta} + \frac{Z_i}{\tau(x_i^\top \hat{\gamma})}(Y_i - x_i^\top \hat{\beta}) \right)$.

Abordagem Teórica:
Para lidar com a natureza de dimensão infinita dos dados funcionais, os autores utilizam uma estratégia de dois passos baseada no Teorema de Prohorov:

1. Discretização: Consideram distribuições de dimensão finita (discretizando o domínio da função) e derivam as distribuições assintóticas multivariadas normais para os estimadores.
2. Tightness (Estreitamento): Demonstram a "tightness" (propriedade de compactação) dos estimadores funcionais, permitindo estender os resultados para o processo estocástico completo.
3. Resultado Final: Estabelecem que ambos os estimadores convergem para Processos Gaussianos.

3. Principais Contribuições

• Propriedade de Dupla Robustez Funcional: O artigo prova que o estimador DR para dados funcionais mantém sua distribuição assintótica (Processo Gaussiano com taxa de convergência $\sqrt{n}$) e consistência se pelo menos um dos dois modelos de incômodo (modelo de resultado OU modelo de propensão/mecanismo de missingness) estiver corretamente especificado.
• Funções de Covariância Explícitas: Diferente de trabalhos anteriores que propunham esquemas de reamostragem (bootstrap) para inferência, este trabalho fornece expressões analíticas explícitas para as funções de covariância dos estimadores OR e DR.
• Bandas de Confiança Simultâneas: Com base nas distribuições assintóticas e nas funções de covariância derivadas, os autores propõem a construção de Bandas de Confiança Simultâneas (SCB) para a função média. Essas bandas garantem uma cobertura assintótica (ex: 95%) sobre todo o domínio da função, permitindo inferências locais e globais.
• Validação em Dados Reais: Aplicação do método para responder a uma pergunta contrafactual sobre trajetórias de renda na Suécia.

4. Resultados

• Estudo de Simulação (Monte Carlo):
  • Foram realizados experimentos com tamanhos de amostra variando de 250 a 3000, com erros gerados por processos Gaussianos e distribuições t multivariadas (para testar robustez a não-diferenciabilidade).
  • Cobertura: As bandas de confiança simultâneas baseadas no estimador DR atingiram a cobertura nominal (95%) em cenários onde pelo menos um modelo estava correto.
  • Viés: Quando ambos os modelos estavam incorretos, o estimador DR apresentou viés, mas este foi menor do que o viés do estimador de "casos completos" (que ignora os dados ausentes).
  • Robustez: O método funcionou bem mesmo quando os erros violavam a suposição de diferenciabilidade contínua (caso t-distribuído), embora a teoria formal assumisse diferenciabilidade.
• Aplicação Empírica (Trajetória de Renda):
  • Analisaram uma coorte sueca nascida em 1954 para estimar a trajetória média de renda se todos tivessem vivido em grandes regiões de mercado de trabalho aos 20 anos.
  • A comparação entre o estimador DR e a média simples dos observados mostrou que a estimativa ingênua (apenas casos observados) superestimava a renda nos primeiros anos e subestimava a renda acumulada posteriormente. As bandas de confiança simultâneas permitiram identificar onde essas diferenças eram estatisticamente significativas ao longo do tempo.

5. Significado e Impacto

Este trabalho preenche uma lacuna importante na interseção entre Análise de Dados Funcionais e Inferência Causal/Estatística com Dados Ausentes.

• Avance Teórico: Ao fornecer a distribuição assintótica e as funções de covariância para estimadores DR funcionais, o artigo elimina a necessidade de métodos computacionalmente intensivos de reamostragem para inferência, tornando o processo mais eficiente.
• Aplicabilidade Prática: A capacidade de construir bandas de confiança simultâneas permite que pesquisadores não apenas estimem a média funcional, mas também avaliem a significância estatística de diferenças em sub-períodos específicos do domínio (ex: "a renda é significativamente maior entre os 30 e 40 anos?").
• Inferência Causal: O método oferece uma ferramenta robusta para estudos observacionais onde o desfecho é uma função complexa e há dados ausentes, permitindo responder a perguntas contrafactuais com garantias estatísticas rigorosas.

Em resumo, o artigo estabelece uma base teórica sólida e métodos práticos para lidar com dados funcionais incompletos, garantindo inferências válidas mesmo na presença de modelagem imperfeita dos mecanismos de dados ausentes ou do processo de resultado.