Doubly robust estimation with functional outcomes missing at random

Aquí presento un resumen técnico detallado del artículo "Doubly robust estimation with functional outcomes" (Estimación doblemente robusta con resultados funcionales), escrito por Xijia Liu, Kreske Ecker, Lina Schelin y Xavier de Luna.

1. Planteamiento del Problema

El artículo aborda el desafío estadístico de estimar la media de resultados funcionales (variables que son funciones enteras, como trayectorias de ingresos a lo largo del tiempo o movimientos corporales) cuando una parte de estas observaciones está ausente.

• Contexto: En muchos estudios (encuestas, seguimiento longitudinal o inferencia causal), los datos funcionales completos no se observan para todas las unidades.
• Suposición Clave: Se asume que el mecanismo de ausencia es aleatorio dado los covariables (Missing at Random - MAR). Esto significa que la probabilidad de que un resultado falte depende únicamente de las covariables observadas ($X$) y no del valor del resultado faltante ($Y$) en sí.
• Diferencia con la literatura existente: A diferencia de los datos funcionales fragmentados (donde se observan partes de la función en diferentes dominios), aquí la función completa falta para ciertos individuos. Además, la literatura tradicional sobre datos fragmentados a menudo ignora las covariables, mientras que este trabajo las integra explícitamente.

2. Metodología

Los autores proponen y estudian dos estimadores semiparamétricos basados en modelos de trabajo para la regresión de resultados y el mecanismo de ausencia:

A. Modelos de Trabajo

1. Modelo de Regresión de Resultados (OR): Modela la relación entre la función $Y_i$ y las covariables $x_i$:
   $$Y_i = x_i^\top \beta + \epsilon_i$$
   Donde $\beta$ son funciones no estocásticas y $\epsilon_i$ es un elemento aleatorio en $L^2$.
2. Modelo de Propensión (Mecanismo de Ausencia): Modela la probabilidad de observar el resultado mediante regresión logística:
   $$\tau(x_i^\top \gamma) = \text{Pr}(Z_i = 1 | x_i)$$
   Donde $Z_i=1$ si el resultado es observado.

B. Los Estimadores Propuestos

1. Estimador de Regresión de Resultados (OR): Imputa los valores faltantes utilizando las predicciones del modelo de regresión.
   $$\hat{\mu}_{OR} = n^{-1} \sum_{i=1}^n x_i^\top \hat{\beta}$$
2. Estimador Doblemente Robusto (DR): Combina la regresión de resultados con una ponderación inversa de la probabilidad de observación (IPW).
   $$\hat{\mu}_{DR} = n^{-1} \sum_{i=1}^n \left( x_i^\top \hat{\beta} + \frac{Z_i}{\tau(x_i^\top \hat{\gamma})} (Y_i - x_i^\top \hat{\beta}) \right)$$

C. Estrategia Teórica para la Distribución Asintótica

Dado que los resultados son objetos de dimensión infinita, los autores desarrollan una estrategia de dos pasos para establecer la distribución límite:

1. Discretización: Consideran distribuciones de dimensión finita (discretizando el dominio $[0,1]$) y demuestran que los estimadores multivariados resultantes son asintóticamente normales utilizando la teoría de estimadores M.
2. Tightness (Apriete): Demuestran la "tightness" de las medidas de probabilidad de los estimadores funcionales reescalados. Esto permite aplicar el Teorema de Prohorov para concluir que la distribución límite del estimador funcional completo es un Proceso Gaussiano.

3. Contribuciones Clave

• Distribución Límite Funcional: Establecen formalmente que tanto el estimador OR como el DR convergen a un Proceso Gaussiano, proporcionando expresiones explícitas para sus funciones de covarianza.
• Propiedad de Doble Robustez Funcional: Demuestran que el estimador DR conserva su propiedad de doble robustez en el contexto funcional: la distribución límite (Proceso Gaussiano con media cero y tasa $\sqrt{n}$) se mantiene válida si al menos uno de los dos modelos de trabajo (regresión de resultados o mecanismo de ausencia) está correctamente especificado.
• Bandas de Confianza Simultáneas: Utilizan los resultados asintóticos (específicamente la función de covarianza derivada) para construir bandas de confianza simultáneas (SCB) para la función media. Estas bandas garantizan una cobertura asintótica del nivel deseado (ej. 95%) sobre todo el dominio de la función, no solo en puntos individuales.
• Inferencia Local y Global: Las bandas permiten tanto inferencias globales como la interpretación de niveles de significancia locales en particiones del dominio.

4. Resultados Empíricos y Simulación

Se realizó un estudio de Monte Carlo para evaluar las propiedades en muestras finitas:

• Escenarios: Se probaron tamaños de muestra ($n=250$ a $3000$) y dos tipos de errores: Gaussiano y distribución t multivariada (para violar suavidad).
• Cobertura de Bandas:
  • Cuando los modelos están bien especificados, las bandas de confianza simultáneas (SCB) alcanzan la cobertura nominal del 95%.
  • El estimador DR mantiene la cobertura correcta incluso si uno de los modelos está mal especificado (ej. si falta el modelo de propensión, pero el de resultados es correcto, y viceversa).
  • Las bandas de confianza puntuales (PCB) mostraron una cobertura muy inferior al nivel nominal, destacando la necesidad de usar bandas simultáneas para evitar falsos positivos.
• Sesgo y MSE: El estimador DR mostró un sesgo negligible cuando al menos un modelo era correcto. En contraste, el estimador "ingenuo" (solo casos completos) presentó un sesgo significativo debido a la ausencia de datos (~30% faltante).
• Robustez: Los resultados se mantuvieron robustos incluso cuando los errores no cumplían estrictamente con la suposición de diferenciabilidad continua (caso de errores t-distribuidos).

5. Aplicación Práctica

El método se aplicó a una pregunta de inferencia causal utilizando datos de cohortes suecas nacidas en 1954:

• Pregunta contrafactual: ¿Cuál sería la trayectoria media de ingresos a lo largo de la vida si todos hubieran vivido en una región de mercado laboral grande a los 20 años?
• Datos: Se compararon individuos que vivían en grandes ciudades (observados) con aquellos en regiones pequeñas (donde el resultado contrafactual es faltante).
• Hallazgo: La estimación ingenua (solo casos observados) sobreestimaba los ingresos en los primeros años y los subestimaba después de los 30 años. El estimador DR corrigió este sesgo, y las bandas de confianza simultáneas permitieron identificar visualmente y estadísticamente dónde existían diferencias significativas en las trayectorias de ingresos.

6. Significado e Impacto

Este trabajo es significativo porque:

1. Extiende la teoría de doble robustez al dominio de los datos funcionales, un área donde la inferencia es compleja debido a la dimensión infinita.
2. Proporciona herramientas de inferencia rigurosas (bandas simultáneas con cobertura garantizada) que son computacionalmente eficientes en comparación con métodos de remuestreo (bootstrapping) tradicionales para datos funcionales.
3. Facilita la inferencia causal en estudios longitudinales con datos funcionales, permitiendo responder preguntas contrafactuales con una cuantificación adecuada de la incertidumbre a lo largo de todo el dominio temporal.

En resumen, el artículo ofrece un marco teórico y práctico sólido para estimar y realizar inferencias sobre medias de funciones cuando los datos están incompletos, garantizando la validez de los resultados incluso ante la posible especificación incorrecta de uno de los modelos auxiliares.