Two-stage least squares with treatment-covariate interactions for treatment effect heterogeneity

1. Il Problema

Nelle analisi che utilizzano variabili strumentali (IV) per stimare effetti causali, è comune riscontrare eterogeneità dell'effetto del trattamento rispetto a determinate covariate. Quando le assunzioni standard dell'IV sono valide solo condizionatamente a un insieme di covariate (IV validi condizionatamente), una strategia intuitiva per catturare questa eterogeneità è l'uso della regressione a due stadi (2SLS) interagita (interacted 2SLS).

Questo metodo prevede l'inclusione di termini di interazione tra il trattamento e le covariate nel secondo stadio, e tra lo strumento e le covariate nel primo stadio. Tuttavia, la letteratura esistente non ha chiarito le proprietà teoriche di questo stimatore sotto il quadro del Local Average Treatment Effect (LATE) quando l'IV non è assegnato casualmente in modo incondizionato, ma solo condizionatamente. Il rischio è che i coefficienti stimati delle interazioni non abbiano un'interpretazione causale valida o non stimino correttamente l'eterogeneità dell'effetto.

2. Metodologia

Gli autori analizzano le proprietà asintotiche dello stimatore 2SLS interagito all'interno del framework dei potenziali risultati (Potential Outcomes Framework) e della teoria LATE.

• Modello di lavoro: Considerano un modello lineare di lavoro per l'esito $Y_i$ che include interazioni tra il trattamento $D_i$ e le covariate $X_i$:
  $$Y_i = D_i X_i^\top \beta_{DX} + X_i^\top \beta_X + \eta_i$$
  dove $E(\eta_i | Z_i, X_i) = 0$.
• Stimatore: Definisco l'Interacted 2SLS come la regressione di $Y_i$ su $(D_i X_i, X_i)$ strumentata da $(Z_i X_i, X_i)$.
• Obiettivo: Determinare sotto quali condizioni il vettore dei coefficienti stimati $\hat{\beta}_{2sls}$ (corrispondente a $D_i X_i$) è consistente per stimare l'eterogeneità sistematica dell'effetto del trattamento tra i "compliers" (soggetti il cui stato di trattamento è influenzato dallo strumento).
• Condizione Chiave: Introducono e analizzano la "condizione di interazioni lineari IV-covariate" (Linear IV-covariate interactions condition), che richiede che il prodotto tra il punteggio di propensione dell'IV ($e(X_i) = P(Z_i=1|X_i)$) e le covariate $X_i$ sia una funzione lineare di $X_i$.

3. Contributi Chiave e Risultati Principali

I risultati del paper sono articolati in tre punti fondamentali:

A. Condizione Necessaria e Sufficiente per la Consistenza

Gli autori dimostrano che i coefficienti sulle interazioni trattamento-covariate ottenuti dall'Interacted 2SLS sono consistenti per stimare l'eterogeneità sistematica dell'effetto tra i compliers (per qualsiasi processo generatore di esiti) se e solo se vale la condizione di interazioni lineari IV-covariate.

• Se questa condizione non è soddisfatta, i coefficienti stimati non sono consistenti per l'eterogeneità causale, a meno che il modello di esito non sia specificato correttamente (il che è spesso un'ipotesi irrealistica).
• Questo estende i risultati di Blandhol et al. (2025) sulle specifiche additive 2SLS al caso con interazioni.

B. Restrizioni sulla Validità della Condizione

Un risultato cruciale e restrittivo è che, assumendo che il vettore delle covariate $X_i$ abbia dimensione $K$ (inclusa una costante), la condizione di interazioni lineari IV-covariate è soddisfatta solo se il punteggio di propensione dell'IV assume al massimo $K$ valori distinti.
Questo implica che la condizione è difficile da soddisfare nella pratica, limitandosi a due casi speciali:

1. Covariate categoriche: Le covariate sono categoriche con esattamente $K$ livelli (condizione di covariate sature).
2. Assegnazione casuale dell'IV: L'IV è assegnato casualmente in modo incondizionato ($Z_i \perp X_i$).

Implicazione: Se le covariate sono continue e l'IV non è assegnato casualmente (ma solo condizionatamente valido), l'inclusione di termini di interazione trattamento-covariate nelle specifiche 2SLS porta a coefficienti di regressione difficili da interpretare causalmente, a meno che non si specifichi correttamente il modello di esito.

C. Soluzione Pratica: Covariate Centrate (Demeaned)

Come applicazione pratica della teoria, gli autori mostrano che l'uso di covariate centrate (demeaned) nell'Interacted 2SLS permette di recuperare il LATE (effetto medio locale) come un singolo coefficiente, sotto la condizione di interazioni lineari IV-covariate.

• Specificamente, se si utilizza un vettore di covariate $X_{i,dm}$ dove le componenti non costanti sono centrate sulla media dei compliers, il coefficiente sul trattamento principale nell'Interacted 2SLS identifica direttamente il LATE.
• Questo contrasta con le procedure 2SLS additive standard (senza interazioni o con covariate sature), che recuperano medie pesate dei LATE condizionali che generalmente differiscono dal LATE globale.

4. Estensioni

Il paper estende la teoria a scenari più generali:

• Interazioni Parziali: Quando l'eterogeneità è sospettata solo per un sottoinsieme di covariate $V_i \subseteq X_i$, vengono stabilite condizioni analoghe per la consistenza dello stimatore.
• Monotonia Debole: Gli autori rilassano l'assunzione di monotonia forte (che esclude i "defiers") a quella di monotonia debole. In questo caso, sotto la condizione di interazioni lineari, lo stimatore 2SLS interagito identifica una differenza pesata tra i coefficienti di proiezione lineare dell'effetto tra i compliers e i defiers.
• OLS come caso particolare: Poiché l'OLS è un caso speciale di 2SLS (dove $Z_i = D_i$), i risultati si applicano anche alle regressioni OLS con interazioni in contesti di sperimentazione condizionata.

5. Significato e Implicazioni

Questo lavoro ha un impatto significativo sulla pratica econometrica e statistica:

1. Avvertenza sull'uso delle interazioni: Sconsiglia l'uso acritico di termini di interazione trattamento-covariate nelle regressioni 2SLS quando le covariate sono continue e l'IV non è randomizzato incondizionatamente. Senza la specifica corretta del modello di esito o la soddisfacimento della rara condizione di interazioni lineari, tali coefficienti non hanno un'interpretazione causale diretta sull'eterogeneità.
2. Guida alla specificazione del modello: Fornisce una giustificazione teorica rigorosa per l'uso di covariate centrate (demeaned) nelle specifiche 2SLS interagite. Questo approccio permette di ottenere una stima coerente del LATE globale anche in presenza di eterogeneità, senza dover stimare un modello completo di interazione per ogni covariata.
3. Chiarezza teorica: Colma un vuoto nella letteratura teorica, fornendo le condizioni necessarie e sufficienti per l'identificazione causale in modelli IV con eterogeneità, generalizzando i risultati precedenti che si limitavano a casi di randomizzazione incondizionata o covariate sature.

In sintesi, il paper avverte i ricercatori che l'aggiunta di interazioni per catturare l'eterogeneità in modelli IV non è una panacea e richiede condizioni molto stringenti sulla distribuzione dello strumento rispetto alle covariate; tuttavia, offre una soluzione pratica (covariate centrate) per stimare robustamente l'effetto medio del trattamento in tali contesti.