Robust functional PCA for relative data

Technische Samenvatting: Robuuste Functionele PCA voor Relatieve Data

Probleemstelling
Functionele Data Analyse (FDA) heeft traditioneel de focus gelegd op absolute grootte, maar veel toegepaste contexten betreffen "relatieve" functionele data, zoals waarschijnlijkheidsdensiteitsfuncties (PDF's), leeftijdspecifieke vruchtbaarheidspercentages of spectrale curven. In deze contexten ligt de informatie van belang in het distributionele patroon of de vorm, eerder dan in de absolute schaal. Standaard FDA-technieken schieten in dit domein vaak tekort omdat ze de compositionele aard van de data (niet-negativiteit en eenheidintegraal-beperkingen) niet respecteren.

Hoewel recent werk een kader heeft gevestigd binnen de Bayes-ruimte om dergelijke data als oneindig-dimensionale composities te modelleren, vertrouwen bestaande dimensiereductietools binnen deze ruimte, specifiek Simpliciale Functionele PCA (SFPCA), op steekproefcovariantie-operatoren. Deze standaard schatters zijn zeer gevoelig voor uitschieters en anomalieën. In relatieve data manifesteren uitschieters zich vaak als structurele vormanomalieën (bijv. een onverwachte herverdeling van massa) in plaats van eenvoudige grootteafwijkingen, waardoor traditionele robuuste methoden (ontworpen voor Euclidische ruimtes) of standaard SFPCA ineffectief worden. Er is een gebrek aan robuuste methodologieën die in staat zijn om dergelijke anomalieën te verwerken terwijl de geometrische structuur van de Bayes-ruimte behouden blijft.

Methodologie
Het artikel stelt Robuuste Densiteit Principale Component Analyse (RDPCA) voor, een methode die ontworpen is om functionele principal componenten (FPC's) te schatten voor densiteitsdata in aanwezigheid van uitschieters. De methodologie verloopt via de volgende theoretische en algoritmische stappen:

1. Bayes-ruimte Kader: De data $X$ wordt gemodelleerd als een element van een Hilbert-ruimte $B^2(I)$ van positieve densiteiten met een eenheidintegraal. De analyse maakt gebruik van de gecentreerde log-ratio (clr) transformatie, die de Bayes-ruimte isometrisch naar een subruimte van $L^2(I)$ brengt (functies die integreren tot nul), waardoor standaard Hilbert-ruimte instrumenten kunnen worden gebruikt terwijl de relatieve aard van de data gerespecteerd wordt.

2. Geregulariseerde Mahalanobis Afstand (RDMD):

   • De kerninnovatie is de uitbreiding van de Mahalanobis afstand naar Bayes-ruimtes. In oneindig-dimensionale settings is de covariantie-operator niet inversibel. Om dit aan te pakken, definiëren de auteurs een geregulariseerde standaardisatie van een densiteit $X$ door een Tikhonov-type optimalisatieprobleem op te lossen:
     $$X^{\alpha, L}_{st} = \arg \min_{Y \in B^2(I)} \left\{ \|C^{1/2}_{B^2,X} Y \ominus X\|^2_{B} + \alpha \|LY\|^2_{B} \right\}$$
     waarbij $C_{B^2,X}$ de covariantie-operator is, $\alpha > 0$ een regularisatieparameter, en $L$ een regularisatie-operator (bijv. een orthogonale projectie op het complement van de eerste $k$ eigenfuncties).
   • De Geregulariseerde Densiteit Mahalanobis Afstand (RDMD) wordt vervolgens gedefinieerd als de gekwadrateerde norm van het verschil tussen de gestandaardiseerde densiteiten: $M^2_{\alpha,k,B^2}(X, Y) = \|X^{\alpha,k}_{st} \ominus Y^{\alpha,k}_{st}\|^2_{B^2}$.
   • Deze afstand generaliseert eerdere functionele Mahalanobis-concepten (getrunceerde en $\alpha$-Mahalanobis afstanden) en houdt rekening met de specifieke beperkingen van densiteitsdata.

3. Robuuste Covariantie Schatting:

   • Gebruikmakend van de RDMD als een maat voor centraliteit, past de methode een getrimde covariantie-schatter toe. Een optimale subset $H_0$ van de data wordt geïdentificeerd door de gemiddelde gekwadrateerde RDMD van de observaties in de subset te minimaliseren.
   • De robuuste gemiddelde en covariantie worden berekend met behulp van enkel deze centrale subset. Een schaleringsfactor wordt toegepast om consistentie onder Gaussische aannames te waarborgen, hoewel de methode zelf geen strikte Gaussische verdeling vereist voor de schatting.

4. Algoritme (RDPCA):

   • De procedure is iteratief. Het wisselt tussen het schatten van het robuuste gemiddelde/covariantie op de huidige subset en het opnieuw evalueren van de subset op basis van de bijgewerkte RDMD's tot convergentie optreedt.
   • De methode ondersteunt zowel gediscretiseerde data (benaderd via integraalsommen) als functionele representaties (geprojecteerd op een basis, zoals compositionele splines). Propositie 4.1 toont aan dat wanneer data wordt uitgedrukt in een vaste orthonormale basis, de RDMD exact kan worden berekend met behulp van matrixoperaties op de basiscoëfficiënten.

Belangrijkste Resultaten
De prestaties van RDPCA werden geëvalueerd via simulatiestudies en real-world toepassingen:

• Simulaties:

  • In de aanwezigheid van uitschieters (geïntroduceerd via de $\epsilon$-contaminatiemodel van Huber), presteerde RDPCA significant beter dan standaard SFPCA bij het schatten van zowel de covariantie-operator als de principale componenten.
  • De metrieken omvatten de Integrated Square Error (ISE) voor covariantieschatting en de gemiddelde cosinus-gelijkenis voor eigenfuncties. RDPCA behield een hoge nauwkeurigheid, zelfs bij contaminatiepercentages tot 20%.
  • Interessant genoeg vertoonde RDPCA ook een superieure prestatie vergeleken met SFPCA in niet-gecontamineerde settings, met name wanneer de onderliggende scoreverdeling heavy-tailed was (bijv. een multivariate $t$-verdeling).
  • De methode identificeerde uitschieters succesvol op basis van de limiterende distributie van de RDMD, terwijl niet-robuuste methoden er niet in slaagden atypische curven te onderscheiden.

• Real-Data Applicaties:

  • EPXMA Spectra: Toegepast op glasvessel-spectra, kon RDPCA effectief verschillende typen glas onderscheiden en uitschieter-spectra identificeren die standaardmethoden misten. De robuuste correlatiefunctie onthulde structurele verschillen die werden vertroebeld door de bias van niet-robuuste methoden.
  • Vruchtbaarheidsdata: Analyseerde leeftijdspecifieke vruchtbaarheidspercentages (ASFR) over landen en jaren heen. De methode identificeerde landen met ongebruikelijke vruchtbaarheidspatronen (bijv. Japan in 1956) en legde de evolutie van vruchtbaarheidsdynamiek (verschuivende pieken van de vroege 20 naar rond de 30 jaar) robuuster vast dan standaard benaderingen.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt het eerste robuuste kader te bieden voor PCA die specifiek is afgestemd op relatieve functionele data binnen de Bayes-ruimte. De primaire bijdragen zijn:

1. Theoretische Uitbreiding: Het breidt het concept van de geregulariseerde Mahalanobis afstand uit naar de Bayes-ruimte, waarbij het probleem van de niet-inversibiliteit van de covariantie-operator in oneindig-dimensionale settings aanpakt, terwijl de compositionele geometrie van densiteitsdata wordt gerespecteerd.
2. Robuustheid tegen Structurele Anomalieën: In tegen tegenstelling tot traditionele FDA-methoden die uitschieters behandelen als magnitude-afwijkingen, is RDPCA ontworpen om structurele vormanomalieën die inherent zijn aan relatieve data te detecteren en te downweighten.
3. Praktisch Nut: De methode biedt een computationeel haalbaar algoritme (Algoritme 1) dat werkt met zowel gediscretiseerde als basis-geëxpandeerde data, wat een bruikbaar instrument biedt voor het analyseren van densiteitsfuncties in aanwezigheid van ruis en uitschieters.

De auteurs benadrukken dat het doel niet louter uitschieterdetectie is, maar de constructie van robuuste PCA-methoden die nauwkeurige covariantie- en principale component-schattingen opleveren. Zij merken op dat hoewel het huidige werk zich richt op univariate densiteiten, het kader mogelijkheden biedt voor toekomstige uitbreidingen naar multivariate densiteiten en random surfaces, hoewel deze buiten de huidige scope vallen.