On a problem of Erdos and Hajnal

Resumen Técnico: Sobre un problema de Erdős y Hajnal

Planteamiento del Problema
El artículo aborda una pregunta específica planteada por Erdős y Hajnal con respecto a la relación de partición ordinaria $\lambda^+ \nrightarrow (\lambda^+, (3)_{\text{cf}(\lambda)})^2$. Esta relación afirma que para cualquier coloración de los pares de $\lambda^+$ con $\text{cf}(\lambda)$ colores, existe un triángulo monocromático o un conjunto monocromático de tamaño $\lambda^+$ (interpretado como un conjunto independiente en teoría de grafos).

Erdős, Hajnal y Rado establecieron que si $\lambda$ es un cardinal singular y la Hipótesis del Continuo Generalizada (GCH) se cumple en $\lambda$ (es decir, $2^\lambda = \lambda^+$), entonces la relación negativa $\lambda^+ \nrightarrow (\lambda^+, (3)_{\text{cf}(\lambda)})^2$ se cumple. Preguntaron si el supuesto $2^\lambda = \lambda^+$ es indispensable. Específicamente, la Pregunta 0.2 cuestiona si la relación $\aleph_{\omega+1} \nrightarrow (\aleph_{\omega+1}, (3)_{\aleph_0})^2$ puede probarse sin asumir GCH. Si bien se sabe que la relación negativa se cumple si $2^{\text{cf}(\lambda)} \ge \lambda^+$, el estatus de la relación cuando $\lambda$ es un cardinal singular límite fuerte con $2^\lambda > \lambda^+$ permanecía abierto.

Metodología
Los autores emplean tres estrategias distintas para demostrar la consistencia de la relación negativa $\lambda^+ \nrightarrow (\lambda^+, (3)_{\text{cf}(\lambda)})^2$ con el fallo de GCH ($2^\lambda > \lambda^+$) para cardinales singulares límite fuertes $\lambda$.

1. Argumentos simples de pcf (Sección 1):
   El primer enfoque utiliza la teoría de cofinalidades posibles (pcf). Los autores asumen la existencia de un cardinal supercompacto $\mu$ y fuerzan un modelo donde $\mu$ se convierte en un cardinal singular límite fuerte. Construyen una secuencia no acotada de cardinales regulares $(\mu_i \mid i \in \theta)$ por debajo de $\mu$ tal que $\text{tcf}(\prod \mu_i^+, J_{\text{bd}}^\theta) = \mu^+$. Al asumir GCH por debajo de $\mu$ (específicamente $2^{\mu_i} = \mu_i^+$), obtienen relaciones de partición negativas en cada $\mu_i^+$. Utilizando una escala en el producto y una construcción de coloración específica, elevan estas relaciones negativas locales a $\mu^+$.

• Limitación: Este método requiere que $\mu$ sea un límite de cardinales singulares de la misma cofinalidad. Consecuentemente, se aplica a cardinales como $\aleph_{\omega_2}$ pero falla para $\aleph_\omega$, que no tiene cardinales singulares por debajo.

2. Argumentos de pcf refinados para $\aleph_\omega$ (Sección 2):
   Para abordar el caso de $\lambda = \aleph_\omega$, los autores refinan el enfoque de pcf para manejar cardinales regulares (específicamente $\aleph_n$) en lugar de solo sucesores de singulares.

• Afirmación 2.1: Prueban que para un regular $\kappa < \lambda$, existe una coloración $c: [\lambda]^2 \to \{0,1\}$ y un filtro $\kappa$-completo $D$ tales que no hay triángulos 1-monocromáticos y no hay conjuntos 0-monocromáticos de tamaño $\lambda$ módulo $D$.
• Estrategia de Forzamiento: Utilizan un noción de forzamiento estratégicamente cerrada bajo $(<\lambda)$ para construir una escala que satisfaga propiedades de filtro específicas (Lema 2.3). Luego emplean una preparación de estilo Laver (Lema 2.5) para hacer que un cardinal supercompacto $\lambda$ sea indestructible bajo este forzamiento específico. Finalmente, utilizan un forzamiento de Prikry basado en Extenders con colapsos entrelazados (siguiendo a Merimovich) para singularizar $\lambda$ a $\aleph_\omega$ mientras aumentan $2^\lambda$ a $\lambda^{++}$. Esto preserva la estructura pcf necesaria y las relaciones negativas derivadas del modelo base.

3. Principios de Predicción (Stick) (Sección 3):
   El tercer enfoque reemplaza los supuestos de pcf con el principio "stick", denotado como $\bullet(\lambda)$. Este principio afirma la existencia de una familia de subconjuntos de $\lambda^+$ de tamaño $\lambda$ que "adivina" cada subconjunto de $\lambda^+$ de tamaño $\lambda^+$ (es decir, para cada $A \in [\lambda^+]^{\lambda^+}$, existe un $B$ en la familia tal que $B \subseteq A$).

• Teorema 3.3: Los autores prueban que si $\bullet(\lambda)$ se cumple, entonces $\lambda^+ \nrightarrow (\lambda^+, (3)_{\text{cf}(\lambda)})^2$. La prueba construye una partición de $[\lambda^+]^2$ basada en mapeos de conjuntos derivados de la secuencia stick y un lema de conjunto libre (Lema 3.2).
• Restricción: La prueba depende críticamente de que los conjuntos de adivinación tengan tamaño $\lambda$. Los autores señalan que actualmente se desconoce si $\bullet(\lambda)$ es consistente con $2^\lambda > \lambda^+$ cuando $\lambda$ es un cardinal singular límite fuerte.

Contribuciones Clave y Resultados

• Consistencia de la Relación Negativa con $2^\lambda > \lambda^+$: El artículo establece que la relación de partición negativa $\lambda^+ \nrightarrow (\lambda^+, (3)_{\text{cf}(\lambda)})^2$ es consistente con que $\lambda$ sea un cardinal singular límite fuerte y $2^\lambda > \lambda^+$.
• Resolución para $\aleph_\omega$: Los autores logran llevar el resultado hacia abajo hasta $\lambda = \aleph_\omega$ (Teorema 2.2 y la subsiguiente construcción de forzamiento), respondiendo a la instancia específica de la pregunta de Erdős-Hajnal para el primer cardinal singular infinito.
• Supuestos de Grandes Cardinales: Las demostraciones de consistencia dependen de la existencia de grandes cardinales (supercompactos o fuertes). Específicamente, el resultado para $\aleph_\omega$ se deriva de un cardinal supercompacto en el modelo base, el cual es singularizado mediante un forzamiento de tipo Prikry.
• Indestructibilidad: El artículo proporciona una modificación de la prueba de indestructibilidad de Laver (Lema 2.4, Lema 2.5) para mostrar que la supercompacidad puede preservarse bajo nociones de forzamiento estratégicamente cerradas bajo $(<\lambda)$, lo cual es crucial para la construcción pcf.

Significado y Preguntas Abiertas
El artículo demuestra que el supuesto $2^\lambda = \lambda^+$ en el teorema de Erdős-Hajnal no es necesario para la consistencia de la relación negativa; la relación puede cumplirse incluso cuando GCH falla en $\lambda$. Sin embargo, los autores declaran explícitamente que no saben si la relación se cumple en ZFC (es decir, sin supuestos de grandes cardinales).

El artículo concluye con varias preguntas abiertas:

1. ¿Es consistente que $\lambda$ sea un cardinal singular límite fuerte y que la relación positiva $\lambda^+ \to (\lambda^+, (3)_{\text{cf}(\lambda)})^2$ se cumpla?
2. ¿Cuál es la fuerza de consistencia exacta de la relación negativa con $2^\lambda > \lambda^+$ para $\lambda = \aleph_\omega$? (El artículo utiliza un cardinal supercompacto, mientras que el trabajo de Gitik sobre el fallo de SCH requiere solo $o(\kappa) = \kappa^{++}$).
3. ¿Es consistente que $\lambda$ sea supercompacto, $\bullet(\lambda)$ se cumpla y $2^\lambda > \lambda^+$? Esto unificaría el enfoque basado en stick con el fallo de GCH.

Los autores enfatizan que, si bien existen métodos poderosos para los sucesores de singulares, este problema específico sobre la independencia de GCH en esta relación de partición sigue siendo un desafío significativo, y su trabajo proporciona los primeros resultados de consistencia para el fallo de GCH en este contexto.