On a problem of Erdos and Hajnal

Résumé Technique : Sur un problème d'Erdős et Hajnal

Énoncé du Problème
L'article traite d'une question spécifique posée par Erdős et Hajnal concernant la relation de partition ordinaire $\lambda^+ \nrightarrow (\lambda^+, (3)_{\text{cf}(\lambda)})^2$. Cette relation affirme que pour tout coloriage des paires de $\lambda^+$ avec $\text{cf}(\lambda)$ couleurs, il existe soit un triangle monochromatique, soit un ensemble monochromatique de taille $\lambda^+$ (interprété comme un ensemble indépendant en théorie des graphes).

Erdős, Hajnal et Rado ont établi que si $\lambda$ est un cardinal singulier et que l'Hypothèse du Continu Généralisée (GCH) est vérifiée en $\lambda$ (c'est-à-dire $2^\lambda = \lambda^+$), alors la relation négative $\lambda^+ \nrightarrow (\lambda^+, (3)_{\text{cf}(\lambda)})^2$ est vérifiée. Ils ont demandé si l'hypothèse $2^\lambda = \lambda^+$ est indispensable. Plus précisément, la Question 0.2 demande si la relation $\aleph_{\omega+1} \nrightarrow (\aleph_{\omega+1}, (3)_{\aleph_0})^2$ peut être prouvée sans supposer la GCH. Bien qu'il soit connu que la relation négative est vérifiée si $2^{\text{cf}(\lambda)} \ge \lambda^+$, le statut de la relation lorsque $\lambda$ est un cardinal singulier limite forte et que $2^\lambda > \lambda^+$ est resté ouvert.

Méthodologie
Les auteurs emploient trois stratégies distinctes pour démontrer la cohérence de la relation négative $\lambda^+ \nrightarrow (\lambda^+, (3)_{\text{cf}(\lambda)})^2$ avec la défaillance de la GCH ($2^\lambda > \lambda^+$) pour les cardinaux singuliers limites fortes $\lambda$.

1. Arguments pcf simples (Section 1) :
   La première approche utilise la théorie des cofinalités possibles (pcf). Les auteurs supposent l'existence d'un cardinal supercompact $\mu$ et forcent un modèle où $\mu$ devient un cardinal singulier limite fort. Ils construisent une suite non bornée de cardinaux réguliers $(\mu_i \mid i \in \theta)$ en dessous de $\mu$ telle que $\text{tcf}(\prod \mu_i^+, J_{\text{bd}}^\theta) = \mu^+$. En supposant la GCH en dessous de $\mu$ (spécifiquement $2^{\mu_i} = \mu_i^+$), ils obtiennent des relations de partition négatives à chaque $\mu_i^+$. En utilisant une échelle dans le produit et une construction de coloriage spécifique, ils élèvent ces relations négatives locales à $\mu^+$.

   • Limite : Cette méthode nécessite que $\mu$ soit une limite de cardinaux singuliers de même cofinalité. Par conséquent, elle s'applique à des cardinaux comme $\aleph_{\omega_2}$ mais échoue pour $\aleph_\omega$, qui n'a pas de cardinaux singuliers en dessous de lui.

2. Arguments pcf raffinés pour $\aleph_\omega$ (Section 2) :
   Pour traiter le cas $\lambda = \aleph_\omega$, les auteurs raffinent l'approche pcf pour gérer les cardinaux réguliers (spécifiquement $\aleph_n$) plutôt que seulement les successeurs de singuliers.

   • Claim 2.1 : Ils prouvent que pour un $\kappa$ régulier $<\lambda$, il existe un coloriage $c: [\lambda]^2 \to \{0,1\}$ et un filtre $\kappa$-complet $D$ tels qu'il n'existe pas de triangles 1-monochromatiques et pas d'ensembles 0-monochromatiques de taille $\lambda$ modulo $D$.
   • Stratégie de Forçage : Ils utilisent un morphisme de forçage stratégiquement fermé $(<\lambda)$ pour construire une échelle satisfaisant des propriétés de filtre spécifiques (Lemme 2.3). Ils emploient ensuite une préparation de type Laver (Lemme 2.5) pour rendre un cardinal supercompact indestructible sous ce forçage spécifique. Enfin, ils utilisent un forçage de Prikry basé sur des extendeurs avec des effondrements entrelacés (suivant Merimovich) pour singulariser $\lambda$ en $\aleph_\omega$ tout en augmentant $2^\lambda$ à $\lambda^{++}$. Cela préserve la structure pcf nécessaire et les relations négatives dérivées du modèle de base.

3. Principes de Prédiction (Stick) (Section 3) :
   La troisième approche remplace les hypothèses pcf par le principe « stick », noté $\bullet(\lambda)$. Ce principe affirme l'existence d'une famille de sous-ensembles de $\lambda^+$ de taille $\lambda$ qui « devine » chaque sous-ensemble de $\lambda^+$ de taille $\lambda^+$ (c'est-à-dire que pour tout $A \in [\lambda^+]^{\lambda^+}$, il existe un $B$ dans la famille tel que $B \subseteq A$).

   • Théorème 3.3 : Les auteurs prouvent que si $\bullet(\lambda)$ est vérifié, alors $\lambda^+ \nrightarrow (\lambda^+, (3)_{\text{cf}(\lambda)})^2$. La preuve construit une partition de $[\lambda^+]^2$ basée sur des applications d'ensembles dérivées de la séquence stick et un lemme sur les ensembles libres (Lemme 3.2).
   • Contrainte : La preuve repose de manière critique sur le fait que les ensembles de devinette ont une taille $\lambda$. Les auteurs notent qu'il est actuellement inconnu si $\bullet(\lambda)$ est cohérent avec $2^\lambda > \lambda^+$ quand $\lambda$ est un cardinal singulier limite fort.

Contributions Clés et Résultats

• Cohérence de la Relation Négative avec $2^\lambda > \lambda^+$ : L'article établit que la relation de partition négative $\lambda^+ \nrightarrow (\lambda^+, (3)_{\text{cf}(\lambda)})^2$ est cohérente avec le fait que $\lambda$ soit un cardinal singulier limite fort et que $2^\lambda > \lambda^+$.
• Résolution pour $\aleph_\omega$ : Les auteurs parviennent avec succès à descendre le résultat jusqu'à $\lambda = \aleph_\omega$ (Théorème 2.2 et la construction de forçage subséquente), répondant à l'instance spécifique de la question d'Erdős-Hajnal pour le premier cardinal singulier infini.
• Hypothèses de Grands Cardinaux : Les preuves de cohérence reposent sur l'existence de grands cardinaux (supercompacts ou forts). Spécifiquement, le résultat pour $\aleph_\omega$ est dérivé d'un cardinal supercompact dans le modèle de base, qui est singularisé via un forçage de type Prikry.
• Indestructibilité : L'article fournit une modification de la preuve d'indestructibilité de Laver (Lemme 2.4, Lemme 2.5) pour montrer que la supercompactitude peut être préservée sous des morphismes de forçage stratégiquement fermés $(<\lambda)$, ce qui est crucial pour la construction pcf.

Signification et Questions Ouvertes
L'article démontre que l'hypothèse $2^\lambda = \lambda^+$ dans le théorème d'Erdős-Hajnal n'est pas nécessaire pour la cohérence de la relation négative ; la relation peut tenir même lorsque la GCH échoue en $\lambda$. Cependant, les auteurs déclarent explicitement qu'ils ne savent pas si la relation est vérifiée dans ZFC (c'est-à-dire sans hypothèses de grands cardinaux).

L'article conclut par plusieurs questions ouvertes :

1. Est-il cohérent que $\lambda$ soit un cardinal singulier limite fort et que la relation positive $\lambda^+ \to (\lambda^+, (3)_{\text{cf}(\lambda)})^2$ soit vérifiée ?
2. Quelle est la force de cohérence exacte de la relation négative avec $2^\lambda > \lambda^+$ pour $\lambda = \aleph_\omega$ ? (L'article utilise un cardinal supercompact, alors que le travail de Gitik sur la défaillance de SCH ne nécessite que $o(\kappa) = \kappa^{++}$).
3. Est-il cohérent que $\lambda$ soit supercompact, que $\bullet(\lambda)$ soit vérifié, et que $2^\lambda > \lambda^+$ ? Cela unifierait l'approche basée sur le principe stick avec la défaillance de la GCH.

Les auteurs soulignent que bien que des méthodes puissantes existent pour les successeurs de cardinaux singuliers, ce problème spécifique concernant l'indépendance de la GCH dans cette relation de partition reste un défi important, et leur travail fournit les premiers résultats de cohérence pour la défaillance de la GCH dans ce contexte.