On a problem of Erdos and Hajnal

Resumo Técnico: Sobre um Problema de Erdős e Hajnal

Enunciado do Problema
O artigo aborda uma questão específica formulada por Erdős e Hajnal referente à relação de partição comum $\lambda^+ \nrightarrow (\lambda^+, (3)_{\text{cf}(\lambda)})^2$. Esta relação afirma que, para qualquer coloração dos pares de $\lambda^+$ com $\text{cf}(\lambda)$ cores, existe um triângulo monocromático ou um conjunto monocromático de tamanho $\lambda^+$ (interpretado como um conjunto independente em teoria dos grafos).

Erdős, Hajnal e Rado estabeleceram que, se $\lambda$ é um cardinal singular e a Hipótese do Contínuo Generalizada (GCH) é válida em $\lambda$ (ou seja, $2^\lambda = \lambda^+$), então a relação negativa $\lambda^+ \nrightarrow (\lambda^+, (3)_{\text{cf}(\lambda)})^2$ ocorre. Eles perguntaram se a suposição $2^\lambda = \lambda^+$ é indispensável. Especificamente, a Questão 0.2 indaga se a relação $\aleph_{\omega+1} \nrightarrow (\aleph_{\omega+1}, (3)_{\aleph_0})^2$ pode ser provada sem assumir a GCH. Embora se saiba que a relação negativa ocorre se $2^{\text{cf}(\lambda)} \ge \lambda^+$, o status da relação quando $\lambda$ é um cardinal singular limite forte com $2^\lambda > \lambda^+$ permanecia em aberto.

Metodologia
Os autores empregam três estratégias distintas para demonstrar a consistência da relação negativa $\lambda^+ \nrightarrow (\lambda^+, (3)_{\text{cf}(\lambda)})^2$ com a falha da GCH ($2^\lambda > \lambda^+$) para cardinais singulares limite fortes $\lambda$.

1. Argumentos Simples de pcf (Seção 1):
   A primeira abordagem utiliza a teoria das cofinalidades possíveis (pcf). Os autores assumem a existência de um cardinal supercompacto $\mu$ e forçam um modelo onde $\mu$ se torna um cardinal singular limite forte. Eles constroem uma sequência ilimitada de cardinais regulares $(\mu_i \mid i \in \theta)$ abaixo de $\mu$ tal que $\text{tcf}(\prod \mu_i^+, J_{\text{bd}}^\theta) = \mu^+$. Ao assumir a GCH abaixo de $\mu$ (especificamente $2^{\mu_i} = \mu_i^+$), eles obtêm relações de partição negativas em cada $\mu_i^+$. Usando uma escala no produto e uma construção de coloração específica, eles elevam essas relações negativas locais para $\mu^+$.

   • Limitação: Este método exige que $\mu$ seja um limite de cardinais singulares da mesma cofinalidade. Consequentemente, aplica-se a cardinais como $\aleph_{\omega_2}$, mas falha para $\aleph_\omega$, que não possui cardinais singulares abaixo dele.

2. Argumentos de pcf Refinados para $\aleph_\omega$ (Seção 2):
   Para abordar o caso de $\lambda = \aleph_\omega$, os autores refinam a abordagem pcf para lidar com cardinais regulares (especificamente $\aleph_n$) em vez de apenas sucessores de singulares.

   • Alegação 2.1: Eles provam que, para um $\kappa$ regular $< \lambda$, existe uma coloração $c: [\lambda]^2 \to \{0,1\}$ e um filtro $\kappa$-completo $D$ tal que não existem triângulos 1-monocromáticos e não existem conjuntos 0-monocromáticos de tamanho $\lambda$ módulo $D$.
   • Estratégia de Forçamento: Eles utilizam um notion de forçamento estrategicamente fechado em $(<\lambda)$ para construir uma escala que satisfaça propriedades de filtro específicas (Lema 2.3). Em seguida, empregam uma preparação estilo Laver (Lema 2.5) para tornar um cardinal supercompacto indestrutível sob este forçamento específico. Finalmente, utilizam o Forçamento de Prikry baseado em Extender com colapsos intercalados (seguindo Merimovich) para singularizar $\lambda$ para $\aleph_\omega$ enquanto aumentam $2^\lambda$ para $\lambda^{++}$. Isso preserva a estrutura pcf necessária e as relações negativas derivadas do modelo base.

3. Princípios de Predição (Stick) (Seção 3):
   A terceira abordagem substitui as suposições de pcf pelo princípio "stick", denotado por $\bullet(\lambda)$. Este princípio afirma a existência de uma família de subconjuntos de $\lambda^+$ de tamanho $\lambda$ que "adivinha" todo subconjunto de $\lambda^+$ de tamanho $\lambda^+$ (ou seja, para todo $A \in [\lambda^+]^{\lambda^+}$, existe um $B$ na família tal que $B \subseteq A$).

   • Teorema 3.3: Os autores provam que, se $\bullet(\lambda)$ for válido, então $\lambda^+ \nrightarrow (\lambda^+, (3)_{\text{cf}(\lambda)})^2$. A prova constrói uma partição de $[\lambda^+]^2$ baseada em mapeamentos de conjuntos derivados da sequência stick e um lema de conjunto livre (Lema 3.2).
   • Restrição: A prova depende criticamente de os conjuntos de adivinhação terem tamanho $\lambda$. Os autores observam que atualmente é desconhecido se $\bullet(\lambda)$ é consistente com $2^\lambda > \lambda^+$ quando $\lambda$ é um cardinal singular limite forte.

Contribuições Principais e Resultados

• Consistência da Relação Negativa com $2^\lambda > \lambda^+$: O artigo estabelece que a relação de partição negativa $\lambda^+ \nrightarrow (\lambda^+, (3)_{\text{cf}(\lambda)})^2$ é consistente com $\lambda$ sendo um cardinal singular limite forte e $2^\lambda > \lambda^+$.
• Resolução para $\aleph_\omega$: Os autores conseguem levar o resultado até $\lambda = \aleph_\omega$ (Teorema 2.2 e a subsequente construção de forçamento), respondendo à instância específica da questão de Erdős-Hajnal para o primeiro cardinal singular infinito.
• Suposições de Grandes Cardinais: As provas de consistência dependem da existência de grandes cardinais (supercompactos ou fortes). Especificamente, o resultado para $\aleph_\omega$ é derivado de um cardinal supercompacto no modelo base, que é singularizado via forçamento do tipo Prikry.
• Indestrutibilidade: O artigo fornece uma modificação da prova de indestrutibilidade de Laver (Lema 2.4, Lema 2.5) para mostrar que a supercompactação pode ser preservada sob notion de forçamento estrategicamente fechado em $(<\lambda)$, o que é crucial para a construção pcf.

Significado e Questões Abertas
O artigo demonstra que a suposição $2^\lambda = \lambda^+$ na teorema de Erdős-Hajnal não é necessária para a consistência da relação negativa; a relação pode ocorrer mesmo quando a GCH falha em $\lambda$. No entanto, os autores afirmam explicitamente que não sabem se a relação ocorre em ZFC (ou seja, sem suposições de grandes cardinais).

O artigo conclui com várias questões abertas:

1. É consistente que $\lambda$ seja um cardinal singular limite forte e a relação positiva $\lambda^+ \to (\lambda^+, (3)_{\text{cf}(\lambda)})^2$ ocorra?
2. Qual é a força de consistência exata da relação negativa com $2^\lambda > \lambda^+$ para $\lambda = \aleph_\omega$? (O artigo utiliza um cardinal supercompacto, enquanto o trabalho de Gitik sobre a falha da SCH requer apenas $o(\kappa) = \kappa^{++}$).
3. É consistente que $\lambda$ seja supercompacto, $\bullet(\lambda)$ seja válido e $2^\lambda > \lambda^+$? Isso unificaria a abordagem baseada em stick com a falha da GCH.

Os autores enfatizam que, embora existam métodos poderosos para sucessores de singulares, este problema específico sobre a independência da GCH nesta relação de partição permanece um desafio significativo, e o trabalho deles fornece os primeiros resultados de consistência para a falha da GCH neste contexto.