Two-stage least squares with treatment-covariate interactions for treatment effect heterogeneity

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1. Problema e Contexto

O artigo aborda um problema fundamental na análise de variáveis instrumentais (VI) quando há heterogeneidade do efeito do tratamento em relação a covariáveis. Em estudos observacionais ou experimentais onde a aleatorização não é incondicional, é comum que a validade da VI dependa de um conjunto de covariáveis ($X_i$).

A prática empírica padrão, quando suspeita-se de heterogeneidade, é utilizar uma especificação de Mínimos Quadrados em Duas Etapas (2SLS) interacionada. Isso envolve:

1. Primeira etapa: Instrumentar o tratamento ($D_i$) e suas interações com covariáveis ($D_i X_i$) usando a VI ($Z_i$), as covariáveis ($X_i$) e suas interações ($Z_i X_i$).
2. Segunda etapa: Regressar o resultado ($Y_i$) sobre o tratamento, as covariáveis e as interações tratamento-covariável.

O problema central é que a interpretação causal dos coeficientes de interação estimados por esse método (2SLS interacionado) não é clara sob o framework do Efeito Médio Local (LATE), exceto em casos muito específicos (como VI incondicionalmente aleatória). A literatura anterior não havia estabelecido rigorosamente quando esses coeficientes recuperam verdadeiramente a heterogeneidade sistemática do efeito do tratamento entre os "compliers" (indivíduos cujo tratamento é influenciado pela VI).

2. Metodologia e Estrutura Teórica

Os autores utilizam o framework de Resultados Potenciais (Imbens e Angrist, 1994) para analisar as propriedades assintóticas do estimador 2SLS interacionado.

• Definição do Estimador: O 2SLS interacionado estima o vetor de coeficientes $\hat{\beta}_{2sls}$ na regressão de $Y_i$ sobre $(D_i X_i, X_i)$, instrumentado por $(Z_i X_i, X_i)$.
• Parâmetro de Interesse Causal: O objetivo é estimar $\beta_c$, definido como o vetor de coeficientes da projeção linear do efeito individual do tratamento ($\tau_i$) sobre as covariáveis $X_i$ dentro da subpopulação de compliers. Matematicamente, $\beta_c$ representa a variação sistemática do efeito do tratamento explicada linearmente por $X_i$.
• Condição Chave (Assunção 2): Os autores introduzem a Condição de Interações Lineares VI-Covariáveis, que exige que o produto entre a pontuação de propensão da VI ($e(X_i) = P(Z_i=1|X_i)$) e as covariáveis seja linear em $X_i$. Ou seja, $E(Z_i X_i | X_i) = e(X_i)X_i$ deve ser uma função linear de $X_i$.

3. Principais Contribuições e Resultados

O artigo apresenta três descobertas principais que esclarecem a validade causal do 2SLS interacionado:

A. Condição Necessária e Suficiente para Consistência (Teorema 1)

Os autores provam que os coeficientes de interação do 2SLS interacionado são consistentes para estimar a heterogeneidade do tratamento ($\beta_c$) para qualquer processo gerador de resultados se e somente se a Condição de Interações Lineares VI-Covariáveis (Assunção 2) for satisfeita.

• Isso estabelece um resultado de identificação duplamente robusta: o estimador é válido se o mecanismo de atribuição da VI satisfizer a condição linear, ou se o modelo de trabalho de resultados estiver corretamente especificado.
• Sem essa condição, os coeficientes estimados são enviesados e não possuem interpretação causal direta, mesmo que o modelo de resultados seja linear.

B. Restrições Severas na Mecanismo de Atribuição (Teorema 2)

Esta é talvez a contribuição mais crítica. Os autores demonstram que a Condição de Interações Lineares é extremamente restritiva.

• Se o vetor de covariáveis $X_i$ tem dimensão $K$ (incluindo um termo constante), a condição só é satisfeita se a pontuação de propensão da VI ($e(X_i)$) assumir no máximo $K$ valores distintos.
• Isso implica que, na prática, a condição só é satisfeita em dois casos especiais:
  1. Covariáveis Categóricas Saturadas: Quando $X_i$ é uma variável categórica com $K$ níveis (codificada por dummies), permitindo uma especificação saturada.
  2. Aleatorização Incondicional da VI: Quando a VI é aleatória independentemente de $X_i$ ($Z_i \perp \perp X_i$).
• Implicação Prática: Em cenários onde as covariáveis são contínuas e a VI não é aleatoriamente atribuída (o caso mais comum em estudos observacionais), o 2SLS interacionado não fornece estimativas consistentes da heterogeneidade do tratamento, a menos que o modelo de resultados esteja perfeitamente especificado (o que é raramente verdade na prática).

C. Solução Proposta: 2SLS com Covariáveis Descentralizadas (Teorema 3)

Como aplicação prática, os autores mostram que, sob a condição de interações lineares, o 2SLS interacionado utilizando covariáveis descentralizadas (demeaned covariates) recupera consistentemente o LATE global ($\tau_c$) como um único coeficiente.

• Especificamente, ao interagir o tratamento com $(X_i - \mu)$, onde $\mu$ é a média das covariáveis entre os compliers, o coeficiente do tratamento principal estima diretamente o LATE.
• Isso contrasta com o 2SLS aditivo padrão, que estima uma média ponderada dos LATEs condicionais que geralmente difere do LATE global.

4. Extensões e Simulações

• Heterogeneidade Parcial: O artigo estende a teoria para casos onde apenas um subconjunto das covariáveis é interagido com o tratamento.
• Monotonicidade Fraca: As teorias são generalizadas para relaxar a suposição de monotonicidade forte, permitindo a existência de "defiers" (indivíduos que fazem o oposto do incentivo), mostrando que o estimador então recupera uma diferença ponderada entre os efeitos em compliers e defiers.
• Simulações:
  • A simulação 1 ilustra o viés empírico do 2SLS interacionado quando a condição linear não é satisfeita (covariáveis contínuas e VI dependente de $X$).
  • A simulação 2 demonstra que, quando a condição é satisfeita (VI aleatória ou covariáveis categóricas), o estimador com covariáveis descentralizadas recupera o LATE verdadeiro, enquanto o 2SLS aditivo e o interacionado padrão falham.

5. Significado e Conclusão

O artigo fornece um aviso rigoroso contra o uso indiscriminado de interações tratamento-covariável em especificações de 2SLS para inferir heterogeneidade causal em contextos de variáveis instrumentais condicionais.

• Alerta Metodológico: A inclusão de interações em modelos 2SLS não garante a identificação da heterogeneidade do tratamento se as covariáveis não forem saturadas e a VI não for aleatória. Os coeficientes de interação podem ser puramente artefatos da estrutura de ponderação do estimador e não refletir a verdadeira variação causal.
• Direcionamento Prático: Para estimar o LATE global em presença de heterogeneidade, os autores recomendam o uso de covariáveis descentralizadas no 2SLS interacionado, que oferece uma estimativa consistente sob condições mais fracas do que o 2SLS aditivo padrão.
• Contribuição Teórica: O trabalho conecta a literatura de VI com a de regressão linear, esclarecendo as condições exatas sob as quais os coeficientes de regressão têm interpretação causal, estendendo resultados anteriores de Blandhol et al. (2025) e Chen (2025) para o contexto de VI.

Em resumo, o paper demonstra que a intuição de que "adicionar interações resolve a heterogeneidade" é falha no contexto de VI, a menos que condições estruturais muito específicas sobre o mecanismo de seleção da VI sejam atendidas, e oferece uma correção prática (descentralização) para a estimação do efeito médio.