Robust functional PCA for relative data

Résumé Technique : ACP Robuste pour les Données Relatives

Énoncé du Problème
L'analyse de données fonctionnelles (FDA - Functional Data Analysis) s'est traditionnellement concentrée sur la magnitude absolue, pourtant de nombreux contextes appliqués impliquent des données fonctionnelles « relatives », telles que les fonctions de densité de probabilité (PDF), les taux de fécondité par âge ou les courbes spectrales. Dans ces contextes, l'information d'intérêt réside dans le motif de distribution ou la forme plutôt que dans la magnitude absolue. Les techniques de FDA standard échouent souvent dans ce domaine car elles ne respectent pas la nature compositionnelle des données (contraintes de non-négativité et d'intégrale unitaire).

Bien que des travaux récents aient établi le cadre de l'espace de Bayes pour modéliser ces données comme des compositions de dimension infinie, les outils de réduction de dimension existants au sein de cet espace, spécifiquement l'ACP fonctionnelle de type simplicial (SFPCA), reposent sur des opérateurs de covariance d'échantillon. Ces estimateurs standards sont très sensibles aux valeurs aberrantes et aux observations anormales. Dans le cas des données relatives, les valeurs aberrantes se manifestent souvent par des anomalies de forme structurelle (par exemple, une redistribution inattendue de la masse) plutôt que par de simples déviations de magnitude, rendant les méthodes de robustesse traditionnelles (conçues pour les espaces euclidiens) ou la SFPCA standard inefficaces. Il existe un manque de méthodologies robustes capables de gérer ces anomalies tout en préservant la structure géométrique de l'espace de Bayes.

Méthodologie
L'article propose l'ACP de Densité Robuste (RDPCA), une méthode conçue pour estimer les composantes principales fonctionnelles (FPC) pour les données de densité en présence de valeurs aberrantes. La méthodologie suit ces étapes théoriques et algorithmiques :

1. Cadre de l'Espace de Bayes : Les données $X$ sont modélisées comme un élément d'un espace de Hilbert $B^2(I)$ de densités positives à intégrale unitaire. L'analyse utilise la transformation de rapport de cote centré (clr - centered logratio), qui projette l'espace de Bayes de manière isométrique vers un sous-espace de $L^2(I)$ (fonctions dont l'intégrale est nulle), permettant l'utilisation des outils classiques de l'espace de Hilbert tout en respectant la nature relative des données.

2. Distance de Mahalanobis Régularisée (RDMD) :

   • L'innovation centrale est l'extension de la distance de Mahalanobis aux espaces de Bayes. Dans les contextes de dimension infinie, l'opérateur de covariance n'est pas inversible. Pour y remédier, les auteurs définissent une standardisation régularisée d'une densité $X$ en résolvant un problème d'optimisation de type Tikhonov :
     $$X^{\alpha, L}_{st} = \arg \min_{Y \in B^2(I)} \left\{ \|C^{1/2}_{B^2,X} Y \ominus X\|^2_{B} + \alpha \|LY\|^2_{B} \right\}$$
     où $C_{B^2,X}$ est l'opérateur de covariance, $\alpha > 0$ est un paramètre de régularisation, et $L$ est un opérateur de régularisation (par exemple, un projecteur orthogonal sur le complément de la première $k$ fonctions propres).
   • La Distance de Mahalanobis de Densité Régularisée (RDMD) est ensuite définie comme la norme au carré de la différence entre les densités standardisées : $M^2_{\alpha,k,B^2}(X, Y) = \|X^{\alpha,k}_{st} \ominus Y^{\alpha,k}_{st}\|^2_{B^2}$.
   • Cette distance généralise les concepts précédents de Mahalanobis fonctionnels (distances de Mahalanobis tronquées et $\alpha$-Mahalanobis) et prend en compte les contraintes spécifiques des données de densité.

3. Estimation de la Covariance Robuste :

   • En utilisant la RDMD comme mesure de centralité, la méthode emploie un estimateur de covariance élagué (trimmed). Un sous-ensemble optimal $H_0$ des données est identifié en minimisant la moyenne des carrés de la RDMD des observations dans le sous-ensemble.
   • La moyenne et la covariance robustes sont calculées en utilisant uniquement ce sous-ensemble central. Un facteur d'échelle est appliqué pour assurer la cohérence sous hypothèses gaussiennes, bien que la méthode ne nécessite pas strictement la gaussianité pour l'estimation elle-même.

4. Algorithme (RDPCA) :

   • La procédure est itérative. Elle alterne entre l'estimation de la moyenne et de la covariance robustes sur le sous-ensemble actuel et la réévaluation du sous-ensemble basée sur les RDMD mises à jour jusqu'à convergence.
   • La méthode supporte à la fois les données discrétisées (approximées via des sommes intégrales) et les représentations fonctionnelles (projetées sur une base, telle que des splines compositionnelles). La Proposition 4.1 démontre que lorsque les données sont exprimées dans une base orthonormée fixe, la RDMD peut être calculée exactement à l'aide d'opérations matricielles sur les coefficients de la base.

Résultats Clés
Les performances de la RDPCA ont été évaluées par des études de simulation et des applications de données réelles :

• Simulations :

  • En présence de valeurs aberrantes (introduites via le modèle de $\epsilon$-contamination de Huber), la RDPCA a nettement surpassé la SFPCA standard dans l'estimation de l'opérateur de covariance et des composantes principales.
  • Les métriques incluaient l'Erreur Quadratique Intégrée (ISE) pour l'estimation de la covariance et la similitude cosinus moyenne pour les fonctions propres. La RDPCA a maintenu une haute précision même avec des taux de contamination allant jusqu'à 20 %.
  • De manière intéressante, la RDPCA a également montré une performance supérieure à la SFPCA dans des contextes non contaminés, particulièrement lorsque la distribution des scores sous-jacente était à queue lourde (par exemple, une distribution $t$ multivariée).
  • La méthode a réussi à identifier les valeurs aberrantes en se basant sur la distribution limite de la RDMD, là où les méthodes non robustes ont échoué à distinguer les courbes atypiques.

• Applications sur Données Réelles :

  • Spectres EPXMA : Appliquée aux spectres de récipients en verre, la RDPCA a permis de distinguer efficacement les différents types de verre et d'identifier les spectres aberrants que les méthodes standards avaient manqués. La fonction de corrélation robuste a révélé des différences structurelles occultées par le biais des méthodes non robustes.
    usement.
  • Données de Fécondité : Analyse des taux de fécondité par âge (ASFR) à travers les pays et les années. La méthode a identifié les pays présentant des modèles de fécondité inhabituels (par exemple, le Japon en 1956) et a capturé l'évolution de la dynamique de la fécondité (déplacement des pics du début de la vingtaine vers environ 30 ans) de manière plus robuste que les approches standards.

Signification et Revendications
L'article affirme fournir le premier cadre robuste pour l'ACP spécifiquement adapté aux données fonctionnelles relatives au sein de l'espace de Bayes. Ses principales contributions sont :

1. Extension Théorique : Il étend le concept de distance de Mahalanobis régularisée aux espaces de Bayes, traitant la non-inversibilité de l'opérateur de covariance dans les dimensions infinies tout en respectant la géométrie compositionnelle des données de densité.
2. Robustesse aux Anomalies Structurelles : Contrairement aux méthodes de FDA traditionnelles qui traitent les valeurs aberrantes comme des déviations de magnitude, la RDPça est conçue pour détecter et pondérer les anomalies de forme structurelle inhérentes aux données relatives.
3. Utilité Pratique : La méthode offre un algorithme calculable (Algorithme 1) qui fonctionne avec des données discrétisées ou développées en base, fournissant un outil viable pour l'analyse des fonctions de densité en présence de bruit et de valeurs aberrantes.

Les auteurs soulignent que l'objectif n'est pas simplement la détection de valeurs aberrantes, mais la construction de méthodes d'ACP robustes qui produisent des estimations précises de la covariance et des composantes principales. Ils notent que bien que le présent travail se concentre sur les densités univariées, le cadre ouvre des voies pour de futures extensions aux densités multivariées et aux surfaces aléatoires, bien que celles-ci sortent du cadre actuel.