Euclid preparation. Full-shape modelling of 2-point and 3-point correlation functions in real space

Problemstellung

Das Ziel der Euclid-Mission der ESA ist es, das Universum durch Kartierung von Galaxienclustering und schwacher Gravitationslinsung zu verstehen. Während die Analyse des 2-Punkt-Korrelationsfunktion (2PCF) bzw. des Leistungsspektrums bereits Standard ist, stellt die Einbeziehung höherer Ordnungsstatistiken, insbesondere der 3-Punkt-Korrelationsfunktion (3PCF) im Konfigurationsraum, eine große Herausforderung dar.

• Herausforderungen: Die 3PCF enthält Informationen über nicht-gaußsche Eigenschaften der Materieverteilung, die durch nichtlineare Evolution, Galaxien-Bias und Rotverschiebungsverzerrungen entstehen. Die vollständige Ausnutzung dieser Information („Full-Shape"-Analyse) wird jedoch durch den extrem hohen Rechenaufwand bei der numerischen Evaluation des theoretischen Modells behindert.
• Ziel: Die Autoren untersuchen die Genauigkeit und den Gültigkeitsbereich perturbativer Modelle für 2PCF und 3PCF im Realraum, um sie für die künftige Analyse des spektroskopischen Euclid-Datensatzes zu validieren.

Methodik

Die Studie basiert auf synthetischen Galaxienkatalogen, die aus der Flagship I N-body Simulation (verwendet den PKDGRAV3-Code) stammen. Diese Simulationen modellieren die erwartete Galaxienpopulation für Euclid (Hα-emittierende Galaxien) unter idealisierten Bedingungen (ohne Beobachtungsartefakte wie Unvollständigkeit).

1. Daten: Es werden vier Rotverschiebungs-Snapshots ($z = 0.9, 1.2, 1.5, 1.8$) analysiert.

   • 2PCF: Gemessen mit dem natürlichen Schätzer.
   • 3PCF: Gemessen mit einem effizienten Schätzer auf Basis der Sphärischen Harmonischen Zerlegung (SHD), der die Komplexität von $O(N_g^3)$ auf $O(N_g^2)$ reduziert. Um systematische Fehler bei fast gleichschenkligen Dreiecken zu vermeiden, wird ein Parameter $\eta_{min}$ eingeführt, der solche Konfigurationen ausschließt.

2. Theoretisches Modell:

   • 2PCF: Modelliert im Rahmen der Störungstheorie (PT) bis zur Next-to-Leading-Order (NLO) unter Verwendung der Effective Field Theory of Large Scale Structure (EFTofLSS). Dies beinhaltet einen Bias-Erweiterungsterm (linear $b_1$, quadratisch $b_2$, nicht-lokal $b_{G2}, b_{\Gamma3}$) und einen EFT-Gegenterm ($c_0$).
   • 3PCF: Modelliert auf Tree-Level (Baum-Niveau) der PT.
   • Infrarot-Resummation: Wird angewendet, um die Verwischung der Baryonischen Akustischen Oszillationen (BAO) durch nichtlineare Evolution zu korrigieren.

3. Emulator:

   • Da die direkte Berechnung des 3PCF-Modells für Likelihood-Analysen über einen großen Parameterraum zu rechenintensiv ist, entwickelten die Autoren einen Emulator (basierend auf PyTorch).
   • Dieser Emulator liefert schnelle und robuste Vorhersagen für 2PCF und 3PCF in Abhängigkeit von drei kosmologischen Parametern ($A_s, \omega_{cdm}, h$) sowie den Bias-Parametern.

4. Analyse-Rahmen:

   • Likelihood: Gaußsche Likelihood-Funktion für 2PCF und 3PCF (Kreuzkovarianz wird vernachlässigt).
   • Metriken: Zur Bewertung der Modellgüte werden verwendet:
     • $\chi^2$ (Goodness-of-Fit).
     • FoB (Figure of Bias): Misst die Verzerrung der rekonstruierten Parameter gegenüber den wahren Werten.
     • FoM (Figure of Merit): Quantifiziert die Einschränkungskraft des Modells.

Wichtige Beiträge

1. Erste Full-Shape-Analyse: Dies ist die erste Studie, die eine gemeinsame Full-Shape-Analyse von 2PCF und 3PCF im Realraum durchführt, um kosmologische Parameter zu beschränken. Bisher beschränkten sich 3PCF-Analysen oft auf Template-Fitting (z.B. nur BAO-Position).
2. Entwicklung eines Emulators: Der entwickelte Emulator ermöglicht erstmals eine effiziente Likelihood-Sampling über den kombinierten Parameterraum von 2PCF und 3PCF, was die rechenintensive direkte Berechnung umgeht.
3. Validierung des Bias-Modells: Die Arbeit testet systematisch, wie weit man in kleine Skalen (hohe $k$-Werte) vordringen kann, ohne dass das perturbative Modell systematische Fehler in den Parametern einführt.

Ergebnisse

• Gültigkeitsbereich (Skalen-Cut):
  • Das Modell passt gut zu den Daten bis zu Skalen von ca. $20 \, h^{-1}\text{Mpc}$.
  • Für die 3PCF ist ein optimaler Skalen-Cut von $r_{min} = 30 \, h^{-1}\text{Mpc}$ erforderlich, wenn man Konfigurationen ausschließt, die fast gleichschenklig sind ($\eta_{min} \ge 3$).
  • Bei $\eta_{min} = 1$ (inklusive fast gleichschenkliger Dreiecke) ist das Modell bei niedrigen Rotverschiebungen ($z=0.9$) instabil und benötigt einen größeren Cut ($r_{min} > 20 \, h^{-1}\text{Mpc}$).
• Bias-Parameter:
  • Die Kombination von 2PCF und 3PCF bricht die Entartung zwischen dem linearen Bias $b_1$ und der Amplitude der Skalarstörungen $A_s$ effektiv.
  • Die Einbeziehung der 3PCF führt zu engeren Constraints für die Bias-Parameter ($b_2, b_{G2}, b_{\Gamma3}$) und reduziert die Posterior-Unsicherheiten im Vergleich zur 2PCF-only-Analyse.
  • Die Verwendung empirischer Beziehungen zwischen den Bias-Parametern (z.B. $b_{G2}(b_1)$) reduziert den Parameterraum, ohne die Ergebnisse für $b_1$ und $b_2$ signifikant zu verfälschen, und verbessert die Präzision der kosmologischen Parameter.
• Kosmologische Parameter:
  • Die gemeinsame Analyse liefert konsistente und unverzerrte Schätzungen für $A_s$, $\omega_{cdm}$ und $h$.
  • Ein konservativer Cut ($r_{min} = 40 \, h^{-1}\text{Mpc}, \eta_{min} = 3$) liefert die stabilsten Ergebnisse. Ein aggressiverer Cut ($r_{min} = 30 \, h^{-1}\text{Mpc}, \eta_{min} = 2$) ist akzeptabel, zeigt aber leichte Spannungen bei $A_s$ bei $z=0.9$.
  • Der Figure of Merit (FoM) steigt signifikant an, wenn die 3PCF hinzugefügt wird, was die überlegene Einschränkungskraft der Kombination belegt.

Bedeutung

Diese Arbeit ist ein Meilenstein in der Vorbereitung auf die Euclid-Mission. Sie demonstriert, dass eine vollständige Full-Shape-Analyse von 2PCF und 3PCF im Realraum mit perturbativen Modellen und Emulatoren technisch machbar ist.

• Theoretische Validierung: Sie bestätigt, dass perturbative Modelle bis zu Skalen von $30 \, h^{-1}\text{Mpc}$ zuverlässig sind, wenn geeignete Skalen-Cuts und Bias-Relationen angewendet werden.
• Methodischer Fortschritt: Der entwickelte Emulator ist ein entscheidendes Werkzeug für zukünftige Analysen, da er die Rechenzeit für komplexe Likelihood-Analysen drastisch reduziert.
• Zukunftsperspektive: Obwohl diese Studie den Realraum betrachtet, legt sie das Fundament für die noch anspruchsvollere Analyse im Rotverschiebungsraum (Redshift Space), wo die Entartungen zwischen Bias und kosmologischen Parametern komplexer sind. Die Ergebnisse unterstreichen, dass die 3PCF essenziell ist, um die Degeneriertheit zwischen $A_s$ und dem Bias zu brechen und präzisere kosmologische Schlussfolgerungen zu ziehen.