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Two-stage least squares with treatment-covariate interactions for treatment effect heterogeneity

Cet article démontre que l'estimation de l'hétérogénéité des effets du traitement par la méthode des moindres carrés en deux étapes avec interactions n'est cohérente que sous des conditions restrictives concernant la linéarité des interactions entre l'instrument et les covariables, soulignant ainsi les limites d'interprétation de cette approche courante en l'absence de randomisation inconditionnelle ou de spécification correcte du modèle.

Auteurs originaux : Anqi Zhao, Peng Ding, Fan Li

Publié 2026-03-03

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CC BY 4.0

Auteurs originaux : Anqi Zhao, Peng Ding, Fan Li

Article original sous licence CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Ceci est une explication générée par l'IA de l'article ci-dessous. Elle n'a pas été rédigée ni approuvée par les auteurs. Pour une précision technique, consultez l'article original. Lire la clause de non-responsabilité complète

🎭 Le Titre : "L'Enquêteur et le Masque"

Titre original : Two-stage least squares with treatment-covariate interactions for treatment effect heterogeneity
En français : "La méthode des deux moindres carrés avec interactions pour mesurer les différences d'effets."

Imaginez que vous êtes un détective cherchant à savoir si un nouveau médicament (le traitement) fonctionne vraiment. Mais il y a un problème : les gens ne prennent pas le médicament par hasard. Certains le prennent parce qu'ils sont désespérés, d'autres parce qu'ils sont riches. C'est ce qu'on appelle un biais.

Pour contourner ce problème, les statisticiens utilisent un instrument (comme un ticket de loterie ou une incitation aléatoire) qui pousse certaines personnes à prendre le médicament sans que leur état de santé ne l'influence directement. C'est la méthode classique.

Mais ce papier pose une question plus subtile : "Est-ce que le médicament fonctionne différemment selon les personnes ?" (Est-ce qu'il est miracle pour les jeunes mais inutile pour les vieux ?). C'est ce qu'on appelle l'hétérogénéité de l'effet.

Les chercheurs (Zhao, Ding, Li) disent : "Attention ! Si vous essayez de mesurer ces différences en ajoutant simplement des interactions mathématiques dans votre modèle, vous risquez de vous tromper complètement, sauf dans des cas très spécifiques."

🍎 L'Analogie du Jardinier et de la Pluie

Pour comprendre le cœur du problème, imaginons un jardinier (le chercheur) qui veut savoir si l'ajout d'engrais (le traitement) fait pousser les tomates.

Le Problème de l'Arrosage (L'Instrument) :
Le jardinier ne peut pas arroser tout le jardin de la même manière. Il utilise un système d'aspersion automatique (l'instrument) qui s'active selon la météo. S'il pleut beaucoup, l'aspersion s'arrête. S'il fait beau, l'aspersion s'active.
- Le piège : Si le jardinier regarde seulement les tomates arrosées, il ne sait pas si elles ont poussé à cause de l'engrais ou parce qu'il y avait moins de pluie (ou l'inverse).
La Méthode "Deux Étapes" (2SLS) :
Pour être sûr, le jardinier utilise une astuce : il regarde d'abord comment l'aspersion a influencé l'arrosage réel, puis comment cet arrosage a influencé la croissance. C'est la méthode standard.
La Nouvelle Question (L'Hétérogénéité) :
Le jardinier veut maintenant savoir : "Est-ce que l'engrais aide plus les tomates rouges que les tomates vertes ?" (C'est l'interaction entre le traitement et les caractéristiques).
Il décide d'ajouter une formule mathématique complexe pour séparer ces effets.

⚠️ Le Grand Avertissement : Le "Piège de la Formule"

C'est ici que le papier fait sa découverte majeure.

Les chercheurs disent : "Si vous utilisez cette formule complexe pour mesurer les différences, vous n'obtiendrez un résultat fiable que si votre système d'aspersion (l'instrument) est extrêmement simple ou très spécial."

Ils ont prouvé mathématiquement que pour que votre calcul soit juste, il faut que l'une de ces deux conditions soit vraie :

Le cas "Categorical" (Les catégories fixes) : Votre jardin n'a que quelques types de sols bien définis (ex: sable, argile, terre noire) et l'aspersion fonctionne de manière prévisible pour chaque type.
Le cas "Aléatoire Pur" : L'aspersion fonctionne totalement au hasard, indépendamment de la météo ou du type de sol.

Si votre jardin est complexe (des sols continus, variables) et que l'aspersion dépend de la météo (ce qui est le cas réel le plus souvent), alors votre formule mathématique va vous donner des résultats faux.

La métaphore du miroir déformant :
Imaginez que vous essayez de mesurer la taille de votre reflet dans un miroir. Si le miroir est droit (cas simple), vous voyez la vérité. Mais si le miroir est courbé d'une manière spécifique (cas complexe avec interactions), votre reflet sera déformé. Le papier dit : "Ne vous fiez pas à votre reflet déformé pour dire que vous avez grandi, sauf si vous savez exactement comment le miroir est courbé."

💡 La Solution Magique : "Le Centre de Gravité"

Heureusement, les chercheurs ne se contentent pas de dire "c'est impossible". Ils proposent une astuce de génie pour sauver la situation.

Au lieu de regarder les tomates brutes, ils suggèrent de soustraire la moyenne de chaque tomate avant de faire le calcul.

Imaginez que vous mesurez la hauteur de chaque tomate par rapport à la hauteur moyenne de son groupe, et non par rapport au sol.
En mathématiques, on appelle cela "démoyenner" (demean) les covariables.

Le résultat ?
Si vous faites cela (enlever la moyenne des caractéristiques avant de calculer), votre formule mathématique redevient fiable ! Elle vous donnera la vraie taille moyenne de l'effet du médicament sur les personnes qui ont effectivement suivi le traitement (les "compliers").

L'analogie culinaire :
Si vous voulez goûter le sel dans une soupe, mais que la soupe est très salée partout, c'est dur de savoir si un ingrédient spécifique apporte du sel.

L'erreur : Goûter la soupe telle quelle.

La solution du papier : Enlever le sel de base (la moyenne) de toute la soupe, puis goûter. Là, vous sentirez exactement la différence apportée par votre ingrédient spécial.

📝 En Résumé pour le Grand Public

Le Contexte : On veut savoir si un traitement (médicament, politique, éducation) fonctionne mieux pour certains groupes que pour d'autres.
Le Problème : Utiliser des modèles statistiques standards avec des "interactions" (pour voir les différences) donne souvent des résultats faux et trompeurs, surtout quand les données ne sont pas parfaites. C'est comme essayer de lire une carte avec une boussole magnétique défectueuse.
La Condition Rare : Pour que ces modèles complexes fonctionnent, il faut des conditions très strictes (comme des catégories fixes ou un hasard total) qui sont rarement réunies dans la vraie vie.
La Bonne Nouvelle : Si vous "nettoyez" vos données en enlevant les moyennes (démoyenner) avant de faire le calcul, vous pouvez retrouver un résultat fiable et comprendre l'effet moyen réel, même dans des situations complexes.

Le message final : Ne vous fiez pas aveuglément aux modèles statistiques complexes qui cherchent à tout expliquer à la fois. Parfois, la méthode la plus simple (enlever les moyennes) est la seule façon de voir la vérité cachée derrière les chiffres.

Titre : Moindres carrés en deux étapes (2SLS) avec interactions traitement-covariables pour l'hétérogénéité de l'effet du traitement

Auteurs : Anqi Zhao, Peng Ding, Fan Li

1. Problématique

Dans les analyses utilisant des variables instrumentales (VI), l'hétérogénéité de l'effet du traitement par rapport aux covariables est fréquente. Une approche intuitive pour modéliser cette hétérogénéité est d'utiliser un modèle de travail linéaire incluant des interactions entre le traitement et les covariables, puis d'estimer ce modèle par la méthode des moindres carrés en deux étapes (2SLS) avec des interactions entre l'instrument et les covariables. Cette méthode est souvent appelée 2SLS interacté.

Cependant, la propriété théorique de cette méthode sous le cadre de l'effet moyen local (LATE) n'avait pas été clarifiée lorsque l'instrument est valide conditionnellement aux covariables (c'est-à-dire que l'instrument n'est pas aléatoire de manière inconditionnelle, mais seulement après contrôle des covariables). La question centrale est de savoir si les coefficients estimés sur les termes d'interaction dans un tel modèle ont une interprétation causale fiable (c'est-à-dire s'ils identifient l'hétérogénéité systématique de l'effet du traitement parmi les « compliants »).

2. Méthodologie et Cadre Théorique

Les auteurs travaillent dans le cadre des résultats potentiels (Imbens et Angrist, 1994) avec les hypothèses standard de validité conditionnelle de l'instrument :

Exogénéité conditionnelle : L'instrument est indépendant des résultats potentiels et du statut de traitement, conditionnellement aux covariables.
Restriction d'exclusion : L'instrument n'affecte le résultat qu'à travers le traitement.
Chevauchement et Pertinence : Probabilité de traitement strictement comprise entre 0 et 1 et effet non nul de l'instrument.
Monotonie forte : Absence de « déviateurs » (defiers).

Le modèle de travail considéré est :
$Y_i = D_i X_i^\top \beta_{DX} + X_i^\top \beta_X + \eta_i$
où $D_i$ est le traitement, $X_i$ le vecteur de covariables, et le terme d'interaction $D_i X_i^\top \beta_{DX}$ capture l'hétérogénéité. L'estimateur 2SLS interacté instrumentalise $D_i X_i$ par $Z_i X_i$ (où $Z_i$ est l'instrument).

3. Contributions Clés et Résultats Principaux

Les auteurs établissent trois résultats fondamentaux concernant l'interprétation causale des coefficients du 2SLS interacté.

A. Condition Nécessaire et Suffisante pour l'Identifiabilité (Théorème 1)

Les auteurs démontrent que les coefficients estimés sur les interactions traitement-covariables ( $\hat{\beta}_{2sls}$ ) sont cohérents pour estimer l'hétérogénéité systématique de l'effet du traitement parmi les compliants ( $\beta_c$ ) si et seulement si une condition spécifique est remplie :

Condition d'interactions linéaires VI-covariables : Le produit de la propension de l'instrument $e(X_i) = P(Z_i=1|X_i)$ et des covariables $X_i$ doit être une fonction linéaire de $X_i$ .
$E(Z_i X_i | X_i) = \text{proj}(Z_i X_i | X_i)$
Si cette condition n'est pas vérifiée, les coefficients du 2SLS interacté ne sont pas cohérents pour l'hétérogénéité de l'effet, même si le modèle de résultat est correctement spécifié. Cela constitue un résultat de « double robustesse » : l'estimation est valide soit si le mécanisme d'assignation de l'instrument satisfait cette condition linéaire, soit si le modèle de résultat est correctement spécifié.

B. Restriction Sévère sur le Mécanisme d'Assignation (Théorème 2)

En supposant que le vecteur de covariables $X_i$ a une dimension $K$ (incluant une constante), les auteurs montrent que la condition d'interactions linéaires est extrêmement restrictive. Elle n'est satisfaite que dans deux cas particuliers :

Covariables catégorielles saturées : Les covariables sont catégorielles avec exactement $K$ niveaux (modèle saturé).
Assignation aléatoire inconditionnelle : L'instrument est aléatoire indépendamment des covariables ( $Z_i \perp X_i$ ).

Implication majeure : Dans le cas général où les covariables sont continues et où l'instrument n'est pas aléatoire de manière inconditionnelle, la condition d'interactions linéaires n'est pas satisfaite. Par conséquent, les coefficients de régression issus de spécifications avec interactions traitement-covariables sont généralement ininterprétables en termes d'hétérogénéité causale, sauf si le modèle de résultat est parfaitement spécifié (ce qui est rare en pratique).

C. Estimation Cohérente du LATE avec Covariables Centrées (Théorème 3)

Bien que l'estimation de l'hétérogénéité ( $\beta_c$ ) soit problématique, les auteurs proposent une application pratique pour estimer l'effet moyen local global (LATE, $\tau_c$ ).

Ils montrent que si l'on utilise le 2SLS interacté avec des covariables centrées (demeaned covariates), le coefficient sur le terme de traitement principal identifie le LATE ( $\tau_c$ ) sous la condition d'interactions linéaires.
Cela contraste avec les procédures 2SLS additives classiques (sans interactions) qui, même avec des covariables saturées, ne récupèrent qu'une moyenne pondérée des LATE conditionnels, qui diffère généralement du LATE global.

4. Extensions

Interactions partielles : Les résultats sont étendus aux cas où l'interaction n'est incluse que pour un sous-ensemble de covariables.
Monotonie faible : Les auteurs relâchent l'hypothèse de monotonie forte (autorisation de déviateurs) et montrent que le 2SLS interacté identifie alors une différence pondérée entre les effets sur les compliants et les déviateurs.
Cas OLS : L'article note que l'OLS est un cas particulier du 2SLS (quand $Z_i = D_i$ ), étendant ainsi la discussion sur l'interprétation des interactions en régression linéaire observationnelle.

5. Signification et Implications

Mise en garde contre l'usage naïf des interactions : L'article met en garde les chercheurs contre l'interprétation automatique des coefficients d'interaction dans les modèles 2SLS comme des mesures d'hétérogénéité de l'effet du traitement. En l'absence de randomisation inconditionnelle de l'instrument ou de covariables purement catégorielles, ces coefficients sont biaisés et ne reflètent pas la variation systématique de l'effet.
Clarification du rôle de la spécification du modèle : L'interprétation causale repose lourdement sur la spécification correcte du mécanisme d'assignation de l'instrument (condition d'interactions linéaires), et non seulement sur la spécification du modèle de résultat.
Solution pratique pour le LATE global : L'article offre une méthode robuste (2SLS interacté avec covariables centrées) pour estimer le LATE global même en présence d'hétérogénéité, à condition que la condition d'interactions linéaires soit vérifiée (ce qui inclut les cas de covariables catégorielles ou d'instruments aléatoires).

En résumé, cet article fournit un avertissement théorique crucial pour l'économétrie appliquée : l'ajout d'interactions dans les modèles 2SLS pour capturer l'hétérogénéité n'est valide que sous des conditions très restrictives sur le mécanisme d'instrumentation, et les chercheurs doivent être extrêmement prudents dans l'interprétation de ces coefficients.