Two-stage least squares with treatment-covariate interactions for treatment effect heterogeneity

Aquí presento un resumen técnico detallado del artículo "Two-stage least squares with treatment-covariate interactions for treatment effect heterogeneity" (Mínimos cuadrados en dos etapas con interacciones tratamiento-covariante para la heterogeneidad del efecto del tratamiento), escrito por Anqi Zhao, Peng Ding y Fan Li.

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1. Planteamiento del Problema

En el análisis de variables instrumentales (VI), es común encontrar heterogeneidad del efecto del tratamiento en función de las covariables. Una práctica intuitiva y ampliamente utilizada es el Mínimos Cuadrados en Dos Etapas (2SLS) interactuado, donde se incluyen términos de interacción entre el tratamiento y las covariables (tanto en la primera como en la segunda etapa) para estimar cómo varía el efecto del tratamiento según las características de los individuos.

Sin embargo, la literatura existente carecía de una interpretación causal rigurosa de los coeficientes de estas interacciones bajo el marco del Efecto Promedio Local del Tratamiento (LATE), especialmente cuando la VI es válida solo condicionalmente a las covariables (VI condicionalmente válida). La pregunta central es: ¿Bajo qué condiciones los coeficientes estimados por un 2SLS interactuado identifican consistentemente la heterogeneidad del efecto del tratamiento (variación sistemática) entre los "cumplidores" (compliers)?

2. Metodología y Marco Teórico

Los autores utilizan el marco de resultados potenciales (Imbens y Angrist, 1994) y asumen un diseño de población finita.

• Modelo de Trabajo: Se postula un modelo lineal de trabajo para el resultado $Y_i$:
  $$Y_i = D_i X_i^\top \beta_{DX} + X_i^\top \beta_X + \eta_i$$
  Donde $D_i$ es el tratamiento, $X_i$ son las covariables y $X_i^\top \beta_{DX}$ representa el efecto del tratamiento dependiente de las covariables.
• Procedimiento 2SLS Interactuado:
  • Primera etapa: Regresión de $D_i X_i$ sobre $(Z_i X_i, X_i)$.
  • Segunda etapa: Regresión de $Y_i$ sobre $(D_i X_i, X_i)$, instrumentada por $(Z_i X_i, X_i)$.
• Supuestos Clave:
  • Exogeneidad condicional: La VI $Z_i$ es independiente de los resultados potenciales dado $X_i$.
  • Restricción de exclusión: $Z_i$ no afecta $Y_i$ directamente.
  • Monotonía fuerte: No existen "desafiadores" (defiers); es decir, $D_i(1) \ge D_i(0)$.
  • Sobrelapamiento: La probabilidad de recibir el tratamiento dado $Z_i$ está estrictamente entre 0 y 1.

El objetivo es caracterizar el límite en probabilidad del estimador $\hat{\beta}_{2sls}$ (los coeficientes de las interacciones) y compararlo con el parámetro causal de interés: el vector de proyección lineal de los efectos individuales del tratamiento sobre las covariables entre los cumplidores ($\beta_c$).

3. Contribuciones Clave y Resultados Principales

Los autores establecen tres hallazgos fundamentales:

A. Condición Necesaria y Suficiente para la Identificación Causal

El teorema principal (Teorema 1) establece que los coeficientes de las interacciones tratamiento-covariante del 2SLS interactuado son consistentes para estimar la heterogeneidad del efecto del tratamiento ($\beta_c$) para cualquier proceso generador de resultados si y solo si se cumple la Condición de Interacciones Lineales VI-Covariables:
$$E(Z_i X_i | X_i) = \text{proj}(Z_i X_i | X_i)$$
Esto significa que el producto de la propensión de la VI ($e(X_i) = P(Z_i=1|X_i)$) y las covariables debe ser una función lineal de $X_i$. Es decir, $e(X_i)X_i$ debe ser lineal en $X_i$.

Si esta condición no se cumple, los coeficientes del 2SLS interactuado no tienen una interpretación causal directa de la heterogeneidad, a menos que el modelo de resultados esté correctamente especificado (lo cual es una suposición fuerte y a menudo incorrecta).

B. Restricciones Estrictas sobre la Asignación de la VI

El Teorema 2 demuestra que la condición anterior es extremadamente restrictiva. Si el vector de covariables $X_i$ tiene dimensión $K$ e incluye una constante:

1. La condición solo se cumple si la propensión de la VI $e(X_i)$ toma máximo $K$ valores distintos.
2. Esto limita drásticamente los mecanismos de asignación válidos a dos casos especiales:
   • (a) Covariables categóricas: Cuando $X_i$ es categórico con $K$ niveles (saturación).
   • (b) Asignación aleatoria de la VI: Cuando $Z_i \perp \!\!\! \perp X_i$ (la VI es válida incondicionalmente).

Implicación práctica: En escenarios donde las covariables son continuas y la VI no está alejada de forma incondicional (es decir, requiere ajuste por covariables), la inclusión de interacciones tratamiento-covariante en un 2SLS estándar no garantiza una estimación consistente de la heterogeneidad del efecto. Los coeficientes de regresión pueden ser difíciles de interpretar causalmente.

C. Solución: 2SLS con Covariables Descentradas (Demeaned)

Como aplicación práctica de su teoría, los autores proponen una modificación para recuperar el LATE global ($\tau_c$) bajo la condición de interacciones lineales.

• Se utiliza un 2SLS interactuado donde las covariables no constantes se descentran (se restan sus medias entre los cumplidores).
• Teorema 3: Bajo la condición de interacciones lineales VI-covariables, el coeficiente del tratamiento en un 2SLS con covariables descentradas identifica consistentemente el LATE promedio ($\tau_c$).
• Esto contrasta con los procedimientos 2SLS aditivos estándar (sin interacciones), que identifican promedios ponderados de los LATEs condicionales que generalmente difieren del LATE global.

4. Extensiones

El artículo también extiende sus resultados a:

• Interacciones Parciales: Cuando solo un subconjunto de covariables se interactúa con el tratamiento.
• Monotonía Débil: Relajando el supuesto de monotonía fuerte para permitir la existencia de desafiadores en ciertos subgrupos de covariables. En este caso, el estimador identifica una diferencia ponderada entre los efectos en cumplidores y desafiadores.
• Relación con OLS: Muestra que el OLS interactuado es un caso especial de 2SLS cuando el tratamiento está aleatorizado condicionalmente.

5. Significado e Impacto

Este trabajo es crucial para la econometría causal y la práctica empírica por las siguientes razones:

1. Advertencia sobre la Interpretación: Proporciona una advertencia teórica sólida contra la interpretación automática de los coeficientes de interacción en modelos 2SLS como medidas de heterogeneidad del tratamiento, a menos que se cumplan condiciones muy específicas (saturación de covariables o aleatorización de la VI).
2. Clarificación de la Heterogeneidad: Distingue claramente entre la estimación de la heterogeneidad sistemática ($\beta_c$) y el efecto promedio (LATE), mostrando que los métodos estándar a menudo fallan en el primero.
3. Guía Metodológica: Ofrece una solución práctica (descentrado de covariables) para estimar el LATE global en presencia de heterogeneidad, mejorando las recomendaciones actuales en la literatura de VI.
4. Rigor Teórico: Llena un vacío teórico importante al formalizar las propiedades de los estimadores 2SLS interactuados bajo el marco LATE, extendiendo trabajos previos de Blandhol et al. (2025) y Chen (2025) al contexto de variables instrumentales.

En resumen, el artículo demuestra que la intuición de "interactuar para ver heterogeneidad" en 2SLS es engañosa sin una especificación correcta del mecanismo de asignación de la VI, y ofrece condiciones precisas y soluciones alternativas para la inferencia causal válida.