Entanglement spectrum of gapless topological phases: a case study with topological superconductors

Enunciato del Problema
L'entanglement quantistico è diventato uno strumento centrale per caratterizzare le fasi della materia, in particolare attraverso lo spettro di entanglement (ES). Mentre la corrispondenza tra il basso livello energetico dell'ES e i modi di bordo topologici è ben stabilita per i sistemi topologici con gap nel bulk (ad esempio, stati dell'effetto Hall quantistico frazionario e fasi topologiche protette da simmetria), la sua applicabilità a sistemi con un bulk gapless (senza gap) rimane una questione aperta. Nei sistemi topologici gapless, robusti modi di bordo protetti da simmetria possono coesistere con uno spettro del bulk gapless. I quadri teorici che si basano sul "appiattimento spettrale" (utilizzato da Fidkowski per i fermioni liberi con gap) sono mal definiti nel limite termodinamico per i sistemi gapless, rendendo incerto come estrarre firme topologiche dall'ES o dallo spettro di correlazione del sottosistema (CS). Questo articolo affronta la sfida di caratterizzare la topologia di stati fondamentali non triviali nei superconduttori topologici gapless utilizzando il CS.

Metodologia
Gli autori utilizzano modelli di fermioni liberi esattamente risolvibili per calcolare lo spettro di correlazione del sottosistema (CS), definito come lo spettro della matrice di correlazione a due punti del sottosistema. Per i fermioni liberi, il CS contiene le stesse informazioni del molti-corpo ES. Lo studio si concentra su:

1. Catene di Majorana critiche 1D: Riprodurre i risultati noti per la catena $\alpha$ per analizzare la scalabilità della scissione della degenerazione nel CS nei punti critici rispetto alle fasi con gap.
2. Superconduttori Topologici (TSC) nodali 2D: Investigare TSC con accoppiamento $d$-wave con un hamiltoniana di Bogoliubov-de Gennes (BdG) 4x4. Vengono esaminate due specifiche simmetrie di accoppiamento:
   • Accoppiamento $d_{x^2-y^2}$: Presenta modi di bordo Majorana chirali separati nello spazio dei momenti dai punti nodali del bulk.
   • Accoppiamento $d_{xy}$: Presenta punti nodali del bulk che si fondono con i modi di bordo al livello di Fermi, risultando in una fase topologicamente non trivale senza modi di bordo chirali protetti.
3. Setup Geometrico: I calcoli sono eseguiti su una geometria cilindrica con condizioni al contorno periodiche lungo la direzione $y$ e condizioni al contorno aperte (o di taglio virtuale) lungo la direzione $x$.
4. Metriche Complementari: Gli autori calcolano l'indice di traccia (numero medio di particelle del sottosistema) per quantificare il flusso spettrale e confrontare i risultati tra i casi di bulk gapless e i casi di bulk artificialmente con gap (ottenuti aggiungendo termini che rompono la simmetria $C_4$).

Risultati Chiave

• Scalatura Critica 1D: Nelle catene 1D con gap nel bulk, la scissione della degenerazione del CS decade esponenzialmente con la dimensione del sottosistema, coerentemente con l'argomento dell'appiattimento spettrale. Al contrario, per la catena critica (gapless), la scissione segue una legge di potenza ($\sim 1/L_A^\alpha$). Ciò fornisce una prova numerica che la matrice di correlazione del sottosistema nei sistemi gapless è fondamentalmente distinta dall'hamiltoniana fisica del sottosistema, rendendo inapplicabile la prova dell'appiattimento spettrale.
• TSC 2D $d_{x^2-y^2}$: Il CS mostra un chiaro flusso spettrale chirale vicino a $k_y=0$, corrispondente ai modi di bordo Majorana chirali. Al taglio virtuale, un modo si trova esattamente all'autovalore $\xi = 1/2$. L'indice di traccia mostra un salto semiquantizzato ($1/2$) a $k_y=0$, confermando la natura Majorana del modo di bordo. Crucialmente, il CS rivela anche firme dei nodi gapless del bulk vicino a $k_y \approx \pi/2$. Mentre i modi del bulk ad alta energia rimangono vicino a $\xi=0$ o $1$, i modi del bulk a bassa energia vicino ai nodi deviano da questi limiti e si avvicinano a $\xi=1/2$, contribuendo significativamente all'entropia di entanglement.
• TSC 2D $d_{xy}$: In questo caso, i modi di bordo si fondono con gli stati gapless del bulk a $k_y=0$. Di conseguenza, il CS non mostra un modo $1/2$ robusto a $k_y=0$, né l'indice di traccia esibisce un salto semiquantizzato. Gli autovalori in-gap mostrano un comportamento oscillatorio dipendente dalla posizione del taglio, attribuito alla natura oscillatoria delle correlazioni nei liquidi gapless piuttosto che ai modi di bordo topologici.
• Gapping del Bulk: Quando vengono aggiunti termini che rompono $C_4$ per creare un gap nei nodi del bulk, il CS in entrambi i casi di accoppiamento mostra prevalentemente il contributo di bordo, con i modi del bulk spinti nettamente verso $\xi=0$ o $1$, recuperando il comportamento tipico dei sistemi topologici con gap.

Significatività e Rivendicazioni
L'articolo sostiene di generalizzare la caratterizzazione di Li-Haldane degli stati di bordo topologici tramite l'ES ai sistemi 2D con un bulk gapless. Il contributo primario è dimostrare che il CS distingue efficacementamente tra i modi di bordo topologici e i modi gapless del bulk, anche quando entrambi appaiono nello spettro a bassa energia.

• Il CS agisce come un "ingranditore", separando le firme robuste e indipendenti dal taglio dei modi di bordo topologici (ad esempio, il modo $1/2$ e il salto semiquantizzato dell'indice di traccia) dalle proprietà dipendenti dal taglio o dalla scalatura a legge di potenza dei modi gapless del bulk.
• Il lavoro stabilisce che, sebbene l'appiattimento spettrale fallisca nel limite termodinamico per i sistemi gapless, il CS conserva comunque informazioni sufficienti per identificare la topologia non trivale e la natura degli stati di bordo.
• Gli autori notano esplicitamente che la relazione tra il CS e i modi di bordo fisici in presenza di interazioni rimane una questione aperta, poiché il CS è definito esclusivamente dalle correlazioni a due punti, mentre le interazioni potrebbero richiedere correlazioni a punti superiori per catturare completamente l'informazione topologica.