On a problem of Erdos and Hajnal

Sintesi Tecnica: Su un problema di Erdős e Hajnal

Enunciato del Problema
Il saggio affronta una specifica domanda posta da Erdős e Hajnal riguardante la relazione di partizione ordinaria $\lambda^+ \nrightarrow (\lambda^+, (3)_{\text{cf}(\lambda)})^2$. Questa relazione afferma che per ogni colorazione delle coppie di $\lambda^+$ con $\text{cf}(\lambda)$ colori, esiste un triangolo monocromatico o un insieme monocromatico di dimensione $\lambda^+$ (interpretato come un insieme indipendente in termini di teoria dei grafi).

Erdős, Hajnal e Rado hanno stabilito che se $\lambda$ è un cardinale singolare e l'Ipotesi del Continuo Generalizzata (GCH) vale in $\lambda$ (ovvero $2^\lambda = \lambda^+$), allora la relazione negativa $\lambda^+ \nrightarrow (\lambda^+, (3)_{\text{cf}(\lambda)})^2$ è valida. Essi si sono chiesti se l'assunzione $2^\lambda = \lambda^+$ fosse indispensabile. Nello specifico, la Domanda 0.2 chiede se la relazione $\aleph_{\omega+1} \nrightarrow (\aleph_{\omega+1}, (3)_{\aleph_0})^2$ possa essere dimostrata senza assumere la GCH. Sebbene sia noto che la relazione negativa valga se $2^{\text{cf}(\lambda)} \ge \lambda^+$, lo stato della relazione quando $\lambda$ è un cardinale singolare limite forte con $2^\lambda > \lambda^+$ è rimasto aperto.

Metodologia
Gli autori impiegano tre distinte strategie per dimostrare la coerenza della relazione negativa $\lambda^+ \nrightarrow (\lambda^+, (3)_{\text{cf}(\lambda)})^2$ con il fallimento della GCH ($2^\lambda > \lambda^+$) per cardinali singolari limite forte $\lambda$.

1. Argomenti pcf semplici (Sezione 1):
   Il primo approccio utilizza la teoria delle cofinalità possibili (pcf). Gli autori assumono l'esistenza di un cardinale supercompatto $\mu$ e forzano un modello in cui $\mu$ diventi un cardinale singolare limite forte. Costruiscono una sequenza illimitata di cardinali regolari $(\mu_i \mid i \in \theta)$ al di sotto di $\mu$ tali che $\text{tcf}(\prod \mu_i^+, J_{\text{bd}}^\theta) = \mu^+$. Assumendo la GCH al di sotto di $\mu$ (specificamente $2^{\mu_i} = \mu_i^+$), ottengono relazioni di partizione negative in ogni $\mu_i^+$. Utilizzando una scala nel prodotto e una specifica costruzione di colorazione, elevano queste relazioni negative locali a $\mu^+$.

   • Limitazione: Questo metodo richiede che $\mu$ sia un limite di cardinali singolari della stessa cofinalità. Di conseguenza, si applica a cardinali come $\aleph_{\omega_2}$ ma fallisce per $\aleph_\omega$, che non ha cardinali singolari al di sotto di sé.

2. Argomenti pcf raffinati per $\aleph_\omega$ (Sezione 2):
   Per affrontare il caso $\lambda = \aleph_\omega$, gli autori raffinano l'approccio pcf per gestire cardinali regolari (specificamente $\aleph_n$) piuttosto che solo successori di singolari.

   • Claim 2.1: Dimostrano che, per regolare $\kappa < \lambda$, esiste una colorazione $c: [\lambda]^2 \to \{0,1\}$ e un filtro $\kappa$-completo $D$ tali che non vi siano triangoli 1-monocromatici e non vi siano insiemi 0-monocromatici di dimensione $\lambda$ modulo $D$.
   • Strategia di Forcing: Utilizzano un concetto di forcing strategicamente chiuso $(<\lambda)$ per costruire una scala che soddisfi specifiche proprietà di filtro (Lemma 2.3). Utilizzano poi una preparazione in stile Laver (Lemma 2.5) per rendere un cardinale supercompatto indistruttibile sotto questo specifico forcing. Infine, utilizzano un forcing Prikry basato su estender (Extender-based) con collassi intercalati (seguendo Merimovich) per singolarizzare $\lambda$ in $\aleph_\omega$ aumentando al contempo $2^\lambda$ a $\lambda^{++}$. Ciò preserva la necessaria struttura pcf e le relazioni negative derivate dal modello di base.

3. Principi di Predizione (Stick) (Sezione 3):
   Il terzo approccio sostituisce le assunzioni pcf con il principio "stick", denotato $\bullet(\lambda)$. Questo principio asserisce l'esistenza di una famiglia di sottoinsiemi di $\lambda^+$ di dimensione $\lambda$ che "indovina" ogni sottoinsieme di $\lambda^+$ di dimensione $\lambda^+$ (ovvero, per ogni $A \in [\lambda^+]^{\lambda^+}$, esiste un $B$ nella famiglia tale che $B \subseteq A$).

   • Teorema 3.3: Gli autori dimostrano che se $\bullet(\lambda)$ è valido, allora $\lambda^+ \nrightarrow (\lambda^+, (3)_{\text{cf}(\lambda)})^2$. La dimostrazione costruisce una partizione di $[\lambda^+]^2$ basata su mappature di insiemi derivate dalla sequenza stick e un lemma sugli insiemi liberi (Lemma 3.2).
   • Vincolo: La dimostrazione dipende criticamente dal fatto che gli insiemi di indovinamento abbiano dimensione $\lambda$. Gli autori notano che è attualmente ignoto se $\bullet(\lambda)$ sia coerente con $2^\lambda > \lambda^+$ quando $\lambda$ è un cardinale singolare limite forte.

Contributi Chiave e Risultati

• Coerenza della Relazione Negativa con $2^\lambda > \lambda^+$: Il saggio stabilisce che la relazione di partizione negativa $\lambda^+ \nrightarrow (\lambda^+, (3)_{\text{cf}(\lambda)})^2$ è coerente con il fatto che $\lambda$ sia un cardinale singolare limite forte e $2^\lambda > \lambda^+$.
• Risoluzione per $\aleph_\omega$: Gli autori riescono a spingere il risultato fino a $\lambda = \aleph_\omega$ (Teorema 2.2 e il successivo costrutto di forcing), rispondendo alla specifica istanza della domanda di Erdős-Hajnal per il primo cardinale singolare infinito.
• Assunzioni di Grandi Cardinali: Le dimostrazioni di coerenza si basano sull'esistenza di grandi cardinali (supercompatti o forti). Nello specifico, il risultato per $\aleph_\omega$ è derivato da un cardinale supercompatto nel modello di base, che viene singolarizzato tramite forcing di tipo Prikry.
• Indistruttibilità: Il saggio fornisce una modifica della dimostrazione di indistruttibilità di Laver (Lemma 2.4, Lemma 2.5) per mostrare che la supercompattezza può essere preservata sotto concetti di forcing strategicamente chiusi $(<\lambda)$, il che è cruciale per la costruzione pcf.

Significato e Domande Aperte
Il saggio dimostra che l'assunzione $2^\lambda = \lambda^+$ nel teorema di Erdős-Hajnal non è necessaria per la coerenza della relazione negativa; la relazione può valere anche quando la GCH fallisce in $\lambda$. Tuttavia, gli autori dichiarano esplicitamente di non sapere se la relazione valga in ZFC (ovvero senza assunzioni di grandi cardinali).

Il saggio si conclude con diverse domande aperte:

1. È coerente che $\lambda$ sia un cardinale singolare limite forte e che la relazione positiva $\lambda^+ \to (\lambda^+, (3)_{\text{cf}(\lambda)})^2$ valga?
2. Qual è l'esatta forza di coerenza della relazione negativa con $2^\lambda > \lambda^+$ per $\lambda = \aleph_\omega$? (Il saggio utilizza un cardinale supercompatto, mentre il lavoro di Gitik sulla violazione di SCH richiede solo $o(\kappa) = \kappa^{++}$).
3. È coerente che $\lambda$ sia supercompatto, che $\bullet(\lambda)$ sia valido e che $2^\lambda > \lambda^+$? Ciò unificherebbe l'approccio basato su stick con il fallimento della GCH.

Gli autori sottolineano che, sebbene esistano metodi potenti per i successori di cardinali singolari, questo specifico problema riguardante l'indipendenza della GCH in questa relazione di partizione rimane una sfida significativa, e il loro lavoro fornisce i primi risultati di coerenza per il fallimento della GCH in questo contesto.