Euclid preparation. Full-shape modelling of 2-point and 3-point correlation functions in real space

Titolo: Euclid preparation. Full-shape modelling of 2-point and 3-point correlation functions in real space

Autori: Euclid Collaboration (Guidi et al.)
Data: Giugno 2025

1. Il Problema

La missione Euclid, insieme ad altre survey di Stage IV come DESI e Rubin, mapperà la struttura su larga scala dell'universo con una precisione senza precedenti. Per sfruttare appieno questi dati, è necessario passare dall'analisi delle sole oscillazioni acustiche barioniche (BAO) a un'analisi "full-shape" (di forma completa) delle funzioni di correlazione, che include informazioni su tutte le scale e sui parametri cosmologici.

Il problema centrale affrontato in questo lavoro è la validazione e l'applicazione di modelli perturbativi per le funzioni di correlazione a due punti (2PCF) e a tre punti (3PCF) nello spazio reale.

• Mentre l'analisi della 2PCF (o dello spettro di potenza) è ormai standard, l'inclusione della 3PCF (o bispettro) è complessa a causa dell'enorme costo computazionale per la valutazione del modello teorico e della stima della statistica su grandi dataset.
• Esiste un bisogno critico di determinare il range di validità dei modelli perturbativi (in particolare l'espansione del bias e la teoria delle perturbazioni cosmologiche) quando applicati a dati sintetici che mimano il campione spettroscopico di Euclid, al fine di evitare errori sistematici nella stima dei parametri cosmologici.
• È necessario sviluppare strumenti efficienti (emulatori) per permettere l'analisi congiunta (joint analysis) di 2PCF e 3PCF in uno spazio dei parametri cosmologici completo.

2. Metodologia

Gli autori hanno utilizzato una combinazione di simulazioni N-body, modelli teorici perturbativi e tecniche di machine learning (emulatori).

• Dati di Input: Sono stati utilizzati quattro "snapshot" (istantanee temporali) della simulazione Flagship I (codice PKDGRAV3) a redshift $z = \{0.9, 1.2, 1.5, 1.8\}$. Le galassie sono state assegnate agli aloni di materia oscura utilizzando una distribuzione di occupazione degli aloni (HOD) basata sul "Model 3" di Pozzetti et al., progettata per riprodurre il campione di galassie emettitrici di H$\alpha$ atteso per Euclid.
• Modelli Teorici:
  • 2PCF: Modellata a ordine successivo al leading (NLO) nell'ambito della Teoria del Campo Effettivo della Struttura su Larga Scala (EFTofLSS). Include termini di bias lineare ($b_1$), quadratico ($b_2$), non locali ($b_{G2}, b_{\Gamma3}$) e termini di controtermine EFT ($c_0$).
  • 3PCF: Modellata al livello "tree-level" (albero) della teoria delle perturbazioni, dipendente dai parametri di bias.
  • Riassomazione Infrarossa: È stata applicata per trattare correttamente lo smearing delle oscillazioni acustiche barioniche (BAO) dovuto all'evoluzione non lineare.
• Stima delle Statistiche:
  • La 2PCF è stata stimata con l'estimatore naturale.
  • La 3PCF è stata stimata utilizzando l'estimatore basato sulla decomposizione in armoniche sferiche (SHD) introdotto da Slepian & Eisenstein, che riduce la complessità computazionale da $O(N_g^3)$ a $O(N_g^2)$. Per mitigare le inefficienze nelle configurazioni isosceli, è stato introdotto un parametro di taglio $\eta_{min}$ che esclude i triangoli quasi isosceli.
• Emulatore: È stato sviluppato un emulatore basato su PyTorch in grado di generare rapidamente previsioni per 2PCF e 3PCF in funzione di tre parametri cosmologici ($A_s$, $\omega_{cdm}$, $h$) e dei parametri di bias. Questo permette un campionamento efficiente della funzione di verosimiglianza (likelihood) su spazi parametrici multidimensionali.
• Analisi Statistica: È stata eseguita un'analisi di verosimiglianza congiunta (joint likelihood) utilizzando il codice emcee. Sono stati valutati tre metriche di performance:
  1. Goodness of Fit (GoF): Valutata tramite $\chi^2$.
  2. Figure of Bias (FoB): Misura la deviazione sistematica dei parametri recuperati rispetto ai valori fiduciali.
  3. Figure of Merit (FoM): Misura la capacità vincolante (precisione) del modello.

3. Contributi Chiave

1. Prima Analisi Full-Shape Congiunta: Questo lavoro presenta la prima analisi "full-shape" congiunta di 2PCF e 3PCF nello spazio reale per vincolare parametri cosmologici, superando i precedenti studi basati solo su fitting di template (BAO).
2. Sviluppo dell'Emulatore: La creazione di un emulatore robusto e veloce per la 3PCF in configurazione spaziale, che risolve il collo di bottiglia computazionale che ha finora impedito analisi di precisione su larga scala.
3. Validazione del Range di Validità: Determinazione precisa delle scale minime ($r_{min}$) e delle configurazioni geometriche ($\eta_{min}$) entro cui il modello perturbativo rimane valido senza introdurre bias significativi.
4. Studio delle Relazioni di Bias: Valutazione dell'impatto dell'uso di relazioni fisiche tra i parametri di bias (es. $b_{G2}(b_1)$) sulla riduzione dello spazio dei parametri e sulla precisione dei risultati cosmologici.

4. Risultati Principali

• Validità del Modello:
  • Il modello perturbativo mostra un buon accordo con i dati fino a scale di separazione di 20 $h^{-1}$ Mpc per la 2PCF.
  • Per la 3PCF, la validità dipende fortemente dalle configurazioni triangolari. Quando si escludono le configurazioni quasi isosceli con $\eta_{min} = 3$, il modello è valido fino a 30 $h^{-1}$ Mpc. Se si includono configurazioni più vicine all'isoscele ($\eta_{min} = 1$), la validità si restringe a scale maggiori (> 40 $h^{-1}$ Mpc) per evitare bias.
• Vincoli Cosmologici:
  • L'analisi congiunta 2PCF+3PCF permette di vincolare con successo i parametri $A_s$ (ampiezza delle perturbazioni), $\omega_{cdm}$ (densità di materia oscura) e $h$ (costante di Hubble).
  • L'inclusione della 3PCF rompe efficacemente la degenerazione tra il parametro di bias lineare $b_1$ e l'ampiezza delle perturbazioni $A_s$, migliorando la precisione rispetto all'uso della sola 2PCF.
  • A redshift più bassi ($z=0.9$), la densità maggiore delle galassie porta a vincoli più stretti.
• Impatto delle Relazioni di Bias:
  • L'adozione di relazioni fisiche per i parametri di bias (in particolare $b_{G2}$ e $b_{\Gamma3}$) non introduce bias significativi ma migliora la precisione dei vincoli cosmologici, specialmente su $A_s$, riducendo l'incertezza sui parametri di controtermine ($c_0$).
• Scelta Ottimale: Per un'analisi conservativa e priva di tensioni sistematiche, gli autori raccomandano un taglio di scala per la 3PCF di $r_{min} = 40 \, h^{-1}$ Mpc con $\eta_{min} = 3$. Una configurazione più aggressiva ($r_{min} = 30 \, h^{-1}$ Mpc, $\eta_{min} = 2$) è accettabile ma mostra una leggera tensione (al 68.3%) sul valore di $A_s$ a basso redshift.

5. Significato e Impatto

Questo lavoro rappresenta un passo fondamentale nella preparazione dell'analisi dei dati della missione Euclid.

• Dimostrazione di Fattibilità: Dimostra che è possibile eseguire analisi "full-shape" congiunte di statistiche di ordine superiore (3PCF) nello spazio reale, un prerequisito per sfruttare appieno il volume di dati di Euclid.
• Strumenti per il Futuro: L'emulatore sviluppato è uno strumento cruciale che sarà utilizzato non solo per Euclid, ma per future analisi in spazio delle velocità (redshift space), dove la complessità è ancora maggiore.
• Riduzione delle Incertezze Sistematiche: Fornisce linee guida chiare su quali scale e configurazioni geometriche utilizzare per evitare errori sistematici derivanti dalla rottura dell'approssimazione perturbativa, garantendo che le future misurazioni cosmologiche siano robuste.
• Miglioramento dei Vincoli: Conferma che l'aggiunta della 3PCF alla 2PCF offre un guadagno significativo nella capacità di vincolare i parametri cosmologici, in particolare rompendo le degenerazioni tipiche tra bias e parametri cosmologici.

In sintesi, il paper valida l'intera pipeline teorica e numerica necessaria per passare da un'analisi basata su modelli semplificati a un'analisi completa e precisa della struttura su larga scala dell'universo con Euclid.