Robust functional PCA for relative data

Sintesi Tecnica: PCA Funzionale Robusta per Dati Relativi

Definizione del Problema
L'Analisi dei Dati Funzionali (FDA) si è tradizionalmente concentrata sulla magnitudo assoluta, ma molti contesti applicativi coinvolgono dati funzionali "relativi", come le funzioni di densità di probabilità (PDF), i tassi di fertilità specifici per età o le curve spettrali. In questi contesti, l'informazione di interesse risiede nel pattern distributivo o nella forma piuttosto che nella scala assoluta. Le tecniche standard di FDA spesso falliscono in questo dominio perché non rispettano la natura composizionale dei dati (vincoli di non-negatività e di integrale unitario).

Sebbene lavori recenti abbiano stabilito il framework dello spazio di Bayes per modellare tali dati come composizioni infinite-dimensional, gli strumenti esistenti di riduzione della dimensionalità all'interno di questo spazio, specificamente la PCA Funzionale Simpliciale (SFPCA), si basano su operatori di covarianza campionari. Questi stimatori standard sono altamente sensibili agli outlier e alle osservazioni anomale. Nei dati relativi, gli outlier si manifestano spesso come anomalie strutturali della forma (ad esempio, ridistribuzioni inaspettate della massa) piuttosto che come semplici deviazioni di magnitudo, rendendo inefficaci sia i metodi tradizionali (progettati per spazi euclidei) sia la SFPCA standard. Esiste una mancanza di metodologie robuste capaci di gestire tali anomalie preservando al contempo la struttura geometrica dello spazio di Bayes.

Metodologia
Il documento propone la PCA delle Densità Robusta (RDPCA), un metodo progettato per stimare i componenti principali funzionali (FPC) per dati di densità in presenza di outlier. La metodologia procede attraverso i seguenti passaggi teorici e algoritmici:

1. Framework dello Spazio di Bayes: Il dato $X$ è modellato come un elemento di uno spazio di Hilbert $B^2(I)$ di densità positive con integrale unitario. L'analisi utilizza la trasformazione del logratio centrato (clr), che mappa lo spazio di Bayes isometricamente in un sottospazio di $L^2(I)$ (funzioni il cui integrale è zero), permettendo l'uso degli strumenti standard degli spazi di Hilbert pur rispettando la natura relativa dei dati.

2. Distanza di Mahalanobis Regolarizzata (RDMD):

   • L'innovazione principale è l'estensione della distanza di Mahalanobis agli spazi di Bayes. In contesti infinite-dimensional, l'operatore di covarianza non è invertibile. Per affrontare questo problema, gli autori definiscono una standardizzazione regolarizzata di una densità $X$ risolvendo un problema di ottimizzazione di tipo Tikhonov:
     $$X^{\alpha, L}_{st} = \arg \min_{Y \in B^2(I)} \left\{ \|C^{1/2}_{B^2,X} Y \ominus X\|^2_{B} + \alpha \|LY\|^2_{B} \right\}$$
     dove $C_{B^2,X}$ è l'operatore di covarianza, $\alpha > 0$ è un parametro di regolarizzazione e $L$ è un operatore di regolarizzazione (ad esempio, un proiettore ortogonale sul complemento dei primi $k$ autovettori).
   • La Distanza di Mahalanobis della Densità Regolarizzata (RDMD) è quindi definita come la norma al quadrato della differenza tra le densità standardizzate: $M^2_{\alpha,k,B^2}(X, Y) = \|X^{\alpha,k}_{st} \ominus Y^{\alpha,k}_{st}\|^2_{B^2}$.
   • Questa distanza generalizza i precedenti concetti di Mahalanobis funzionale (distanze $\alpha$-Mahalanobis e troncate) e tiene conto dei vincoli specifici dei dati di densità.

3. Stima della Covarianza Robusta:

   • Utilizzando la RDMD come misura di centralità, il metodo impiega uno stimatore di covarianza troncato (trimmed). Un sottoinsieme ottimale $H_0$ dei dati viene identificato minimizzando la media dei quadrati della RDMD delle osservazioni nel sottoinsieme.
   • La media e la covarianza robuste vengono calcolate utilizzando solo questo sottoinsieme centrale. Viene applicato un fattore di scala per garantire la coerenza sotto assunzioni gaussiane, sebbene il metodo non richieda strettamente la gaussianità per la stima stessa.

4. Algoritmo (RDPCA):

   • La procedura è iterativa. Alterna la stima della media e della covarianza robuste sul sottoinsieme corrente con la ri-valutazione del sottoinsieme basata sulle RDMD aggiornate fino alla convergenza.
   • Il metodo supporta sia dati discretizzati (approssimati tramite somme integrali) sia rappresentazioni funzionali (proiettate su una base, come gli spline composizionali). La Proposizione 4.1 dimostra che quando i dati sono espressi in una base ortonormale fissa, la RDMD può essere calcolata esattamente utilizzando operazioni matriciali sui coefficienti della base.

Risultati Chiave
Le prestazioni di RDPCA sono state valutate attraverso studi di simulazione e applicazioni nel mondo reale:

• Simulazioni:

  • In presenza di outlier (introdotti tramite il modello di $\epsilon$-contaminazione di Huber), RDPCA ha superato significativamente la SFPCA standard nella stima sia dell'operatore di covarianza che dei componenti principali.
  • Le metriche includevano l'Errore Quadratico Integrato (ISE) per la stima della covarianza e la similitudine del coseno media per gli autovettori. RDPCA ha mantenuto un'elevata accuratezza anche con tassi di contaminazione fino al 20%.
  • Interessante è che RDPCA ha mostrato anche una prestazione superiore rispetto alla SFPCA in scenari non contaminati, in particolare quando la distribuzione degli score era a code pesanti (ad esempio, distribuzione $t$ multivariata).
  • Il metodo ha identificato con successo gli outlier basandosi sulla distribuzione limite della RDMD, mentre i metodi non robusti non sono riusciti a distinguere le curve atipiche.

• Applicazioni su Dati Reali:

  • Spettri EPXMA: Applicata agli spettri di contenitori in vetro, RDPFA ha distinto efficacemente tra diversi tipi di vetro e ha identificato spettri outlier che i metodi standard avevano mancato. La funzione di correlazione robusta ha rivelato differenze strutturali oscurate dal bias dei metodi non robusti.
  • Dati sulla Fertilità: Analizzati i tassi di fertilità specifici per età (ASFR) tra paesi e anni. Il metodo ha identificato paesi con pattern di fertilità insoliti (ad esempio, il Giappone nel 1956) e ha catturato l'evoluzione della dinamica della fertilità (lo spostamento dei picchi dai venti anni all'inizio dei 20 anni verso i 30 anni) in modo più robusto rispetto agli approcci standard.

Significatività e Rivendicazioni
Il documento sostiene di fornire il primo framework robusto per la PCA specificamente adattato ai dati funzionali relativi nello spazio di Bayes. I suoi principali contributi sono:

1. Estensione Teorica: Estende il concetto di distanza di Mahalanobis regolarizzata agli spazi di Bayes, affrontando la non-invertibilità dell'operatore di covarianza in dimensioni infinite pur rispettando la geometria composizionale dei dati di densità.
2. Robustezza alle Anomalie Strutturali: A differenza dei metodi tradizionali di FDA che trattano gli outlier come deviazioni di magnitudo, RDPCA è progettato per rilevare e declassare le anomalie strutturali della forma inerenti ai dati relativi.
3. Utilità Pratica: Il metodo offre un algoritmo computazionalmente fattibile (Algoritmo 1) che funziona sia con dati discretizzati che con dati espansi in basi, fornendo uno strumento pratico per l'analisi delle funzioni di densità in presenza di rumore e outlier.

Gli autori sottolineano che l'obiettivo non è semplicemente il rilevamento degli outlier, ma la costruzione di metodi di PCA robusti che producano stime accurate della covarianza e dei componenti principali. Notano che, sebbene il lavoro attuale si concentri sulle densità univariante, il framework apre la strada a future estensioni alle densità multivariate e alle superfici casuali, che rimangono tuttavia al di fuori dell'attuale ambito di ricerca.