Robust functional PCA for relative data

Resumen Técnico: PCA Funcional Robusto para Datos Relativos

Planteamiento del Problema
El Análisis de Datos Funcionales (FDA, por sus siglas en inglés) se ha centrado tradicionalmente en la magnitud absoluta, pero muchos entornos aplicados involucran datos funcionales "relativos", como funciones de densidad de probabilidad (PDF), tasas de fertilidad por edad o curvas espectrales. En estos contextos, la información de interés reside en el patrón distributivo o la forma, más que en la escala absoluta. Las técnicas estándar de FDA suelen fallar en este dominio porque no respetan la naturaleza composicional de los datos (restricciones de no negatividad e integral unitaria).

Si bien trabajos recientes han establecido el marco del espacio de Bayes para modelar tales datos como composiciones de dimensión infinita, las herramientas de reducción de dimensionalidad existentes dentro de este espacio, específicamente el PCA Funcional Simplicial (SFPCA), dependen de operadores de covarianza muestrales. Estos estimadores estándar son altamente sensibles a valores atípicos y observaciones anómalas. En los datos relativos, los valores atípicos suelen manifestarse como anomalías estructurales de la forma (por ejemplo, una redistribución inesperada de la masa) en lugar de simples desviaciones de magnitud, lo que hace que los métodos tradicionales (diseñados para espacios euclidianos) o el SFPCA estándar sean ineficaces. Existe una falta de metodologías robustas capaces de manejar estas anomalías preservando la estructura geométrica del espacio de Bayes.

Metodología
El artículo propone el PCA de Densidad Robusto (RDPCA), un método diseñado para estimar componentes principales funcionales (FPC) para datos de densidad en presencia de valores atípicos. La metodología procede a través de los siguientes pasos teóricos y algorítmicos:

1. Marco del Espacio de Bayes: Los datos $X$ se modelan como un elemento de un espacio de Hilbert $B^2(I)$ de densidades positivas con integral unitaria. El análisis utiliza la transformación de log-ratio centrado (clr), la cual mapea el espacio de Bayes de forma isométrica a un subespacio de $L^2(I)$ (funciones que integran cero), permitiendo el uso de herramientas estándar de espacio de Hilbert mientras se respeta la naturaleza relativa de los datos.

2. Distancia de Mahalanobis Regularizada (RDMD):

   • La innovación central es la extensión de la distancia de Mahalanobis a los espacios de Bayes. En entornos de dimensión infinita, el operador de covarianza no es invertible. Para abordar esto, los autores definen una estandarización regularizada de una densidad $X$ resolviendo un problema de optimización de tipo Tikhonov:
     $$X^{\alpha, L}_{st} = \arg \min_{Y \in B^2(I)} \left\{ \|C^{1/2}_{B^2,X} Y \ominus X\|^2_{B} + \alpha \|LY\|^2_{B} \right\}$$
     donde $C_{B^2,X}$ es el operador de covarianza, $\alpha > 0$ es un parámetro de regularización y $L$ es un operador de regularización (por ejemplo, un proyector ortogonal sobre el complemento de los primeros $k$ autofunciones).
   • La Distancia de Mahalanobis de Densidad Regularizada (RDMD) se define entonces como la norma al cuadrado de la diferencia entre las densidades estandarizadas: $M^2_{\alpha,k,B^2}(X, Y) = \|X^{\alpha,k}_{st} \ominus Y^{\alpha,k}_{st}\|^2_{B^2}$.
   • Esta distancia generaliza los conceptos previos de Mahalanobis funcionales (distancias de Mahalanobis truncadas y $\alpha$-Mahalanobis) y tiene en cuenta las restricciones específicas de los datos de densidad.

3. Estimación de Covarianza Robusta:

   • Utilizando la RDMD como medida de centralidad, el método emplea un estimador de covarianza recortado (trimmed). Se identifica un subconjunto óptimo $H_0$ de los datos minimizando la media de la distancia RDMD al cuadrado de las observaciones en el subconjunto.
   • La media y la covarianza robustas se calculan utilizando únicamente este subconjunto central. Se aplica un factor de escala para asegurar la consistencia bajo supuestos gaussianos, aunque el método no requiere estrictamente la gaussianidad para la estimación en sí misma.

4. Algoritmo (RDPCA):

   • El procedimiento es iterativo. Alterna entre la estimación de la media/covarianza robusta en el subconjunto actual y la reevaluación del subconjunto basándose en las RDMD actualizadas hasta la convergencia.
   • El método soporta tanto datos discretizados (aproximados mediante sumas integrales) como representaciones funcionales (proyectadas sobre una base, como splines composicionales). La Proposición 4.1 demuestra que cuando los datos se expresan en una base ortonormal fija, la RDMD puede computarse exactamente utilizando operaciones matriciales sobre los coeficientes de la base.

Resultados Clave
El desempeño de RDPCA fue evaluado mediante estudios de simulación y aplicaciones del mundo real:

• Simulaciones:

  • En presencia de valores atípicos (introducidos mediante el modelo de $\epsilon$-contaminación de Huber), RDPCA superó significativamente al SFPCA estándar en la estimación tanto del operador de covarianza como de los componentes principales.
  • Las métricas incluyeron el Error Cuadrático Integrado (ISE) para la estimación de la covarianza y la similitud de coseno media para las autofunciones. RDPCA mantuvo una alta precisión incluso con tasas de contaminación de hasta el 20%.
  • Interesantemente, RDPCA también mostró un desempeño superior al SFPCA en entornos no contaminados, particularmente cuando la distribución de los puntajes (scores) subyacente era de cola pesada (por ejemplo, la distribución $t$ multivariante).
  • El método identificó con éxito los valores atípicos basándose en la distribución límite de la RDMD, mientras que los métodos no robustos no lograron distinguir las curvas atípicas.

• Aplicaciones de Datos Reales:

  • Espectros EPXMA: Aplicado a espectros de recipientes de vidrio, RDPCA distinguió eficazmente entre diferentes tipos de vidrio e identificó espectros atípicos que los métodos estándar pasaron por alto. La función de correlación robusta reveló diferencias estructurales que quedaban ocultas por el sesgo de los métodos no robustos.
  • Datos de Fertilidad: Analizó las tasas de fertilidad por edad (ASFR) a través de países y años. El método identificó países con patrones de fertilidad inusuales (por ejemplo, Japón en 1956) y capturó la evolución de la dinámica de la fertilidad (el desplazamiento de los picos desde los 20 años tempranos hacia alrededor de los 30 años) de manera más robusta que los enfoques estándar.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma proporcionar el primer marco robusto para el PCA específicamente diseñado para datos funcionales relativos dentro del espacio de Bayes. Sus principales contribuciones son:

1. Extensión Teórica: Extiende el concepto de distancia de Mahalanobis regularizada a los espacios de Bayes, abordando la no invertibilidad del operador de covarianza en dimensiones infinitas mientras respeta la geometría composicional de los datos de densidad.
2. Robustez ante Anomalías Estructurales: A diferencia de los métodos tradicionales de FDA que tratan los valores atípicos como desviaciones de magnitud, RDPCA está diseñado para detectar y ponderar hacia abajo las anomalías estructurales de la forma inherentes a los datos relativos.
3. Utilidad Práctica: El método ofrece un algoritmo computacionalmente factible (Algoritmo 1) que funciona tanto con datos discretizados como con bases expandidas, proporcionando una herramienta viable para analizar funciones de densidad en presencia de ruido y valores atípicos.

Los autores enfatizan que el objetivo no es meramente la detección de valores atípicos, sino la construcción de métodos de PCA robustos que produzcan estimaciones precisas de la covarianza y los componentes principales. Señalan que, si bien el trabajo actual se centra en densidades univariantes, el marco abre vías para futuras extensiones a densidades multivariantes y superficies aleatorias, aunque estas quedan fuera del alcance actual.